計(jì)算機(jī)控制技術(shù)課件：第7章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法(z變換、大林算法、D(Z)的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn))

1、第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法第第5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 5.1 離散系統(tǒng)分析基礎(chǔ)離散系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 5.2 離散系統(tǒng)性能分析離散系統(tǒng)性能分析 5.3 數(shù)字控制器直接設(shè)計(jì)數(shù)字控制器直接設(shè)計(jì) 5.4 大林大林(Dahlin)算法算法 5.5 數(shù)字控制器數(shù)字控制器D(z)算法實(shí)現(xiàn)算法實(shí)現(xiàn) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法5.1 離散系統(tǒng)分析基礎(chǔ)離散系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 在連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)分析中，應(yīng)用拉氏變換拉氏變換作為數(shù)學(xué)工具，將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，建立了以傳傳遞函數(shù)遞函數(shù)為基礎(chǔ)的復(fù)域分析法，使

2、得問題得以大大簡(jiǎn)化。在離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)分析中，采用Z變換法變換法，也可以將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，同樣可以建立以 Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 為基礎(chǔ)的復(fù)域分析法。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 5.1.1 Z變換及性質(zhì)變換及性質(zhì) 1. Z變換定義變換定義 Z變換是拉氏變換的一種變形，是由采樣函數(shù)的拉氏變換演變而來的。 在一定條件下，微機(jī)控制系統(tǒng)中的采樣可假設(shè)為理想采樣理想采樣。將連續(xù)信號(hào)e(t)通過采樣周期為T的理想采樣后可得到采樣信號(hào)e*(t)。 e*(t)是一組理想的脈沖序列，每一個(gè)采樣時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度等于該采樣時(shí)刻的連續(xù)函數(shù)值，其表達(dá)式為 0( )()()ke t

3、e kTtkT(51) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 對(duì)式(51)進(jìn)行拉氏變換，得0( )( )()kTskEsL e te kTe(52) 式中含有無窮多項(xiàng)，且每一項(xiàng)中含有e-kTs。 為了運(yùn)算方便，引入新的變量z，令z=eTs，則式(52)可改寫為0( )()kkE ze kTz(53) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 在式(53)中E(z)稱為e *(t)的Z變換變換。記作： Ze *(t)=E(z) 因?yàn)閆變換只對(duì)采樣點(diǎn)上的信號(hào)起作用，所以也可寫為： Ze(t)=E(z) 將式(53)展開，得 E(z)=e(0)z-

4、0+e(1)z-1+e(2)z-2+e(m)z-m+ (54)第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 由此看出，采樣函數(shù)的Z變換是變量z的冪級(jí)數(shù)。其一般項(xiàng)e(kT)z-k的物理意義物理意義是z的冪次表征采樣脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻；e(kT)表征采樣脈沖的幅值。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 2.Z變換的計(jì)算方法變換的計(jì)算方法求任意函數(shù)e(t)的Z變換，通常分三步進(jìn)行： e(t)被理想采樣器采樣，給出離散采樣函數(shù)e *(t)； 求e *(t)的拉氏變換，給出 在E *(s)中用z替換eTs，給出 0( )( )()kTskEsL e te kT

5、e0( )()kkE ze kTz第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法Z變換的計(jì)算方法有以下幾種：變換的計(jì)算方法有以下幾種： 1) 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法 級(jí)數(shù)求和法就是根據(jù)Z變換的定義式，求函數(shù)e(t)的Z變換。下面通過典型信號(hào)的Z變換式來說明如何應(yīng)用級(jí)數(shù)求和法計(jì)算Z變換。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例51】求單位階躍函數(shù)的Z變換 解：設(shè)e(t)=1，求Z變換E(z)。由定義可得： 1230( )1()1kkE zkTzzzz (55) 這是一個(gè)公比為z-1的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)|z-1|1亦即|z|1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則式(55)可寫成

