幾種特殊類型函數(shù)的積分2PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分22)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm時(shí),)(xR為假分式;nm 時(shí),)(xR為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式 + 真分 式分解其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和第1頁/共27頁3;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx第2頁/共27頁465

2、32xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x第3頁/共27頁5)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54代入等式兩端分別令1 ,0 xC541215461CB 52B51C原式 =x214512112xx第4頁/共27頁6CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項(xiàng)積分 第5頁/共27頁7.)1)(21 (d2xxx解解: 已知

3、)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51第6頁/共27頁8.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求?d)32(222xxxx提示提示: 變形方法同例3, 并利用 P209 例9 . 第7頁/共27頁9xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xx

4、xxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法. 第8頁/共27頁10.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC第9頁/共27頁11解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(見P283公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd1

5、2122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁第10頁/共27頁121d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步 分項(xiàng)積分 .此解法較繁 !第11頁/共27頁13設(shè))cos,(sin

6、xxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換t 的有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則第12頁/共27頁14.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 則222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122第13頁/共27頁15xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2

7、tan412x2tanxCx2tanln21第14頁/共27頁16.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說明說明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時(shí),xttan往往更方便 .的有理式用代換第15頁/共27頁17. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos第16頁/共27頁18xbxacossin)0(d)cossin

8、(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122baarctan第17頁/共27頁19.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 可令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarc

9、tan312xsind第18頁/共27頁20,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp第19頁/共27頁21.21d3xx解解: 令,23xu則,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC第20頁/共27頁22.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6

10、,6tx 則有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令第21頁/共27頁23.d11xxxx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln第22頁/共27頁241. 可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計(jì)算 .簡便 , 第23頁/共27頁25如何求下列積

11、分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121第24頁/共27頁26求不定積分解解：.d)1 (126xxx令,1xt 則,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1arctan1315135分母