2021屆山東省濟寧市高三上學期期末數(shù)學試題

1、2020屆山東省濟寧市高三上學期期末數(shù)學試題學校;姓名:班級:考號:一、單選題1.設集合 =xl-lKxKl, N = xllv214,則 MflN =A.xl-l<x<0) B. xl0<x<l)C. x 1 <x<2)2.若 a = 2" = ln2,c = log2：MJ(A.b>c>aB. h>a>cC. c>a>bD.a >b>c3.在 AA3C 中，A3 = 1, AC = 3,而- 3C = -1,則 MBC 的面積為(A.B. 1C. 72D.4.已知A, 8, C為不共線的三點，則礪

2、+衣| = |麗-亞|”是“AA8C為直角三角形”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.函數(shù) y = -2cos2x + cosx + 1,一!，£的圖象大致為（2 2B.D.6.已知奇函數(shù)/"）在R上單調，若正實數(shù)。力滿足4。）+ /（。-9） = 0,則，+ - a b的最小值是（）A. 19 B.-2C. 9D. 18，27.已知"，F(xiàn)）是雙曲線二-二=1（0力0）的左、右焦點，若點F）關于雙曲線漸近 a If線的對稱點A滿足 AO = AAOFX （ 0為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（）A. y =

3、77;2xB. y = ±yj3x C. y = ±& D. y = ±x8 .已知函數(shù)”力=111工+ （1-。卜+。（。），若有且只有兩個整數(shù)小大使得且/（）0,則。的取值范圍是（）(3 +In 3/八 c ,3 +In 3cleA. I 0, -B. (0,2 +In2)C. -,2 + ln221n2 + 4 3 + ln3)D. ；一一-32 )9 .下列命題中的假命題是（）B. PxeN： (x-1) >0C.上eR, IgxvlD.上eR, tanx = 2A. VxeA, 2r"1 0二、多選題jr10 .將函數(shù)/（&quo

4、t; = sin2x的圖象向右平移-個單位后得到函數(shù)g（工）的圖象,則函數(shù)g（x）具有性質（）A.在上單調遞增，為偶函數(shù)B.最大值為1,圖象關于直線x =-對2上單調遞增，為奇函數(shù)D.周期為江圖象關于點, 彳'°1對稱H.已知?、為兩條不重合的直線，2、/為兩個不重合的平而,則下列說法正確的是（）A.若72,/尸且C/7,則?“B.若tn/,m工a,n工0,則al 10C.若 ml In, n ua,ct /10, in c C 則 ml I pD.若】/，八則，/?12.設等比數(shù)列att的公比為q,其前項和為S，前項積為7；,并滿足條件% > 1M加9，。，0 >

5、; 1, J二< ° ,下列結論正確的是（） 2020 _ 1A. S2O19<S2O2OB . 20】9。2021 - 1 <。C. 72020是數(shù)列中的最大值D.數(shù)列1無最大值三、填空題13 .在（X-0），丫的展開式中，含X4y4項的系數(shù)是.14 .已知拋物線C：V=8x的焦點為產(chǎn)，準線為/,2是/上一點，。是直線尸尸與C 的一個交點，若而=3也，則1。/1=.15 .下圖是兩個腰長均為10c機的等腰直角三角形拼成的一個四邊形A8C。，現(xiàn)將四邊 形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A - BCD的外接球的體積為 （77/3 四、雙空題16 . 2

6、019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄，標志著中華五千年文明 史得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文 明史.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少”這一規(guī) 律.己知樣本中碳14的質量N隨時間f （單位：年）的衰變規(guī)律滿足汽=乂,-2-盛（"0 表示碳14原有的質量），則經(jīng)過5730年后，碳14的質量變?yōu)樵瓉淼模航?jīng)過測13定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的萬至二，據(jù)此推測良渚古城存在的 時期距今約在 年到5730年之間.（參考數(shù)據(jù)：1%346,叫2522.3） 五、解答題17 .已知等差數(shù)列滿足。2

7、+ % = 6,前7項和£ = 28.（1）求數(shù)列也的通項公式；2n設a =1)(而+1),求數(shù)列也，的前項和U -18.已知 / (x)=讓sin(;r-x)sin + x -cos2 x.若/ y =記，求8s10在aABC中，角A,民C所對應的邊分別小4c,若有Qc)cos8 =0cosC,求角8 的大小以及/(A)的取值范闈.19.如圖,在平行四邊形ABCD中，AB = 1,8C = 2,乙BAD = 120 ,四邊形ACEF為正方形,且平而ABCD L平面ACEF.證明：A3_LB;求平面BEF與平面5CF所成銳二面角的余弦值.20.如圖，某市三地4瓦C有直道互通.現(xiàn)甲交警