6、閉合形式： 11( )11zE zzz(56) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例52】單位斜坡信號(hào)。 解： 設(shè)e(t)=t，求Z變換E(z)，則0( )()kkE zkTz20( )()(1)(1)kkTzE zkTzzz(57)第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例53】指數(shù)函數(shù)。 解 設(shè)e(t)=e-at，求Z變換E(z)，a為實(shí)常數(shù)，則122330( )1kTkTTTkE zezezezez (58) 這是一個(gè)公比為e-aTz-1的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)|e-aTz -1|1時(shí)， 級(jí)數(shù)收斂，則式(58)可寫成閉合形式： 11(

7、)1TTzE zezze(59) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 2) 部分分式展開法部分分式展開法 用部分分式展開法求Z變換，即已知時(shí)間函數(shù)e(t)的拉氏變換E(s)，求該時(shí)間函數(shù)e(t)的Z變換。其解法的具體步驟是：己知E(s)，將其分解成部分分式之和，查變換表求時(shí)間函數(shù)e(t)L-1E(s)，利用式(53)或查Z變換表求出E(z)。 設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)(t)的拉氏變換E(s)為有理分式函數(shù) ( )( )( )M sE sN s(510) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 式(510)中，M(s)和N(s)分別為復(fù)變量的有理多項(xiàng)

8、式。 當(dāng)N(s)沒有重根 (即E(s)沒有重極點(diǎn)) 時(shí)，可將E(s)展開成部分分式和的形式，即 1( )niiiAE ssp(511) 式(511)中，pi是拉氏變換式E(s)的第i個(gè)極點(diǎn)，即N(s)的零點(diǎn)；Ai是第i項(xiàng)系數(shù)，可用待定系數(shù)法求得，即當(dāng)N(s)已分解為因式乘積時(shí)( )()( )iiis pM sAspN s(512) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 由拉氏變換知道，與Ai /(s-pi)相對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為Aiepit。 根據(jù)式(59)便可求得與Ai /(s-pi)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的Z變換為 11iiiip Tp TAAzezze第第5 5章章 控制規(guī)律的離

9、散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 因此，函數(shù)(t)的Z變換便可由E(s)求得，并可寫作 111( ) ( )1iinniip Tp TiiAAzE zZ E sezze(513) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例54】已知 ( )()E ss sa，求它的Z變換E(z)。解：先對(duì)E(s)進(jìn)行部分分式分解11( )()E ss sassa第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法查表得 11211211( ) 1111( )11(1)( )( )11(1)()(1)(1)TTTTTTTTzE zZszzzEzZsaezzzzzeE

10、zZE szezzzezezeze第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 3) 留數(shù)計(jì)算法留數(shù)計(jì)算法 若己知連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)的拉氏變換式E(s)及其全部極點(diǎn)pi(i1，2，n)，則e(t)的Z變換還可以通過下列留數(shù)計(jì)算求得，即1111( )Re ()1() ( )(1)!iiiinip Tirnis prsTiizE zs E pzedzsp E srdsze(514) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 式中，n為全部極點(diǎn)數(shù)，ri為極點(diǎn)pi的重?cái)?shù)，T為采樣周期。 因此，在已知連續(xù)函數(shù)e(t)的拉氏變換式E(s)全部極點(diǎn)p的條件下，可

11、采用式(514)求e(t)的Z變換式。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例55】已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ，求其Z變換式。 解：由傳遞函數(shù)求出的極點(diǎn)為：s1=-1，r1=1； s2=-4，r2=1。Z變換式為1( )(1)(4)E sss1441( )(1)(1)(4)1(4)(1)(4)3()3()ssTssTTTzE zssszezssszezzzeze第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例56】求連續(xù)時(shí)間函數(shù) 00( )0Tte ttet對(duì)應(yīng)的Z變換式。 解：e(t)的拉氏變換為 21( )()E ssa則s1,2=-a，

