[理學(xué)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中國礦業(yè)大學(xué)第六章ppt課件

1、第六章樣本及抽樣分布二二 、抽樣分布、抽樣分布一一 、隨機(jī)樣本、隨機(jī)樣本 100100個(gè)樣品進(jìn)展強(qiáng)度測試，于是面臨以下幾個(gè)問題：個(gè)樣品進(jìn)展強(qiáng)度測試，于是面臨以下幾個(gè)問題： 1、估計(jì)這批合金資料的強(qiáng)度均值是多少、估計(jì)這批合金資料的強(qiáng)度均值是多少?(參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題2、強(qiáng)度均值在什么范圍內(nèi)？、強(qiáng)度均值在什么范圍內(nèi)？ (參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題3、假設(shè)規(guī)定強(qiáng)度均值不小于某個(gè)定值為合格，那么這、假設(shè)規(guī)定強(qiáng)度均值不小于某個(gè)定值為合格，那么這批資料能否合格？批資料能否合格？ (參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題例如例如 某廠消費(fèi)一型號(hào)的合金資料，用隨機(jī)的方法選取某廠消費(fèi)一型號(hào)

2、的合金資料，用隨機(jī)的方法選取 我們依次討論參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)。我們依次討論參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)。下面首先引入一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的根底知識(shí)。下面首先引入一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的根底知識(shí)。隨 機(jī) 樣 本 第六章 第一節(jié)一一 、總、總 體體 二二 、樣、樣 本本 一一 、總體、總體研討對象的某項(xiàng)數(shù)量目的值的全體稱為總體。研討對象的某項(xiàng)數(shù)量目的值的全體稱為總體?？傮w中每個(gè)研討對象總體中每個(gè)研討對象(元素元素)稱為個(gè)體稱為個(gè)體(樣品樣品)。 一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研討對象。一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研討對象。例如：測試礦大全體男生的身高；例如：測試礦大全體男生的身高；總體總體有限總體有限總

3、體無限總體無限總體 總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量 X X 及其分布來描畫。及其分布來描畫。此總體就可以用隨機(jī)變量此總體就可以用隨機(jī)變量X X 或其分布函數(shù)或其分布函數(shù)例如，研討某批燈泡的壽命時(shí)，例如，研討某批燈泡的壽命時(shí)，這批燈泡中每個(gè)這批燈泡中每個(gè)燈泡的壽命是我們所關(guān)懷的目的燈泡的壽命是我們所關(guān)懷的目的. . ( )F xP Xx表示表示. .( )F x二二 、樣本、樣本樣本：在總體中抽取的部分個(gè)體。樣本：在總體中抽取的部分個(gè)體。12(,)nXXX樣本容量：樣本中所含個(gè)體的數(shù)目樣本容量：樣本中所含個(gè)體的數(shù)目n 。定義定義 為了準(zhǔn)確地進(jìn)展判別，對抽樣有所要求：為了準(zhǔn)確地進(jìn)展判

4、別，對抽樣有所要求： 代表性：樣本的每個(gè)分量代表性：樣本的每個(gè)分量iX與總體與總體X 有一樣的有一樣的分布函數(shù)；分布函數(shù)； 獨(dú)立性：獨(dú)立性：12,nXXX為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，滿足以上條件的樣本滿足以上條件的樣本12(,)nXXX稱為來自總體稱為來自總體X 的容量為的容量為n 的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本簡稱樣本。的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本簡稱樣本。樣本的一次詳細(xì)實(shí)現(xiàn)樣本的一次詳細(xì)實(shí)現(xiàn)12( ,)nx xx稱為樣本值。稱為樣本值。結(jié)合分布函數(shù)為結(jié)合分布函數(shù)為121( ,)( )nniiFx xxF x結(jié)合概率密度為結(jié)合概率密度為121( ,)( )nniifx xxf x結(jié)合分布律為結(jié)合分

5、布律為 11221,niininikkP XxXxXxP Xx例例1 設(shè)總體設(shè)總體 ，求樣本，求樣本 的結(jié)合分布律。的結(jié)合分布律。 ( )X nXXX,21( ),X 總體總體解解: 其分布律為其分布律為 ekkXPk!, 2 , 1 , 0 k于是于是 的結(jié)合分布律為的結(jié)合分布律為 nXXX,21,2211nnkXkXkXP 1iniikXP niikeki1)!( niiknkenii1)!1(1 niiknkenii1!1 例例2 設(shè)總體設(shè)總體 ,求樣本求樣本 的結(jié)合密度函數(shù)。的結(jié)合密度函數(shù)。 ),(2 NXnXXX,21解解: 由知由知,總體總體X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 222)(2