8、沿路線A8、乙交警沿路線AC8同時從A地出發(fā),勻速前往8地進行巡邏,并在5地會合后再去執(zhí)行其他任務.已知AB=0km,AC=6km9 BC=Skm9甲的巡邏速度為5包】/兒乙的巡邏速度為10k”瓦求乙到達。地這一時刻的甲、乙兩交警之間的距離；21 .已知橢圓E:二十二a2 b2(2)己知交警的對講機的有效通話距離不大于3km,從乙到達。地這一時刻算起,求經(jīng)過 多長時間，甲、乙方可通過對講機取得聯(lián)系.=1( > > 0)的一個焦點為(0,、8)，長軸與短軸的比為2:1.直線/: y =辰+ 7與橢圓E交于P、Q兩點，其中k為直線/的斜率.(1)求橢圓上的方程；若以線段PQ為直徑的圓過

9、坐標原點問：是否存在一個以坐標原點O為圓心的定圓0,不論直線/的斜率k取何值,定圓。恒與直線/相切?如果存在,求出圓0的方程及實 數(shù)，的取值范圍；如果不存在,請說明理由.22.已知函數(shù)f(x) = x-sinx,g(x) = x+71nx.求證:當同4 1時,對任意x (0, -K0), f (%)> 0恒成立；求函數(shù)g(x)的極值；(3)當=；時，若存在了2 £(°，一)且玉。士，滿足/(玉)+8&) = /()+ 8(%)，求證：, V，參考答案1. B【解析】因為M =xl-l«xKl, N = .vll2, <4 = xl0vxv2,所

10、以McN = xlO<xKl,故選 B.2. D【解析】【分析】計算得到>1： 0</?<1： cvO得到答案.【詳解】a = 2(U >2° = 1 ： O = lnl<Z? = ln2<ln6> = l： c = log2<log, 1 = 0,即"故選：D【點睛】本題考查了比較數(shù)值的大小，意在考查學生對于函數(shù)單調性的靈活運用.3. C【分析】根據(jù)福亞=一1得到cosA = 2,即sinA = 3，再利用而積公式計算得到答案. 33【詳解】AB = 1, AC = 3, AB - AC = |ab|-|ac| cos

11、A = 3cos A = 1 cos A =-故 sinA = , .S' = AB - AC sin A = -jl 32故選：C【點睛】本題考查了向量的運算，而積的計算，意在考查學生的計算能力.4. A【分析】分別判斷充分性和必要性：平方得到而*=0,充分性：當N5或NC為直角時，|ab+ac|ab-ac|,不必要：得到答案.【詳解】若I麗+衣卜I麗一衣兩邊平方得到+AC +2AB AC = AB +AC -2AB AC :.AB AC = O 即而_L/故AABC為直角三角形，充分性：若AABC為直角三角形，當或NC為直角時，口石+卜而一不q,不必要: 故選：A【點睛】本題考查了

12、充分不必要條件，意在考查學生的推斷能力.5. B【分析】先根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除A, D,再根據(jù)/(式)的最值可得正確的選項.【詳解】：/(一幻= -2cos2(-x) + cos(-x) + l =-2cos+ cosx + l = fx),.函數(shù)"X)為偶函數(shù).故排除選項A, D., «/、 c )1/1、)97t 7t/ (x) = -2cos+ cosx +1 = -2(cosx )h, a, g ,一 ,'48 L 2 2j,: 0 < COSA < 1 ,19,當COSX = :時,/*)取得最大值二；當cosx = 1時，/(x)取得最小值0

13、.故排除c. 48故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，注意根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性、最值以及特殊點處函數(shù)的大小來判斷，本題為中檔題.6. A【分析】根據(jù)f(4a)+/(/?-9) = 0,得到7+8 = 9,變換，+，=+ 利用a b 9 a b),均值不等式計算得到答案.【詳解】奇函數(shù)/(X)在R上單調，/(4。)+/(-9) = 0,則/()= /(/?-9) = /(9一)故 4, = 9 一即 4a+b = 9111 1 1". 1 b 4 1、1+ = - + (4a + b = - + + 5 > - 2a/4 + 5) = 1a bb)'9a b J

14、 9 v )當9 = W即"=/=3時等號成立a b 2故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調性，均值不等式，變換，+ : =1 + ! 1(4 +a b 9 a b)v解題的關鍵.7. B【分析】先利用對稱得AM,根據(jù)N£AO = NAO可得力"=c,由幾何性質可得ZAf；(9 = 60 ,即心=6(T,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示：由對稱性可得：M為4F2的中點，且因為/寫40 =乙40月，所以4后=耳。=小 故而由幾何性質可得ZAFO = 60 ,即入=60 ,故漸近線方程為)，=±居，故選B.【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識