12、 r1,2=2。用式(514)對(duì)它進(jìn)行變換后，得222211( )()(21)!()()()sasasTsTTsTTdzE zsadssazeT zeTzezeze第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 3. Z變換基本定理變換基本定理 與拉氏變換類似，在Z變換中也有一些基本定理，它們可以使Z變換變得簡(jiǎn)單和方便。 1) 線性定理線性定理 若已知e1(t)和e2(t)有Z變換分別為E1(z)和E2(z)，且a1和a2為常數(shù)，則 Za1e1(t)a2e2(t)=a1E1(z)a2E2(z) (515)第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 2)

13、右位移定理（延遲定理）右位移定理（延遲定理） 若Ze(t)=E(z)，則 Ze(t-nT)=z-nE(z) (516) 其中，n為正整數(shù)。 說明：該定理表明，“t”域中的采樣信號(hào)e*(t)時(shí)間上延遲n步，則對(duì)應(yīng)于在“z”域中*(t)的Z變換E(z)乘以n步延遲因子z-n。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 3) 左位移定理（超前定理）左位移定理（超前定理） 若Ze(t)=E(z)，則12(1)10( () ( )(0)( )( )(1) ( )()nnnnkkZ e tnTzE zee T ze T ze nT zzE ze kT z(517) 其中，n為正整數(shù)。

14、 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例57】求被延遲一個(gè)采樣周期T的單位階躍函數(shù)的Z變換。 解：應(yīng)用右移位(延遲)定理，有111()1( )11zzZtTz Ztzzz 4) 復(fù)位移定理復(fù)位移定理 若函數(shù)e(t)有Z變換E(z)，則 ( )ttZ ee tE ze(518) 式中，a是常數(shù)。 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 5) 初值定理初值定理 若Ze(t)=E(z)，且極限 存在，則當(dāng)t=0時(shí)的采樣信號(hào)e *(t)的初值e(0)取決于 的極限值，即 lim( )zE zlim( )zE z0(0)lim()lim( )nz

15、eE nTE z(519) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 6) 終值定理終值定理 若Ze(t)=E(z)，且(1-z-1)E(z)在單位圓上和單位圓外無極點(diǎn)(該條件確保e *(t)存在有界終值)，則有 111( )lim()lim(1) ( )lim(1) ( )nzzeE nTzE zzE z (520) 根據(jù)初值定理和終值定理，可以直接由Z變換式E(z)獲得相應(yīng)的采樣時(shí)間序列e(kT)的初值和終值。 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法【例58】 已知Z變換為 ，其中|a|1。求序列e(kT)的初值和終值。 解：(1)由初值定

16、理，得e(kT)的初值為 111( )(1)(1)E zzaz111(0)lim1(1)(1)zezaz(2)因 111(1) ( ),1zE zaz極點(diǎn)|a|1，在單位圓內(nèi)故可以利用終值定理求終值，即111111( )lim ()lim(1) ( )lim11xzzee kTzE zaza 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 5.1.2 Z反變換反變換 1.長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法 通常E(z)是z的有理函數(shù)，可表示為兩個(gè)z的多項(xiàng)式之比，即 1201112012( )mmmmnnnnb zb zb zbE za za za za(521) 對(duì)式(521)用分子除以分母，并將

17、商按z-1的升冪排列，有 120120( )kkkkkE zcc zc zc zc z(522) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 式(522)恰為Z變換的定義式，其系數(shù)ck(k=0，1，2，)就是e(t)在采樣時(shí)刻t=kT時(shí)的值e(kT)。此法在實(shí)際中應(yīng)用較為方便，通常計(jì)算有限n項(xiàng)就夠了，缺點(diǎn)是要得到e(kT)的一般表達(dá)式較為困難。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法【例59】已知 10( ),(1)(2)zE zzz試求其Z反變換。 解 1121231211212323434345451010( )(1)(2)1321030701

18、32101030203020309060706070210140150140zzE zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 應(yīng)用上面的長(zhǎng)除法，可得 E(z)=10z-1+30z-2+70z-3+ 所以 e *(t)=0+10(t-T)+30(t-2T)+70(t-3T)+第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 2. 部分分式展開法部分分式展開法 Z變換函數(shù)E(z)可用部分分式展開的方法將其變成分式和的形式，然后通過Z變換表(見附錄)找出展開式中每一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)e(t)，并將其轉(zhuǎn)變?yōu)椴蓸?/p>

