專題：簡單的線性規(guī)劃(含答案)

1、高考復(fù)習(xí)專題：簡單的線性規(guī)劃專題要點(diǎn)簡單的線性規(guī)劃： 能從實(shí)際問題中抽象出二元一次不等式組。理解二元一次不等式組表示平面的區(qū)域，能夠準(zhǔn)確的畫出可行域。能夠?qū)?shí)際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題，培養(yǎng)應(yīng)用線性規(guī)劃的知識解決實(shí)際問題的能力。線性規(guī)劃等內(nèi)容已成為高考的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時要給于重視,另外，不等式的證明、繁瑣的推理逐漸趨于淡化 ,在復(fù)習(xí)時也應(yīng)是注意。考查主要有三種：一是求給定可行域的最優(yōu)解；二是求給定可行域的面積；三是給出可行域的最優(yōu)解，求目標(biāo)函數(shù)（或者可行域）中參數(shù)的范圍。多以選擇填空題形式出現(xiàn)，不排除以解答題形式出現(xiàn)?？季V要求了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；了解

2、線性規(guī)劃的意義并會簡單應(yīng)用。典例精析線性規(guī)劃是高考熱點(diǎn)之一 ,考查內(nèi)容設(shè)計(jì)最優(yōu)解 ,最值 ,區(qū)域面積與形狀等 ,通常通過畫可行域 ,移線 ,數(shù)形結(jié)合等方法解決問題?？键c(diǎn) 1：求給定可行域的最優(yōu)解xy1例 1. （ 2012 廣東文） 已知變量 x 、 y 滿足約束條件 xy1 , 則 zx 2 y 的最小值為 （）x10A 3B 1C 5D 6解析 :C. 畫出可行域 , 可知當(dāng)代表直線過點(diǎn)x1A時, 取到最小值 . 聯(lián)立,yx 1解得 x1, 所以 zx 2y 的最小值為5 .y2xy 3例 2（. 2009 天津）設(shè)變量 x，y 滿足約束條件：xy1 .則目標(biāo)函數(shù) z=2x+3y2xy3的

3、最小值為（ A）6（ B）7（C）8（D）23xy 3解析：畫出不等式xy1表示的可行域，如右圖，2x y 3讓目標(biāo)函數(shù)表示直線2xzB 自目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組y在可行域上平移，知在點(diǎn)33xy34 3 7，故選擇 B.2 xy得 ( 2,1) ，所以 zmin3精品文庫86A4 x-y=1x+y=32x-y=32B-551015-2yy發(fā)散思維： 若將目標(biāo)函數(shù)改為求zz的取值范圍；或者改為求x的取值范圍；-4x3或者改為求 zx 2y2 的最大值；或者或者改為求zx1 2y 2 的最大值。方法思路： 解決線性規(guī)則問題首先要作出可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找出目標(biāo)函數(shù)

4、達(dá)到最值時可行域的頂點(diǎn)（或邊界上的點(diǎn)） ，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決。2xy20練習(xí) 1 . （ 2012 天津） 設(shè)變量 x, y 滿足約束條件x2 y40 , 則目標(biāo)函數(shù) z3x2 y 的最小值為x10（）A 5B 4C 2D3【解析】做出不等式對應(yīng)的可行域如圖, 由 z 3x2y 得 y3 xz , 由圖象可知當(dāng)直線y3 xz 經(jīng)3 xz 的截距最大 , 而此時2222過點(diǎn) C (0,2) 時 , 直線 y22z 3x2 y 最小為 z3x2 y4,選B.0 x1，練習(xí) 2在約束條件0 y2，下， x12 y2的最小值為 _2y x 1，解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組

5、表示的平面區(qū)域，注意到 x12 y2可視為該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y) 與點(diǎn) (1,0)之間距離，結(jié)合圖形可知， 該距離的最小值等于點(diǎn)|1 1|(1,0)到直線 2yx 1 的距離，即為5 2 5255 .答案5練習(xí) 3、（ 2011 廣東文、理數(shù)）已知平面直角坐標(biāo)系xOy 上的區(qū)域 D 由不等式組給定若 M（ x， y）為 D 上的動點(diǎn)，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為，則 z=?的最大值為（）A、3B、4C、 3D、 4歡迎下載2精品文庫解答：解：首先做出可行域，如圖所示：z= ? = ，即 y= x+z 做出 l0： y= x，將此直線平行移動，當(dāng)直線 y= x+z 經(jīng)過點(diǎn) A 時，直線在 y 軸上截距最大時，