15、，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出%=60 是解題的關鍵，屬于中檔題.8. C【分析】求導得到/'(x) = L + (l a)，計算= 討論。41,兩種情況，得到函數(shù)單調區(qū)間，得到2)>0且/(3)<0,計算得到答案.【詳解】/(x) = lnx+(l-4)x+(a>0), /*(.) = - + (1-6/), /= lnl+(l-a) + = l X當。<1時，函數(shù)單調遞增，不成立：當4>1時，函數(shù)在10,一二上單調遞增，在(一上單調遞減： k a-)有且只有兩個整數(shù).&使得且)>0,故2)>。且"3)4。即 1。2

16、+ 2 2，+。>0,1<11】2 + 2： ln3 + 3-3a + aKO.a-n3 + 32故選：C.【點睛】本題考查了利用函數(shù)單調性求參數(shù)范圍，意在考查學生對于函數(shù)性質的綜合應用.9. B【詳解】試題分析：當x=l時，(x-1) 2=0,顯然選項B中的命題為假命題，故選B.考點：特稱命題與存在命題的真假判斷.10. ABD【分析】化簡得至Ig(x) = -cos2x,分別計算函數(shù)的奇偶性，最值，周期，軸對稱和中心對稱，單調區(qū)間得到答案.【詳解】/ 冗、 / 冗、e(x) = sin2 x- =sin 2x- =-cos2xV 7 I 4J I 2)/ 0,J則2xe 0,1

17、；, g(x) = cos2x單調遞增，為偶函數(shù)，A正確C錯誤;4 72 J最大值為1,當工=一二時2工=一3乃，為對稱軸，4正確: 2c7/ Q 、7 =-=4，2x = - + k.x = - + ykeZ,當女=1時滿足，圖像關于點 手,02242I 4 J對稱，。正確：故選：ABD【點睛】本題考查了三角函數(shù)的平移，最值，周期，單調性，奇偶性，對稱，意在考查學生對于三 角函數(shù)知識的綜合應用.11. BC【分析】根據(jù)直線和直線，直線和平而，平面和平面的位置關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.若 ?/&,/尸且&/月,則可以?，?，異而，或7"相交，故4錯誤

18、：B.若?”,/_La,則_La，又_L故。夕，5正確;C.若""，"ua,則閉|a或"qa,又a/7,故"/7, C正確;D.若則團_La , a _L/7,則/n4或夕,D錯誤;故選：BC【點睛】本題考查了直線和直線，直線和平而，平而和平面的位置關系，意在考查學生的空間想象能 力.12. AB【分析】 計算排除4<0和4之1的情況得到0<夕<1，故42019>1，0<。2。20<1，得到答案.【詳解】當 q <。時,。2019,2020 =。2019 4 <。9 不成立;a 7nic>

19、1 八當 g 時，«2019 > 12020 > 1, 不成立；“2020 1故 ° <。< 1 ,且 “2019 > 1，0 <。2020 V 1，故 $2020 > 2019 * A 正確;。2019a2021 1 =%020 1 < 0 ,故 8 正確;/。19是數(shù)列中的最大值，錯誤：故選：AB【點睛】本題考查了數(shù)列知識的綜合應用，意在考查學生的綜合應用能力.13. 280【分析】直接利用二項式定理計算得到答案.【詳解】卜_心，了的展開式中：7；7=C；x8f(_"y)',取r= 4得到/y項的系數(shù)為C

20、： (-V2)4 = 280故答案為：280【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.14. 3【分析】首先利用相似，求出線段LWQI長度，然后利用拋物線定義，化|。門為IMQI,【詳解】設。到拋物線準線的垂線段為|M2|,貝|J|M0| = |QF|.拋物線焦點到準線的距離為4,如圖,由拋物線定義及而=3%133故答案為：g【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于簡單題.15. 500信【解析】由題設可將該三棱錐拓展成如圖所示的正方體，則該正方體的外接球就是三棱錐的外接球, 由于正方體的對角線長為/ = 2R = 10jJ,即球的半徑R = 5jJ，該球的