19、信號(hào)e *(t)。 參照Z變換表可以看到，所有Z變換函數(shù)E(z)在其分子上都有因子z。因此，我們可以先把E(z)除以z，并將E(z)/z展開成部分分式，然后將所得結(jié)果的每一項(xiàng)都乘以z，即得E(z)的部分分式展開式。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法下面按E(z)的特征方程有、無重根兩種情況舉例說明。 1) 特征方程無重根特征方程無重根【例510】給定Z變換(1)( )(1)()aTaTezE zzze式中a是常數(shù)，用部分分式法求E(z)的Z反變換e*(t)。解 E(z)的特征方程式為(z-1)(z-e-aT)=0，解之得 z1=1，z2=e-T將E(z)/z展成部

20、分分式 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法可得 12( )1aTE zAAzzZe1211122( )1()1( )1()11aTaTz zzaTaTz zz eE zeAzzzzeE zeAzzzz 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法所以 0( )1()1( )(1) ()aTakTakTkzzE zzzee kTee tetkT 查Z變換表得 所以采樣函數(shù)為 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 2) 特征方程有重根特征方程有重根 【例511】已知Z變換 222( )21zzE zzz解：E(z)的特征

21、方程式為，求其Z反變換。 2122221112210( )(1)1( )( 31)(1)(1)2(1)zzzzE zAAzzzE zzAzzzz z 解得z1,2=1為兩重根。設(shè) 可得第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法2122211( )(1)(1)( )(1)( 31)3zzE zzAzAzdE zdAzzdzzdz 再將上式兩端對(duì)z求導(dǎo)，得 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法22( )23(1)123( )(1)1( )23 1( )E zzzzzzE zzze ttt 所以 故 查表得所以采樣函數(shù)為 0( ) 23 1() ()

22、ke tkTkTtkT 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法1111() ( )()Re ( )inkinkz zie kTE z ze kTs E z z3. 留數(shù)計(jì)算法留數(shù)計(jì)算法 式中，n是E(z)zk-1的極點(diǎn)數(shù)；ResE(z)zk-1 z=zi表示E(z)zk-1在E(z)極點(diǎn)zi上的留數(shù)。 已知Z變換函數(shù)E(Z)，可用留數(shù)計(jì)算法求其反變換。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法當(dāng)zi為非重極點(diǎn)時(shí)， 111111Re ( )lim() ( )1Re ( )lim()( )(1)!iiiiiiikkz zizzrrkkz zirzzi

23、s E z zzz E z zds E z zzzE z zrdz當(dāng)zi為ri重極點(diǎn)時(shí)， 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例512】已知Z變換 (1)( )(1)()aTaTezE zzze試用留數(shù)計(jì)算其Z反變換。解：E(z)的兩個(gè)極點(diǎn)是z1=1，z2=e-aT，則2111(1)()Re (1)()(1)(1)(1)()(1)()(1)()1aTaTkaTiaTkaTkaTzaTaTz eakTeze kTszzzeezezzzezzezzee 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 采樣函數(shù)為 0()(1) ()akTke kTe

24、tkT第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例513】已知Z變換 試用留數(shù)計(jì)算其Z反變換。 解：E(z)的兩個(gè)極點(diǎn)z1,2=0.5，則2(1)( )(0.5)z zE zz1,21,21,210.522120.510.5(1)()Re (0.5)1(1)lim(0.5)(21)!(0.5)lim (1)(1)0.5kxkxkkxkz ze kTszzdz zzzdzzkzkzk第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法采樣函數(shù)為 0()0.5 (1) ()kke kTktkT說明：用留數(shù)計(jì)算法求出的Z反變換式是閉合形式。第第5 5章章 控制規(guī)