6、 z 有最大值因?yàn)?A（， 2），所以 z 的最大值為4 故選 Bxy2，練習(xí) 4. （ 2011 福建）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A( 1,1) ，若點(diǎn)一個動點(diǎn)，則)OA· OM的取值范圍是 (A 1,0B 0,1 C0,2D【分析】由于 OA· OM x y，實(shí)際上就是在線性約束條件 x y 的最大值和最小值M(x， y) 為平面區(qū)域x1，上的y2 1,2 xy2，x1，下，求線性目標(biāo)函數(shù)zy2【解析】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域 ( 如圖 ) ，又 OA· OM x y，取目標(biāo)函數(shù) z x y，即 y x z，作斜率為 1 的一組平行線當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn) C(1,1) 時

7、， z 有最小值，即zmin 1 1 0；當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)B(0,2) 時， z 有最大值，即zmax 0 22.z 的取值范圍是 0,2，故選 C.，即 OA· OM的取值范圍是 0,2考點(diǎn) 2：求給定可行域的面積x0例 3在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x3y4 表示的平面區(qū)域的面積為（）3xy43243ABCD2334答案 c歡迎下載3精品文庫考點(diǎn) 3：給出最優(yōu)解求目標(biāo)函數(shù)（或者可行域）中參數(shù)xy20,例 4 (2012廣州一模文數(shù) )在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組xy20, 表示的x t平面區(qū)域的面積為 4，則實(shí)數(shù) t 的值為A1B 2C 3D 4答案 Bxy10練習(xí) 5. （ 200

8、9福建卷文） 在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組x10（為常數(shù)）所表示的平面axy10區(qū)域內(nèi)的面積等于 2，則 a 的值為A. -5B. 1C. 2D. 3解析 解析 如圖可得黃色即為滿足x1 0與 x y1 0的可行域，而 axy 1 0 的直線恒過（ 0，1），故看作直線繞點(diǎn)（ 0，1）旋轉(zhuǎn)，當(dāng) a=-5 時，則可行域不是一個封閉區(qū)域，當(dāng)a=1 時，面積是 1；a=2 時，面積是3 ；當(dāng) a=3 時，面積恰好為2，故選 D.2x2 y190，練習(xí) 6. 設(shè)二元一次不等式組xy 8 0,所表示的平面區(qū)域?yàn)?，使函?shù)yx(0， 1) 的圖Ma aa2x y 14 0象過區(qū)域 M的 a 的取值范圍是

9、c（A） 1,3(B)2,10 (C) 2,9(D)10 ,9x 2y 0練習(xí) 7設(shè) z x y，其中 x、 y 滿足 x y0，若 z 的最大值為6，則 z 的最小值為0 ykA 3B 3C 2D 2解析 如圖所示，作出不等式組所確定的可行域OAB，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線 x yz 0 在 y 軸上的截距，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)Ax y 0，時，取得最大值，由解得 A( k， k)，故最大值為 z k k 2k，由yk，題意，得 2k6，故 k 3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)B 時，取得最小值， 由x 2y 0，y 3，解得 B(6,3)，故最小值為 z 6 3 3.故選 A.答案 A練習(xí) 8.

10、 （ 2012 課標(biāo)文） 已知正三角形 ABC的頂點(diǎn) A(1,1),B(1,3),頂點(diǎn) C 在第一象限 , 若點(diǎn) ( x, y) 在 ABC內(nèi)部 , 則 zx y 的取值范圍是（）A (1- 3,2)B (0,2)C( 3-1,2)D(0,1+3)歡迎下載4精品文庫【命題意圖】本題主要考查簡單線性規(guī)劃解法, 是簡單題 .【解析】有題設(shè)知 C(1+3 ,2),作出直線 l0 :xy0 , 平移直線 l 0 ,有 圖 像 知 , 直 線 l :zx 過y B點(diǎn) 時 ,zmax =2, 過 C時, zmin =13 , zxy 取值范圍為 (1-3,2),故選 A.xy30練習(xí) 9. （ 2012