21、體積 卜=（笈/?3=500信，應填答案500后.點睛：解答本題的關鍵是依據(jù)題設條件，構造符合題設條件的正方體，借助三棱錐的外接球 與正方體的外接球是同一個球的事實，求出正方體的對角線長，即三棱錐的外接球的直徑, 進而求得外接球的半徑使得問題獲解.16. 140112【分析】（1）根據(jù)衰變規(guī)律，令，=5730,代入求得=：乂；3（2）令N =，N0,解方程求得/即可.【詳解】當1 = 5730時，N = No2'=、No，經(jīng)過5730年后，碳14的質量變?yōu)樵瓉淼?223q/3令N =1N0,則2-標=二.= log、二= log,3 log,50.7555730.5'-:.t=

22、 0.7x5730 = 4011,良渚古城存在的時期距今約在4011年到5730年之間故答案為：；4011【點睛】本題考查根據(jù)給定函數(shù)模型求解實際問題，考查對于函數(shù)模型中變量的理解，屬于基礎題.17. % = （2）7； =1-一!一'，3 2n+I +1【分析】（1）利用等差數(shù)列公式計算得到答案.1T11（2）裂項得到a =（ 7十）（赤十）=ft?一5匚7 代入數(shù)據(jù)計算得到答案【詳解】 設等差數(shù)列4 的公差為d,由2 + 4 = 6可知“3 = 3,前7項和s7 = 28 .,4 =4,解得q =1,4 = 1. . =1 + 1(-1)=比2(2也=2(2 冊 +1)(2% +1

23、)(2 +1乂2叫1) 2" +1 2n+, +1,4 前項和1 = 4 + 3 +bn(11 W 11 、11 A=+ + + -U1 +1 22+) l22+l 23+1J 12+1 2n+I +1)_ 1 1二二 2用+【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式，裂項相消法求前項和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的 綜合應用.18. (1)25(2) 8 =工，取值范圍是一1,； 32【分析】sin 2x -6)于根據(jù)/仁卜而得到可1210用二倍角公式”算得到答案.(2 )利用正弦定理得到(2sin A-sin C)cosB = sin 8cosC,化簡 cos 8 = g, /. B

24、= 1,it,計算得到答案.【詳解】(1) f (x) = >/3sinxcosx-cos2 x =因為/ y =sin)7T a6=二，所以sin a- -1。k 610=3=5716J 2所以cos 2a+ I 3= -cos 2aI 3 J=2sin2a6)-1 = 2x35>1 = 25(2)因為(2ac)cos8 = cosC,由正弦定理得: (2sin A - sin C)cos B = sin Bcos C,所以 2sin AcosB-sinCcosB = sin8cosC,即 2sin Acos3 = sin(3 + C) = sin A,因為 sin A >

25、0, cos 8 = ,：.B =2,所以4 +。二三 2332Ae66' 6,所以 sin(2A-),所以/(A)的取值范圍是【點睛】本題考查了三角函數(shù)化簡，二倍角公式，正弦定理，取值范圍，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.19.見解析(2)空.5【分析】(1)利用余弦定理得到AC =證明A3_LAC, AF±AC, A/_L A8得到從8_1平面ACEF得到答案.(2)分別以AB, AC, AF所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，計算平而 BEF的一個法向量方=(6,0/)，平面3CF的一個法向量為云=(6，1)，計算夾角得到 答案.【詳解】在平行四邊形A5

26、CD中，ZABC = 180 -120 =603,在 AABC中，由余弦定理得：AC2 =AB2+BC2-2AB BCcos60 =3,即 AC = C，由 BC2 = AC2 + AB2ZBAC = 90 ,所以AB_LAC又四邊形ACEF為正方形,所以A/ _L AC,又平而ABCD _L平面ACEF,平而ABCD 0平而ACEF-AC所以A/_L平而ABCQ,所以AF _L A3,又AEcACM,所以AB_L平而ACEF, bu平而ACEF所以 A5_LCF.由AB, AC, AF兩兩垂直,分別以AB, AC, AF所在直線為乂 F Z軸，建立如圖所示的空間直 角坐標系，則 A(。，。，

27、。)，B( 1,0,0), C(0,75,0),尸(0,0,4),E8小， 設平面 3EF 的一個法向量3 = (x,y,Z), BF = (-1,0,75),EF =(0,-73,0),n - BF = x + J5z = 0 則 一 _ '取z = l，.Ji-EF = -y3y = 0同理可得平面BCF的一個法向量為荷= 設平而8EF與平面8CF所成銳二面角的平面角為6,則 COs6 = =Tr m 4 _2675x25，平而BEF與平而3c廠所成銳二面角的余弦值為生. 5Z,【點睛】本題考查了通過線而垂直證明線線垂直，二而角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20. （1）