25、律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 5.1.3 用用Z變換解差分方程變換解差分方程 在連續(xù)系統(tǒng)中，用拉氏變換求解微分方程拉氏變換求解微分方程，使復(fù)雜的微積分運(yùn)算變成簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算。 同樣在線性離散系統(tǒng)中，用Z變換求解差分方程變換求解差分方程，既是將求解運(yùn)算變換為以z為變量的代數(shù)方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法差分方程：差分方程：在線性離散系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)輸入采樣信號(hào)在線性離散系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)輸入采樣信號(hào)與輸出采樣信號(hào)關(guān)系的方程。與輸出采樣信號(hào)關(guān)系的方程。例如：例如：求解差分方程：求解差分方程：就是已知差分方程及輸入采樣脈沖序列就是已知差

26、分方程及輸入采樣脈沖序列,在給定輸出采樣脈沖序列初始值的情況下在給定輸出采樣脈沖序列初始值的情況下,求解輸出采樣求解輸出采樣脈沖序列。脈沖序列。)()()2()()()()()2()()(1210121mTkTrbTmTkTrbTkTrbTkTrbkTrbnTkTyaTnTkTyaTkTyaTkTyakTymmnn第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法用Z變換求解差分方程主要用到Z變換的左位移定理左位移定理（超前定理）右位移定理右位移定理（延遲定理） Ze(t-nT)=z-nE(z)第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 用Z變換求解差分方程

27、的一般步驟： (1)對(duì)差分方程作Z變換； (2)利用已知初始條件或求出的Y(0)，Y(T)代入Z變換； (3)由Z變換式，將差分方程變?yōu)橐詚為變量的代數(shù)方程:10111011( )mmmmnnnnb zb zbzbX za za zaza (4)由Y(Z)得 y(kT)=Z-1Y(z)，運(yùn)用長(zhǎng)除法、部分分式法或留數(shù)計(jì)算法求解它的時(shí)間響應(yīng)y(kT)。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例514】已知x(n+2)+3x(n+1)+2x(n)=0的初始條件為x(0)=0，x(1)=1，試求其時(shí)間響應(yīng)式。 解:根據(jù)左移定理，其差分方程的Z變換式為 z2X(z)-z2x(

28、0)-zx(1)+3zX(z)-3zx(0)+2X(z)=0 整理后得2( )22(1(2)zzX zzzzz( )12zzX zzz22(3 )(0)(1)( )32zzxz xX zzz第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法查表得 111( 1)( 1)( 2)( 2)nnnzZazazZzzZz 所以有 即時(shí)間響應(yīng)為 x(n)=(-1)n-(-2)n n=0,1,2, 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例515】用Z變換方法求差分方程 y(k+2)-1.2y(k+1)+0.32y(k)=1.2u(k+1)已知y(0)=1，y(1

29、)=2.4，u(0)=1，u(k)=1(k)為單位序列。 解：對(duì)差分方程等號(hào)兩邊進(jìn)行Z變換，得 z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)-1.2zY(z)+1.2zy(0)+0.32Y(z) =1.2zU(z)-1.2zu(0)同類項(xiàng)合并，得 (z2-1.2z+0.32)Y(z) =1.2zU(z)+(z2-1.2z)y(0)+zy(1)-1.2zu(0)將初始值代入整理，得第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 又因 ，得2221.2( )( )1.20.321.20.32zzY zU zzzzz( )1( )1zU zZkz2222321.2( )(1.20.32)

30、(1)1.20.320.2(0.8)(0.4)(1)zzY zzzzzzzzzzz第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 上式有三個(gè)單極點(diǎn)：0.8，0.4，1。用留數(shù)計(jì)算可得311220.80.421( )Re ( )(0.2 )(0.2 )limlim(0.4)(1)(0.8)(1)(0.2 )lim(0.8)(0.4)10 0.80.410 1(0)kikkzzkzkkky ks Y z zzz zzz zzzzzzz zzzk 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 5.1.4 脈沖傳遞函數(shù)及方框圖分析脈沖傳遞函數(shù)及方框圖分析 在分析線