6、1)( xexf于是于是 的結(jié)合分布律為的結(jié)合分布律為 nXXX,21 niixf1)(222)(121 ixnie niixne122)(2122)2( 例例3 設(shè)總體設(shè)總體X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 解解: 樣本樣本 的結(jié)合密度函數(shù)為的結(jié)合密度函數(shù)為 nXXX,21 其它其它, 010,)1()(xxxf 求樣本求樣本 的結(jié)合密度函數(shù)的結(jié)合密度函數(shù). nXXX,21 niixf1)( 其它其它，0, 2 , 1, 10,)()1(1nixxiniin 抽 樣 分 布 第六章 第二節(jié)一一 、統(tǒng)計(jì)量的定義及常用的統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)量的定義及常用的統(tǒng)計(jì)量 二二 、幾種常用的分布、幾種常用的分布 三三

7、、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布 的函數(shù)，它把樣本中所含的某一方面的信的函數(shù)，它把樣本中所含的某一方面的信這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)由樣本值去推斷總體情況，由樣本值去推斷總體情況， 需求對樣本值進(jìn)需求對樣本值進(jìn)行行“加工，加工， 這就要構(gòu)造一些適宜的依賴于樣本這就要構(gòu)造一些適宜的依賴于樣本計(jì)量。它是完全由樣本決議的量計(jì)量。它是完全由樣本決議的量. . 息集中起來。息集中起來。一、統(tǒng)計(jì)量的定義及常用的統(tǒng)計(jì)量一、統(tǒng)計(jì)量的定義及常用的統(tǒng)計(jì)量定義定義1 設(shè)設(shè) ),(21nXXXgnXXX,21是來自總體是來自總體X 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，

8、為一實(shí)值延續(xù)函數(shù)，為一實(shí)值延續(xù)函數(shù)， 其不包含任何其不包含任何未知參數(shù)，那么稱未知參數(shù)，那么稱),(21nXXXg為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。),(21nxxxg為為的觀測值。的觀測值。注：注：仍為隨機(jī)變量。仍為隨機(jī)變量。),(21nxxxg是一個(gè)數(shù)。是一個(gè)數(shù)。),(21nXXXg),(21nXXXg例如例如 總體總體2( ,),XN nXXX,21是一個(gè)樣本，是一個(gè)樣本，那么那么2212112nnkkXXXXX均為統(tǒng)計(jì)量。均為統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)當(dāng)2, 未知時(shí)，未知時(shí)，221212,/XXX均不是統(tǒng)計(jì)量。均不是統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)當(dāng)2, 知時(shí)，其為統(tǒng)計(jì)量。知時(shí)，其為統(tǒng)計(jì)量。下面引見幾種常用的統(tǒng)計(jì)量下面引見幾種常

9、用的統(tǒng)計(jì)量1 1、樣本均值、樣本均值2 2、樣本方差、樣本方差nkkXnX11nkkXXnS122)(11設(shè)設(shè)nXXX,21是來自總體是來自總體X 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，它反映了總體它反映了總體X X 取值的平均值的信息，常用來估計(jì)取值的平均值的信息，常用來估計(jì)EXEX2211()1nkkXnXn2211()1niiSSXXn3、樣本規(guī)范差、樣本規(guī)范差4 4、樣本、樣本k k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩5 5、樣本、樣本k k 階中心矩階中心矩., 2 , 111nkXnAnikik, 2 , 1)(11kXXnBnikik它反映了總體它反映了總體 k k 階矩的信息。階矩的信息?？梢娍梢?12,1n

10、XASBnniixnx11它們的察看值分別為：它們的察看值分別為：11)(11122122niiniixnxnxxnsniixxns12)(112 , 1,11kxnanikik2 , 1,)(11kxxnbnikik 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量. .nXXX,21證 1、 由于是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量， EXEXk., 2 , 12nkDXDXknnEXnXEnkk111nnnDXnXDnkk2221211且且2(1),. EXDXn 例例1 設(shè)總體設(shè)總體X 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為2(),()E XD X212,(),()

11、,().nXXXE XD XE S求其樣本為其樣本為211() 1nkkEXXn 2 E s222(2)(). E S 2211() 1nkkEXnXn 2211 1nkkEXnXn n22kK=11(E(X)-nE(X )n-1 = =2211()1nKn22()nn 下面引見幾種常用的統(tǒng)計(jì)量的分布下面引見幾種常用的統(tǒng)計(jì)量的分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。)(22n記為記為nXXX,21222212nXXX21. 定義定義 設(shè)設(shè)相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)都服從正態(tài)分布分布N (0,1), 那么稱隨機(jī)變量：那么稱隨機(jī)變量：所服從的分布為自在度為所服從的分布為自在度為