11、福建文） 若直線 y2x 上存在點(diǎn) ( x, y) 滿足約束條件x2y30 , 則實(shí)數(shù) m 的最大值xm為（）A -1B 13D2C【答案】 B20 與 y 2x 的交點(diǎn)為 (1,2) , 所以只有 m1才能符合條件 ,B 正確 .【解析】 xy3【考點(diǎn)定位】 本題主要考查一元二次不等式表示平面區(qū)域, 考查分析判斷能力. 邏輯推理能力和求解能力 .xy30練習(xí) 10. （ 2012 福建理） 若函數(shù) y 2x圖像上存在點(diǎn) (x, y) 滿足約束條件x2 y30 , 則實(shí)數(shù) m 的xm最大值為（）A 1B 1C 3D222【答案】 B【解析】 xy30 與 y2x 的交點(diǎn)為 (1,2), 所以只

12、有 m1才能符合條件 ,B 正確 .【考點(diǎn)定位】 本題主要考查一元一次不等式組表示平面區(qū)域, 考查分析判斷能力、 邏輯推理能力和求解計(jì)算能力考點(diǎn)四：實(shí)際應(yīng)用與大題例 5（ 2009 四川卷理） 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料 3 噸、B原料 2 噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A 原料 1 噸、 B 原料 3 噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5 萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3 萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A 原料不超過 13 噸， B 原料不超過18 噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是A. 12 萬元B. 20 萬元C. 25 萬元D. 27 萬元解析：設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)x

13、、 y 噸，可使利潤 z 最大，故本題即3xy13已知約束條件2x3 y183 y 的最大值，求目標(biāo)函數(shù) z 5 xx 0 y 0可求出最優(yōu)解為x3，故zmax15 12 27 ，故選擇。y4D練習(xí) 11. （ 2012四川理） 某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品. 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 桶需耗 A原料 1千克、 B原料 2 千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 桶需耗 A原料 2千克 , B原料 1 千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300 元, 每桶乙產(chǎn)品的利潤是 400 元 . 公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中, 要求每天消耗 A 、 B 原料都不超過12 千克 . 通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃 , 從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,

14、公司共歡迎下載5精品文庫可獲得的最大利潤是（）A 1800 元B 2400 元C2800 元D3100 元答案C 解析 設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X 桶 , 乙種產(chǎn)品Y 桶 , 公司共可獲得利潤為Z 元/ 天 , 則由已知 , 得Z=300X+400YX2Y122XY12且0XY0畫可行域如圖所示, 目標(biāo)函數(shù) Z=300X+400Y可變形為Y= 3xz這是隨 Z 變化的一族平行直線44002xy12x4Z max1200 16002800解方程組x2y12y即 A(4,4)4 點(diǎn)評 解決線性規(guī)劃題目的常規(guī)步驟: 一列 ( 列出約束條件 ) 、二畫 ( 畫出可行域 ) 、三作 ( 作目標(biāo)函數(shù)變形式的

15、平行線 ) 、四求 ( 求出最優(yōu)解 ).練習(xí) 12. (2012 廣州二模文數(shù) )甲、乙、丙三種食物的維生素含量及成本如下表所示：食物類型甲乙丙維生素 C （單位 / kg ）300500300維生素 D （單位 / kg ）700100300成本（元 / kg ）543某工廠欲將這三種食物混合成100kg 的混合食物，設(shè)所用食物甲、乙、丙的重量分別為xkg、 ykg、 zkg.（ 1）試以 x, y 表示混合食物的成本 P ;（ 2）若混合食物至少需含 35000 單位維生素 C 及 40000 單位維生素 D ，問 x, y, z 取什么值時，混合食物的成本最少？(本小題主要考查線性規(guī)劃等

16、知識, 考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識)（ 1）解：依題意得xy z100, 2 分P5x4y 3z.由 xy z100 ，得 z100xy ，代入 P5x4 y 3z ，得 P3002xy . 3分x0, y 0, z0,(1) 解 :依題意知 x 、 y 、 z 要滿足的條件為300 x500 y300z35000,6分700 x100 y300z40000.x0, y0,把 z100 xy 代入方程組得100xy 0,y2xy50,9分2x-y=50y25.如圖可行域（陰影部分）的一個頂點(diǎn)為A37.5,25 . 10 分讓目標(biāo)函數(shù) 2x y300P 在可行域上移動 ,Ay= 25由此可知 P3002xy 在 A37.5,25處取得最小值 . 11 分