31、性常系數(shù)離散系統(tǒng)時(shí)，z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是個(gè)很重要的概念，將用z傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)特性。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 1.傳遞函數(shù)定義傳遞函數(shù)定義 z傳遞函數(shù)又稱脈沖傳遞函數(shù)。如果系統(tǒng)的初始條件為零，輸入信號(hào)為r(t)，經(jīng)采樣后r*(t)的Z變換為R(z)，連續(xù)部分輸出為c(t)，采樣后c*(t)的Z變換為C(z)，如圖51所示。開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)定義為輸出采樣信號(hào)的Z變換與輸入采樣信號(hào)的Z變換之比，用G(z)表示( )( )( )C zG zR z第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法圖51 開環(huán)采樣系統(tǒng) r(t)r*(t)c

32、(t)C(z)R(z)G(z)G(z)TT第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 若已知系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)G(z)及輸入信號(hào)的Z變換R(z)，則輸出的采樣信號(hào)就可求得，即 c *(t)=Z-1C(z)=Z-1G(z)R(z) 因此，求解c*(t)關(guān)鍵就在于怎樣求出系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)G(z)。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 2.脈沖傳遞函數(shù)的求法脈沖傳遞函數(shù)的求法 （1）由差分方程求）由差分方程求其方法為：1）令初始條件為零，對(duì)差分方程兩邊作為z變換（查z變換表及用z變換定理）；根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，求出脈沖傳遞函數(shù)G(z)=C(z)/R

33、(z) 。 （2）由系統(tǒng)連續(xù)信號(hào)的傳遞函數(shù)）由系統(tǒng)連續(xù)信號(hào)的傳遞函數(shù)G(s)求求其方法為：1）對(duì)G(s)展成部分分式；2）查Z變換表求出各個(gè)分式的z變換，其結(jié)果即為系統(tǒng)的脈沖 傳遞函數(shù)G(z)。 （3）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例516】設(shè)連續(xù)對(duì)象的傳遞函數(shù)為 ，試求其z傳遞函數(shù)。 解 系統(tǒng)的連續(xù)部分應(yīng)包括零階保持器，因此傳遞函數(shù)為 0( )aG ssa1(1)( )()TsTseaeaG sss as s a第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法其z傳遞函數(shù)為 1111111(1)( )(1)(

34、)()11(1)11(1)()11(1)11TsaTaTaTaTaTeaaG zZzZs sas sazZssazzezezeezze第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 3.串聯(lián)環(huán)節(jié)的串聯(lián)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 串聯(lián)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)求法與連續(xù)傳遞函數(shù)求法類似。不過，離散環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)傳遞函數(shù)的求法更復(fù)雜些。 此時(shí)，有三種情況需要考慮，如圖52所示。 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法圖52 三種環(huán)節(jié)串聯(lián)形式 G(z)R(z)(a)G1(z)G2(z)C(z)G(z)R(z)(b)G1(s)G2(s)C(z)TTG(z)R(z)(c)G1

35、(s)G2(s)C(z)TTT第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 圖52(a)為兩個(gè)已經(jīng)離散的環(huán)節(jié)串聯(lián)，其總的脈沖傳遞函數(shù)G(z)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積，即G(z)=G1(z)G2(z)；圖52(b)為兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，其總的傳遞函數(shù)G(z)就等于兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后再取Z變換，即G(z)=ZG1(s)G2(s)；圖52(c)為兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，但中間有采樣開關(guān)，這時(shí)總的傳遞函數(shù)G(z)就等于兩個(gè)環(huán)節(jié)取Z變換后再相乘，即G(z)=ZG1(s)ZG2(s)=G1(z)G2(z)。 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 由此可以得出結(jié)論

36、： (1)當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的相應(yīng)Z變換。 顯然，這個(gè)結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而無采樣開關(guān)隔開的情況，這時(shí)整個(gè)開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于n個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的Z變換，即 G(z)=ZG1(s)G2(s)Gn(s)=G1G2Gn(z) 注意：注意：G1(z)G2(z)Gn(z)G1G2Gn(z)第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 (2)當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)之乘積。 這一點(diǎn)也可以推廣到n個(gè)線性單元串聯(lián)，每個(gè)中間都