12、 n 的的分布分布.分布分布2(一一)二、幾種常用的分布二、幾種常用的分布2分布的密度函數(shù)為分布的密度函數(shù)為 000)2(21);(2122xxexnnxfxnn來定義。來定義。經(jīng)過積分經(jīng)過積分0,)(01 xdttexxt其中伽瑪函數(shù)其中伽瑪函數(shù))(x2分布的密度函數(shù)分布的密度函數(shù)單擊可播單擊可播放電影放電影2由由 分布的定義，不難得到：分布的定義，不難得到：),(2N相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從都服從nXXX,21那么那么)()(121222nXnii(1) 設(shè)設(shè)2 . 性質(zhì)性質(zhì)正態(tài)分布正態(tài)分布證明證明 由于由于2( ,)iXN (0,1),1,2, .iXNin所以所以又又 X1, X2

13、, , Xn 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，)(21221nnXX),(),(222121nXnX且且 X1,X2 相相這個(gè)性質(zhì)叫這個(gè)性質(zhì)叫 分布的可加性。分布的可加性。2(2) 設(shè)設(shè)互獨(dú)立，那么互獨(dú)立，那么也是相互獨(dú)立的。也是相互獨(dú)立的。12,nXXX由由2分布的定義可知的定義可知2222111() ( )nniiiiXXn那么可以求得，那么可以求得， E(X)=n, D(X)=2n E(X)=n, D(X)=2n(3) 假設(shè)假設(shè))(2nX證明證明22212nXXXX(0,1)iXN22()()()1iiiE XD XEX，那么，那么2422()()()3 12iiiD XE XEX 所以所以22()

14、(),iEnE Xn22()()2iDnD Xn運(yùn)用中心極限定理可得，運(yùn)用中心極限定理可得， ，那么當(dāng)，那么當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，)(2nX假設(shè)假設(shè)nnX2的分布近似正態(tài)分布的分布近似正態(tài)分布N(0,1)。 (4) c 2 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)10,稱滿足條件稱滿足條件定義：對于給定的正數(shù)定義：對于給定的正數(shù) _2P的點(diǎn)的點(diǎn) 為為 的上的上 分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。2)(2n)(2n)(2n20.1(25)34.38252, 1 . 0n例：231231頁查表頁查表記為記為 T Tt (n)t (n)。nYXT 所服從的分布為自在度為所服從的分布為自在度為 n 的的 t 分布分布.1. 定義定義

15、: 設(shè)設(shè)XN(0,1) ,)(2nY那么稱變那么稱變量量, 且且X與與Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，二二t 分布分布T 的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxft 分布的密度函數(shù)關(guān)于分布的密度函數(shù)關(guān)于x = 0 對稱對稱當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)，其圖形類似于規(guī)范正態(tài)分布密度充分大時(shí)，其圖形類似于規(guī)范正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形。函數(shù)的圖形。1具有自在度為具有自在度為n的的t分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量T的的2t 分布的密度函數(shù)關(guān)于分布的密度函數(shù)關(guān)于x = 0 對稱對稱2. 性質(zhì)性質(zhì)E(T) = 0; D(T) = n / (n-2) , 對對n 2數(shù)學(xué)期望和方差為數(shù)學(xué)期望

16、和方差為:當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)，其圖形類似于規(guī)范正態(tài)分布充分大時(shí)，其圖形類似于規(guī)范正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形。頁密度函數(shù)的圖形。頁但對于較小的但對于較小的 n，t 分布與分布與N (0,1) 分布相差分布相差很大。很大。 3t 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)10,稱滿足條件定義：對于給定的正數(shù) _tP的點(diǎn) 為 分布的上 分位點(diǎn)。t)(nt)(nt性質(zhì)：性質(zhì)：)()(1ntnt例、10,05. 0n8125. 1)10(05. 0t10,95. 0n.8125. 1)10(59 . 0t)(nt)(nt)(1nt X, 01,Pz0.0052.57z0 x)(xz1z()1F zaa=-1- zz 0.95

17、0.995 1.645,2.57.zz 由于由于由圖可知由圖可知所以查表可得所以查表可得0.05 z故故那么稱點(diǎn)那么稱點(diǎn)z為規(guī)范正態(tài)分布的上為規(guī)范正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。定義定義 設(shè)設(shè)(0,1)XN，假設(shè)，假設(shè)z滿足條件滿足條件1.64545 ,( )ntnz),(),(2212nYnX21nYnXF 1.定義定義: 設(shè)設(shè)X與與Y相互相互獨(dú)立，那么稱統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立，那么稱統(tǒng)計(jì)量服從自在度為服從自在度為三三F 分布分布n1及及 n2 的的F分布分布，記作記作F F ( n1,n2)。即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自在度即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自在度n1.n1.(2) X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為

