相似三角形六大證明技巧

1、相似三角形六大證明技巧第2講相似三角形6大證明技巧模塊一相似三角形證明方法相似三角形的判定方法總結(jié)：1 .平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交， 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.2 .三邊成比例的兩個三角形相似.(SS93 .兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似(SAS)4 .兩角分別相等的兩個三角形相似.(AA)5 .斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似(HL)相似三角形的模型方法總結(jié)： “反A型與“反X”型.示意圖結(jié)論CB反A型：如圖，已知 ABC, /ADE = /C,則AADEs ACB (AA),.AE AC=AD AB.若連CD、BE,進而能證明 ACDsABE(SAS)反X型

2、：如圖，已知角/ BAO=ZCDO,則AOBs”O(jiān)C(AA),. OA OC=OD OB.若連AD, BC,進而能證明AODsBOC.“類射影”與射影模型示意圖結(jié)論類射影: 如圖，已知 ABC, /ABD=/C,則AABDs ACB (AA),. ab2=AD AC.射影定理 如圖，已知/ ACB=90°, CH LAB 于 H,則_22_2_AC =AH AB, BC = BH BA,HC = HA HB171示意圖結(jié)論A4C旋轉(zhuǎn)相似：如圖，已知 ABCAa ab ab rj AB AD/ AADE,則 AC - AE :/ BAC-/DAE, ./BAD=/CAE, .BADsC

3、AE(SAS；)DJE一線三等角：如圖，已知/ A=/C=/DBE 冏 ADABsABCEABCDBE d 貝U AA DABBCE(AA)“旋轉(zhuǎn)相似”與“一線三等角”類射影如圖）已知AB2=ACAD,求證：BC嚼A射影定理已知 ABC, /ACB=90 ,CH工AB于H,求證:_ 222AC =AH AB , BC =BH BA , HC =HA HB模塊二比例式的證明方法通過前面的學習，我們知道，比例線段的證明， 離不開“平行線模型" （A型，X型，線束型）， 也離不開上述的6種“相似模型”.但是，王老 師認為，“模型”只是工具，怎樣選擇工具，怎 樣使用工具，怎樣用好工具，取決于

4、我們?nèi)绾嗡?考問題.合理的思維方法，能讓模型成為解題的 利刃，讓復雜的問題變簡單。在本模塊中，我們將學比例式的證明中，會經(jīng)常 用到的思維技巧.技巧一：三點定型法技巧二：等線段代換技巧三：等比代換技巧四：等積代換技巧五：證等量先證等比技巧六：幾何計算.三點定型【例1】如圖）平行四邊形ABCD中）E是AB延長 線上的一點）DE交BC于F,求證：DC =CF .AE ADDC一tE【例2】 如圖）MB。中）/BAC=90 M為BC的中點， DM，BC交CA的延長線于D,交AB于E.求證：AM2 =MD MEDBC【例3】 如圖，在R-ABC中，AD是斜邊BC上的高,2ABe的平分線BE交AC于E,

5、交AD于F.求證:BF ABBE -BC -1710.寸 J4LU 大悄悄地替換比例式中的某條線段【例4】 如圖，在 ABC AD平分/ BAC AD的 垂直平分線交AD于E,交BC的延長線 于 F）求證：FD2=FB FC【例5】 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在/ECA=/D 求AB=AC）朋是中線）p是AD上一點，過。作/池,延長Bp交AC于E ,邊BA的延長線上）CE交AD于F 證： AC BE =CE .AD .【例6】 如圖，ZAC時等腰直角三角形，AB=AC/ BAC=90 ） / DAE=45 ）求證：_ 2AB =BE CD【例7】如圖， ABC中,CF T F .

6、求證:BP2 = PE PF.技巧三：等比代換【例8】 如圖，平行四邊形ABCD中，過B作直線ac、AD于O, E、交CD的延長線于F,求證：2 OB =OE OF例9如圖）在MB。中）已知4=90 =時）AD，BC于D, E為直角邊AC的中點）過D、E作直線交AB的延長線于F.求證：AB AF =AC df【例10如圖，在 ABC中（AB>AC）的邊AB上取一點D ,在邊AC上取一點E ,使AD=AE ,直線DE和BC的延長線交于點P.求證:BP CE =CP BDAP等積代換【例11如圖）MBC中）BD、CE是高）EH，BC于H、交BD于G、交CA的延長線于M .求證：一 2 一HE

7、 二HG MH【例12如圖）在ABC中）AD,BC于D, DhAB于E,DF，AC于f ,連 EF,求證：/ AEF = /C【例13如圖，在小眈中，血。=90 D為AC中點,. CBD =/ECDae，bd, e為垂足）求證:【例14】在RtUBC中，ADLBC, P為AD中點）MN ±BC,求證 mn2=annc證等量先證等比【例15】已知，平行四邊形ABCD中，E、F分 另I在直線AD、CD上，EF/ZAC, BE、 BF分別交AC于M、N.，求證：AM=CN.【例 16】已知如圖 AB=AC, BDZZAC, ABZZCE, 過A點的直線分別交BD、CE于D、 E.求證:AM

8、=NC, MNZZDE.【例17如圖，ZXABC為等腰直角三角形，點P 為 AB 上任意一點，PF±BC,PE±AC, AF交PE于N, BE交PF于M.，求證：iiiiPM = PN, MN/AB.A1718【例18如圖，正方形BFDE內(nèi)接于 ABC,CE與DF交于點N , AF交ED于點M ,CE與AF交于點P.求證：（1）MN/AC;（2） EM = DN.【例19】（X）設E、F分別為AC、AB的中點，D 為 BC 上一點，P 在 BF 上，DP/CF, Q 在 CE 上，DQ/BE, PQ 交 BE 于 R, 交CF于S,求證：Rs、pQ3【例20(X)如圖，梯形ABCD的底邊AB上 任取一點M,過M作MK/BD, MN/AC,分別交 AD、BC 于 K、N, 連KN,分別交對角線AC、BD于P、 Q,求證：KP=QN.一技巧八.兒小I分【例21】(2016年四月調(diào)考)如圖，在 ABC 中，AC>AB, AD是角平分線，AE是 中線，BFLAD于G,交AC于點M, EG的延長線交AB于點H. (1)求