保險(xiǎn)精算學(xué)減因力和中心減率PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1保險(xiǎn)精算學(xué)減因力和中心減率保險(xiǎn)精算學(xué)減因力和中心減率分減因的減因力的定義，首先引入函數(shù)： kxl 12101,1,2,.,1limkkxyy xTxxxmxmTkxxkkkkkxx hxxTThxxmTkxxkldkmmllllmllklldldxhll 相當(dāng)于把暴露于 個(gè)減因力下的總?cè)藬?shù)分成，.，等 個(gè)組，每組人數(shù)只受相應(yīng)減因的作用而減少。第 個(gè)減因的減因力定義為：可見第1頁(yè)/共17頁(yè) 11111011011kTkyyyxxkTkyyyxxxkTkxyyxxkTkTkxy xyytxx txxTTTTTxyyx tx txxTTTTxy xyytxxxdlldyxxdlldydldy

2、qpdypdtdldyldtqpdyp多減因力定義公式可以變換為：-上式兩邊在上積分，有-故依分減因減少人數(shù)與總?cè)藬?shù)的關(guān)系，可得所以 10Ttdt第2頁(yè)/共17頁(yè) 減因力和減因概率的一個(gè)重要差別是各減因力之間是相互獨(dú)立，而各減因概率之間卻相互依賴。 由于減因概率是某區(qū)間內(nèi)由減因引起的減少概率，在這一區(qū)間內(nèi)所有減因都在起作用，因此由某減因引起的減少人數(shù)越多，其他減因引起的減少人數(shù)越少，各減因概率之間相互依賴。 減因力是衡量各減因的瞬間減因水平，不依賴于某一特定的區(qū)間，因此各減因力相互獨(dú)立。第3頁(yè)/共17頁(yè)4.2.2 中心減率中心死亡率的介紹：xxxxxxxxDxPPxxxDmmP 設(shè)某 歲的死亡

3、人數(shù)為， 歲的平均人數(shù)為 ， 是年初 歲人數(shù)與年末 歲人數(shù)的平均數(shù)，有時(shí)也用年總?cè)藬?shù)代替，則 歲的中心死亡率為：22xxxxxxxdmmLmqm 生命表分年齡中心死亡率定義為生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生存人數(shù)中的比例。以表示之，則，在假設(shè)死亡均勻分布的情況下：。第4頁(yè)/共17頁(yè) 與中心死亡率的概念類似，在多減因分析中有總中心減率和分減因中心減率。 11001100,101TTTxxxTxTTTTx tx ttxx tTxTTx ttxdmLxxLldtpdtmtldtpdt 是在歲受全部減因作用的平均人數(shù)。以積分表示：，第5頁(yè)/共17頁(yè) 110011001,101.kkTxxxTxTkTkx

4、 tx ttxx tkxTTx ttxmTkxxkdmLxxLldtpdtmtldtpdtmm 是在歲受全部減因作用的平均人數(shù)。以積分表示：，顯然，多減因表通過中心減率與減因概率之間的關(guān)系估計(jì)減因概率。第6頁(yè)/共17頁(yè) 多減因表的中心減率通常是在假設(shè)每個(gè)年齡的總減少人數(shù)在年內(nèi)均勻分布下計(jì)算的，此時(shí)有 1100,0112111221,2112TTTx txxTTTTTTxx txxxxkkkkxxxxTTTTxxxxTTTxxxkkxxTxlltdtLldtltddtldddqthenmLldqon the other hand sincelLdwe obtainmqm 第7頁(yè)/共17頁(yè)4.3.

5、1 聯(lián)合單減因函數(shù)聯(lián)合單減因函數(shù) 構(gòu)成多減因表的各個(gè)減因都可以依各自獨(dú)立的減因力構(gòu)成單減因表，把由多減因表的各個(gè)減因構(gòu)成的單減因表稱為聯(lián)合單減因表，它是單獨(dú)考慮各個(gè)減因時(shí)生成的生命表。 00,1.tkx sktxtdskkkxxx stkktxtxpqepdsqkqk 設(shè)聯(lián)合單減因表的存活函數(shù)為則稱為 減因絕對(duì)減率，以區(qū)別于用概率表述的。減因絕對(duì)減率與其他減因力無關(guān)，也稱為獨(dú)立減率。第8頁(yè)/共17頁(yè)4.3.2 聯(lián)合單減因函數(shù)與多減因函數(shù)的基本關(guān)系聯(lián)合單減因函數(shù)與多減因函數(shù)的基本關(guān)系 0011:,.mtktTxx skdsdsTtxmTktxtxkTkkktxtxtxtxsincepeesopp

6、it is easy to sayppqq第9頁(yè)/共17頁(yè)4.3.3 各減因力恒定假設(shè)下的估計(jì)各減因力恒定假設(shè)下的估計(jì)假設(shè)各減因力恒定，即 10111000,01,ln.TTx txkkx txkkTkTkTTxxtxx ttxxtxxTxkTxxTxdtTTTxxxtqpdtpdtpdtqpeep 此時(shí)，有同時(shí)，在減因力恒定的假設(shè)下，還有 第10頁(yè)/共17頁(yè) ln.ln.ln,11.kxTxkkxxkkkTTxxxxxTTxxqkTqxxppwe can obtainqqqphenceqq 同理，有上式可用于由多減因概率估計(jì)絕對(duì)減因率。4.3.4 各減因均勻分布假設(shè)下的估計(jì)各減因均勻分布假設(shè)

7、下的估計(jì)假設(shè)多減因模型的各個(gè)減因在每個(gè)年齡上均勻分布，即 ,1,2,.,;01kktxxqtqkmt 第11頁(yè)/共17頁(yè)加總所有單減因概率，我們有 ,01TTtxxqtqt 在減因均勻分布的假設(shè)下，有 11001,1 exp1 exp11 expln 111.kxTxkkTkkkxxtxx txx tTTtxxkkkxxx tTxqkTTxqxxTxkxqqpqptqqhenceqdtdttqqqqqq 可見，在減因力恒定和減因均勻分布的假設(shè)下的相等。第12頁(yè)/共17頁(yè)4.3.5 聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設(shè)下的估計(jì)聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設(shè)下的估計(jì)在聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設(shè)

8、下，有 11001,1,2,.,;01kktxxkkktxx txmkTkkkxtxx ttxx tkqtqkmtpqqpdtpdt 第13頁(yè)/共17頁(yè) 1111211120021121012212,112,12xtxtxx ttxx t txxxxxxxxwhen mwe haveqppdtppdtqqtqdtqqand we can alse have qq第14頁(yè)/共17頁(yè) 1111231112300112301232322131333123,111112311,123112xtxtxtxx ttxx t txtxxxxxxxxxxxxxxxxxxwhen mwe haveqpppdtpppdtqtqtqdtqqqqqand we can alse have qqqqqqqqq 2121.333xxxqqqm 的情況類似分析。第15頁(yè)/共17頁(yè)Eg4.1 假設(shè)某聯(lián)合單減因表的