37、有采樣開關(guān)隔開，其傳遞函數(shù)為 1( )( )niiG zG z第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 4.并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) 圖53(a)為離散環(huán)節(jié)并聯(lián)，總的脈沖傳遞函數(shù)為G(z)=G1(z)+G2(z)； 圖53(b)為連續(xù)環(huán)節(jié)并聯(lián)，但輸入輸出帶采樣 開關(guān)，其總的脈沖傳遞函數(shù)為G(z)=ZG1(s)+G2(s)=G1(z)+G2(z)； 圖53(c)為分別帶采樣開關(guān)的連續(xù)環(huán)節(jié)并聯(lián)，其總的脈沖傳函為 G(z)=ZG1(s)+ZG2(s)=G1(z)+G2(z)。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法圖53 三種環(huán)節(jié)并聯(lián)形式 (a

38、)G(z)R(z)C(z)TG1(z)G2(z)(b)G(z)R(s)C(z)G1(s)G2(s)TT(c)G(z)R(s)C(z)G1(s)G2(s)TT第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例517】已知 ,分別將它連成圖5-2(b)、(c)形式,試分別求它們各自的傳遞函數(shù)G(z)。 解 按圖52(b)的結(jié)構(gòu)121( ),( )aG sG sssa1211( )( )( )(1)1(1)()aTaTaTaaG sZ G s G sZZs sassazzzezzezze第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 按圖52(c)的結(jié)構(gòu) 122

39、1( )( ) ( )1(1)()aTaTaG sZ G s Z G sZZssazazazzzezze 說明：由例517可知，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，G(z)值就不一樣。這一結(jié)論對(duì)環(huán)節(jié)作并聯(lián)時(shí)也適用。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 5. 閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)傳遞函數(shù)：在閉環(huán)系統(tǒng)中，輸出采樣信號(hào)的 Z變換與輸入采樣信號(hào)的Z變換之比。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 【例518】一個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖55所示，試求該系統(tǒng)的閉環(huán)z傳遞函數(shù)。圖55 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 H(s)D(s)Gh(s)Go(s)G(s)U(z)E(s

40、)R(z)C(z)C(s)R(s)E(z)B(s)第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 解 由圖可知幾種信號(hào)的關(guān)系如下：C(s)=Gh(s)Go(s)U*(s)=G(s)D*(S)E*(s)(其Z變換式為C(z)=G(z)D(z)E(z)E(s)=R(s)-H(s)G(s)D*(s)E*(s)(其Z變換式為E(z)=R(z)-HG(z)D(z)E(z)所以 C(z)=D(z)G(z)R(z)-D(z)HG(z)C(z) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法故閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ( )( ) ( )( )( )1( )( )C zD z G z

41、zR zD z HG z( ) ( )( )( )1( )( )D z G zC zR zD z HG z第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法對(duì)其它結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（見下表）對(duì)其它結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（見下表）第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法5.2 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)控制規(guī)律的設(shè)計(jì)，其任務(wù)是在給定系統(tǒng)性能指標(biāo)的條件下，在已知被控制對(duì)象的前提下，設(shè)計(jì)出數(shù)字調(diào)節(jié)器（控制器）的數(shù)學(xué)模型，使系統(tǒng)達(dá)到要求的性能指標(biāo)。計(jì)算機(jī)控制系

42、統(tǒng)控制規(guī)律的設(shè)計(jì)方法可分為：離散化設(shè)計(jì)方法、模擬化設(shè)計(jì)方法、狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)方法和復(fù)雜控制規(guī)律設(shè)計(jì)方法4類。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 離散化設(shè)計(jì)方法，就是假定對(duì)象本身是離散化模型或者用離散化模型表示的連續(xù)對(duì)象，以采樣理論為基礎(chǔ)，以Z變換為工具，在Z域中直接設(shè)計(jì)出數(shù)字調(diào)節(jié)器D(Z)。這種設(shè)計(jì)法也稱Z域設(shè)計(jì)法或直接數(shù)字化設(shè)計(jì)法。本章主要介紹數(shù)字調(diào)節(jié)器（控制器）的離散化設(shè)計(jì)方法。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法5.2.1 直接數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)直接數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)在離散化設(shè)計(jì)方法中，通常假定系統(tǒng)為圖5-1的典型結(jié)構(gòu)。