28、浮.（2）二小時 5【分析】（1）計算cos4 = 1, AD = 3kni,利用余弦定理計算得到答案.當;$一:時，/(f) = 7 - 5/K3k，（2）當時，得到/。） = 3/5/一61 + ?計算得到答案.【詳解】3 由 AB = 10km, AC = 6km, BC = 8km,：, ZACB = 90，.二 cos A =-.設當乙到達。地時，甲處在。點,則題=M = 3癡C所以在根。中，由余弦定理得：CD2=AC2+AZ)2-2ACAD-cosA = 62+32-2x3x6x- = :.cd .冷55即此時甲、乙兩交警之間的距離為孚5(2)設乙到達C地后,經(jīng)過7小時，甲、乙兩交

29、警之間的距離為川刖，4在 ABCD 中，BC = 8%, BD = 7km. cos ZABC =-4n乙從。地到達B地用時/ =三小時，甲從。處到達8地，用時=5小時，4所以當乙從。地到達B地,此時，甲從。處行進到七點處，且。E =x5 = 4k/n, BE = 3km4所以當不時，/(r) = (8-10r)2+(7-5/)2-2(8-10/)(7-5r)| = 35r2-6r + yI13294令/“)>3,，小5/ 一61+-6/ + ->0,，。<，<二或，>二(舍去)i3335又當。4,4g時，甲、乙兩交警間的距離f(f) = 7-5t< 3km

30、因為甲、乙間的距離不大于時方可通過對講機取得聯(lián)系2所以,從乙到達。地這一時刻算起,經(jīng)過=小時，甲、乙可通過對講機取得聯(lián)系.【點睛】本題考查了函數(shù)，余弦定理的應用，意在考查學生的應用能力.21. (1)? + /=1(2)存在，/+),2=機的取值范圍是(_0。,一手)=手,+6【分析】（1）根據(jù)題意直接計算出。=2力=1得到答案.（2）設直線op的方程為：y = tx, P點的坐標為（, y°）,則尤=%,聯(lián)立方程組 4V2 2，解得：xi=,一-設坐標原點。到直線/的距離為4則有+ X- =14 + 廣4PQd = OPOQ t得到4 = 管，計算得到答案.【詳解】由已知得：C =

31、 >/3a = 2bcr =/r+L解得：4 = 2,。= 1二橢圓E的方程為tY = 14（2）假設存在定圓。,不論直線/的斜率左取何值時,定圓。恒與直線/相切.這時只需證明坐標原點。到直線/的距離為定值即可.設直線0P的方程為：丁 = X P點的坐標為（/，Jo）,則%=區(qū)）,聯(lián)立方程組y = txy1 ,，解得：片=丁二+ x2=l4 + 廣、4 |O 可=玉；+ 4 = (1 + ")焉=I；? ®,以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,OPLOQ,直線。的方程為：y = -x4在式中以一;換/，得=-同=防十|。域=4+H)1+4廣4(l + r) 40+產(chǎn))2

32、0(1+r)2r+41 + 4 /(l + 4r2)(r2 +4)設坐標原點。到直線/的距離為4則有|PQ|d =|。4|。|4（1 +/）4（l + r）.屋。尸門。匚 KF RF _ 42有PQ-20（1 + 嚴 55（1+4 -產(chǎn) +4）又當直線0P與軸重合時，P（O,±2）,0（±1,O）此時d = 當由坐標原點o到直線/的距離"=土 為定值知,所以存在定圓0,不論直線/的斜率k取何 5值時，定圓。恒與直線/相切,定圓。的方程為：x2 + y2=p直線/與軸交點為（0,?），且點（0,加）不可能在圓。內，又當右。時,直線/與定圓。切于點26所以陽的取值范圍

33、是【點睛】 本題考查了橢圓的標準方程，直線和圓的位置關系，意在考查學生的計算能力和綜合應用能 力.22.見解析（2）極小值T + ?ln（f ）無極大值.見解析【分析】求導得到f'（x） = l-COSX,即r（x）N。，函數(shù)單調遞增，得到證明.（2）8（'=1 +絲=二'（%>0）,討論后0和 7co兩種情況，分別計算極值得到答 A X案.（3） /（x） = x Jsinx在（。,+ 8）上為增函數(shù)，當?N0時不成立，不防設0<M</ /（玉）+ 8（、） = /（）+ 8（犬2），計算得到一，（卜/一心為）>（/_玉）>。，號<：， 即證，2>2再入），設，=包>，只需證上1>，計算最值得到證明.4%Inr【詳解】(1) f(x) = x-asinx,:.ff(<x) = -acosxv-l<cosx<l, /'(x) = l-ocosxNO, /(x) = x-si