工程電磁場-第0章場量

1、矢量與場論矢量與場論)2() 1( 45),(222zyxzyx 如溫度場,電位場,高度場等;zyxxyzzxxyzyxeeeA222),(如流速場,磁場,渦流場等。標量：只有大小，沒有空間方向的量。矢量：不僅具有大小，而且具有空間方向的量,合成滿足平行四邊形法則。矢量的書寫：印刷體采用黑體，手寫加矢量標識，如BEA,zy2x2exyzezxe2xyz)y,(x,AzzyyxxzzyyxxBBBAAAeeeeeeBA,zzzyyyxxxBABABAeee)()(（）BA(2) 矢量的數(shù)乘zzyyxxAAAeeeA(3) 矢量的點乘zzyyxxBABABAABcosBABAcosB(4) 矢量的

2、叉乘zyxzyxnnnnBBBAAAABeeee sinBAABABen兩矢量垂直0BA兩矢量平行0BA(1) 矢量的加減法AB=-(BA)AA=0(5) 矢量函數(shù)的微分zzyyxxdtdAdtdAdtdAdtdeeeAzzyyxxdAdAdAdeeeA0CddtddtddtdBAB)A(AAA)dtdudtdudtud(BABAB)Adtddtddtd(BABAB)Adtddtddtd(zzyyxxdttAdttAdttAdtteee)()()()(Adttdttdttt)()()()(B BB BAA是常矢量）（CACAC )()(dttdtt是常矢量）（CAAC )()(dttCdtt(

3、6) 矢量函數(shù)的積分(1) 標量場-等值線(面)在曲面上，標量函數(shù)函數(shù)u(M)的值為常數(shù)，這個曲面成為等值面u(x,y,z)=C等值面與給定平面相交，得到在該平面上的等值線。u(x,y,z)在xoy平面上的等值線方程u(x,y)=C要點： 用等值面表示標量場，一般將相鄰兩個等值面之差設(shè)為定值。 可以根據(jù)等值面的稀疏程度觀察場量的空間分布。0d lA矢量線：在它上面每一點處曲線的切線方向和該點的場矢量方向相同。zyxdzdydxdeeel切線：zzyyxxAAAeeeA場矢量：方向相同zyxAdzAdyAdx矢量線微分方程(2)矢量場的矢量線計算機技術(shù)發(fā)展，可以可視化、形象化。 電位分布云圖電場

4、強度矢量(3)云圖(Contour）標量函數(shù)u(x,y,z), 沿方向l的方向?qū)?shù)MM0ll0000|)()(|limlim0MMMMMMdldululMuMulu方向?qū)?shù)：表示標量函數(shù)在一點M0處沿某一方向l對距離的變化率，反映了函數(shù)u(M)沿l方向增減的情況。lzzulyyulxxuluM0(1) 方向?qū)?shù)的方向余弦直線ldldzdldydldxdzdydxd cos,cos,cos,lzuyuxuluMcoscoscos0zyxzuyuxueeeG令cos,cos,cosle),cos(|lllueeGGG(2) 梯度(gradient)結(jié)論：直線l方向變化，方向?qū)?shù)數(shù)值也變化。當 時，

5、方向?qū)?shù)達到最大值G。G與l方向一致梯度：標量場u中的M，存在矢量G，方向為u(x,y,z)在M處變化最大的方向(方向?qū)?shù))，模值為這個最大值的數(shù)值|G|，矢量G為標量u在M點處的梯度，gradu。xxxzuyuxugradueeeG(1) 通量矢量 E E 沿有向曲面S S 的面積分SnSSnddSdSESeEE 矢量場的通量 若S 為閉合曲面,外側(cè)為正sdSE 0 (有正源) 0 (有負源) = 0 (無源)描述任意一點的通量，即通量的體密度，單位體積的通量，稱作散度VdSVSEE0limdiv散度代表矢量場的通量源的分布特性divE= 0 (無源）divE= 0 (正源)divE= 0

6、(負源)在矢量場中，若divE=0，有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 E=0，稱之為無源場。zEyExEzyxEdiv(2) 散度(Divergence)VSdVdivd)(ASAVzyxSzyxdxdydzzAyAxAdxdyAdzdxAdydzA)(散度定理，高斯公式，奧氏公式意義： 給出了閉合面積分與體積分之間的等價互換關(guān)系。(3) 散度定理(1) 環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運動流體做渦旋運動0，有產(chǎn)生渦旋的源矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分LdlA流速場環(huán)量密度LdSdSdPSl1lim該環(huán)量為繞An(en)的環(huán)量面密度。不

7、同的en，其環(huán)量密度不同。(2) 旋度矢量R，方向為環(huán)量面密度最大的方向，模即最大環(huán)量的值，稱R為A在M點的旋度。zyxzyxAAAzyxroteeeAARrotSAAldrotdSl矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。(4) 斯托克斯(Stockes)定理SxyzxyzdxdyxAxAdzdxxAzAdydzzAyAdzAdyAdxAl)()()(zyxzyxzyxeee直角坐標系下：不是函數(shù)，也不是物理量，是一種運算。(1) 作用規(guī)則zuyuxuu )zyx(uzyxzyxeeeeeezAyAxAAAAzyxzyxzzyyxxzyx )()(eeeeeeA標量算子,zAyAxAzyxAzyxz

8、yxzzyyxxzyxAAAyyxAAAzyxeeeeeeeee )()(A(2) 梯度、散度、旋度uzuyuxugraduzyxeeeAAzAyAxAdivzyxAArot2222222zyx2222222222222)(zuyuxuuzyxuuzzzzyyyyxxxxzAyAxAzAyAxAzAyAxAzyxzyxeee)( )()( )(2222222222222222222222222222222AAAAA(3) 拉普拉斯算子(Laplace)散度定理 VSdVdASA斯托克斯定理 SAAlddSl)()()(BABABAAAA2)()(5)亥姆霍茨定理在場域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度

9、及邊界條件唯一地確定。確定一個矢量必須同時已知其散度和旋度。(4) 相關(guān)公式 直角坐標系、圓柱坐標系、球坐標系(1) 直角坐標系單位矢量：ex,ey,ezzyxdzdydxdeeel線段元：zyxdxdydzdxdydzdeeeS面積元：dxdydzdV體積元：zyxzuyuxuueeezAyAxAzyx Axyzxyzexeyez2222222zuyuxuuzzzzyyyyxxxxzAyAxAzAyAxAzAyAxAeee)( )()(2222222222222222222 AzyxzyxAAAyyxeeeAxyzxyzerezerzrzuurruueee1zAArrArrzr1)(1Azr

10、zrArAAzrrreee1A2222221)(1zuurrurru)?(2自己查找 A(2) 圓柱坐標系xyzxyzrereeeeeururruursin11ArArArrrrsin1)sin(sin1)(122AArrAArrrrr)sin()sin(sin12eeeA)?(22自己查找uA,(2) 球坐標系(1) 平行平面場如果在垂直某一直線(設(shè)為 Z 軸)的一族平行平面上（定性分析，非常重要），場 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，則稱這個場為平行平面場。在直角坐標系中，0),(zzyxFZ軸如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族子午面上(定性分析，選擇合適的坐標系非常重要)，場 F 的分布都相同，則稱這個場為軸對稱場。在圓柱坐標系中F=f(r,z)，0),(zrF(