18、:2)(22nnXE假設(shè)假設(shè) n2 2(1) 由定義可見，由定義可見，121nXnYF F(n2,n1)2. 性質(zhì)性質(zhì)22122122(224)()(2) (4)nnnD Xnnn假設(shè)假設(shè) n2 4(3) F 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)對于給定的正數(shù)對于給定的正數(shù),01稱滿足條件稱滿足條件12(,)P FFn n分位點(diǎn)分位點(diǎn).分布的上分布的上的點(diǎn)的點(diǎn)12( ,)F n n12( ,)F n n112211( ,)(,)Fn nF n n為為12( ,)F n n112211( ,)(,)Fn nF n n證明證明: 設(shè)設(shè)12( ,)FF n n1121( ,)P FFn n由定義由定義11211

19、( ,)PFFn n112111( ,)PFFn n 11211( ,)PFFn n又由于又由于211/(,)FF n n211(,)PF n nF所以故故211121(,)( ,)F n nFn n 統(tǒng)計(jì)三大分布的定義、根本性質(zhì)統(tǒng)計(jì)三大分布的定義、根本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記！記！例例1 設(shè)總體設(shè)總體X , Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立22(0,3 ),(0,3 ),XNYN其樣本為其樣本為129129,X XXY YY和試求統(tǒng)計(jì)量試求統(tǒng)計(jì)量129222129()XXXYYY服從什么分布？服從什么分布？解解 由知得由知得129(0,81)XXXN129(0,1)

20、9XXXUN2222129(9)9YYYV所以所以129222129() (9)/9UXXXtVYYY例例2 設(shè)總體設(shè)總體X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布2(0,2 )N，其樣本為，其樣本為221101215221115,.2()XXX XXYXX求的分布解解 由知得由知得(0,4)iXN所以所以22221210(10)4XXXU2222111215(5)4XXXV22110221115/10(10,5).2/5XXUYFXXV（）故故例例3 知總體知總體X 服從自在度為服從自在度為n 的的 t 分布，求證：分布，求證：2(1, ).XFn解解 由知得由知得 ( )/UXt nV nUV存在和使得

21、其中其中2(0,1),( )UNVn故故222(1),( )UVn所以所以222/1(1, )/UUXFnV nV n221/( ,1)/1V nF nXU還能得還能得1、單個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布、單個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布 定理定理 1設(shè)設(shè) X1, X2 , , Xn 是取自正態(tài)總是取自正態(tài)總體體),(2 N的樣本，的樣本，2XS和分別為樣本均值和樣本方差，那么有分別為樣本均值和樣本方差，那么有22211() ( )niiXn222(1)(1)nSn2XS與相互獨(dú)立相互獨(dú)立三、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布三、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布定理定理2 設(shè)總體設(shè)總體X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布212( ,),n

22、NX XX 是是X 的樣本，的樣本，2XS和分別為樣本均值和樣本方差，那么有分別為樣本均值和樣本方差，那么有(0,1)/XNn (1)/Xt nSn證明：證明： 由于由于11niiXXn是樣本是樣本12,nXXX的線性組的線性組合，故合，故2( ,/ )XNn ，規(guī)范化后可得，規(guī)范化后可得(0,1)/XNn2XS和又由于又由于相互獨(dú)立，所以相互獨(dú)立，所以22(1)/XnSn和也相互獨(dú)立，那么由也相互獨(dú)立，那么由t 分布的定義得分布的定義得22/(1)/1XnnSn (1)/Xt nSn2、兩個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布、兩個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布 定理定理 3設(shè)設(shè) X1, X2 , , Xn1 與

23、與Y1, Y2 , , Yn2分別是分別是來自來自正態(tài)總體正態(tài)總體221122(,),(,)NN 的樣本，并且這兩個(gè)樣的樣本，并且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，記本相互獨(dú)立，記1111niiXXn2121niiYYn1221111()1nkkSXXn2222121()1nkkSYYn那么有那么有2211122222/(1,1)/SF nnS1212()(0,1)11XYNnn 當(dāng)當(dāng)222122221122122212(1)(1)(2)nSnSnn時(shí)時(shí)121212() (2)11XYt nnSnn22112212(1)(1)2nSnSSnn其中其中例例4 設(shè)總體設(shè)總體X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布(80,400)N，其樣本為，其樣本為12100,|80| 3.X XXPX 求解解 由知得由知得(80,4)XN，得，得80(0,1)2XN3803|80| 31222XPXP 所以322 ( )2 220.93320.1336例例5 設(shè)總體設(shè)總體X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布2( ,)N ，其樣本為，其樣本為1217,0.95.XXXkP XkS求使得解解 由知得由知得 (16)/ 17XtS17 0.95/