43、 )(trsTse1)(zD)(0sH：廣義對(duì)象)(sG)(z)(zG)(*tuTT)(*tr)(*te)(tuT)(ty)(tyT)(0sG圖5-1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)+對(duì)象第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法D(z) 數(shù)字控制器；Ho (s) 保持器(本書用零階保持器)；Go(s)控制對(duì)象傳遞函數(shù)；(z)系統(tǒng)閉環(huán)Z(脈沖)傳遞函數(shù)；R(z) 輸入信號(hào)的Z變換；Y(z) 輸出信號(hào)的Z變換。E(z) 偏差信號(hào)的Z變換。U(z) 控制信號(hào)的Z變換。由圖51可求得系統(tǒng)廣義對(duì)象的Z傳遞函數(shù)： (5-2-1) )(1)(0sGseZzGTs第第5 5章章 控制規(guī)律的離

44、散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 數(shù)字調(diào)節(jié)器的Z傳遞函數(shù)： (5-2-4) 這就是我們分析和設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的基礎(chǔ)和基本模型。 閉環(huán)Z傳遞函數(shù)： )()(1)()()(zGzDzGzDz 誤差Z傳遞函數(shù)： )(ze )()(zRzE)(1z )()(11zGzD (5-2-3) (5-2-2) )(1)()()()()(zzGzzzGze )(zD第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 5.2.2 最少拍有波紋系統(tǒng)數(shù)字調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)最少拍有波紋系統(tǒng)數(shù)字調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì) 最少拍系統(tǒng)，也稱最小調(diào)整時(shí)間系統(tǒng)，最快響應(yīng)系統(tǒng)或時(shí)間最優(yōu)控制。它是指典型系統(tǒng)(如圖5-1)在典型輸入(階躍、

45、等速和等加速度等)作用下具有最快的響應(yīng)速度，被控量能在最短的調(diào)節(jié)時(shí)間即最少的采樣周期數(shù)內(nèi)達(dá)到設(shè)定值。換言之，偏差采樣值能在最短時(shí)間內(nèi)達(dá)到并保持為零，有波紋是指對(duì)任何兩次采樣時(shí)刻間的輸出不提任何要求(因而設(shè)計(jì)過程和設(shè)計(jì)結(jié)果均較簡(jiǎn)單)，故只能保證系統(tǒng)輸出在采樣點(diǎn)上誤差為零而采樣點(diǎn)之間存在波紋，如圖5-2所示。12340圖5-2 最少拍有波紋系統(tǒng)的輸出第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 1.設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法 )( z )( zD)()()()(zzGzzDe 性能要求約束條件控制算法程序最少拍系統(tǒng)(有波紋或無波紋)的設(shè)計(jì)可分如下所示三個(gè)步驟： 第一步 第二步 第三步 )

46、(z )(zD其中每一步所要做的工作是： 第一步主要根據(jù)性能要求和約束條件確定所需的 。性能要求和約束條件有穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。準(zhǔn)確性控制系統(tǒng)對(duì)典型輸入必須無穩(wěn)態(tài)誤差?？焖傩赃^渡過程應(yīng)盡快結(jié)束，即調(diào)整時(shí)間為有限步，步數(shù)是最少的。物理可實(shí)現(xiàn)性設(shè)計(jì)出的 必須是物理上可實(shí)現(xiàn)的。)(z )(zD)()()()(zzGzzDe 第二步主要是由確定。依據(jù)的公式為。第三步根據(jù))(zD編制控制算法的程序。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法(1). .由準(zhǔn)確性要求確定由準(zhǔn)確性要求確定)(z 準(zhǔn)確性要求是：系統(tǒng)對(duì)某種典型輸入，在采樣點(diǎn)上無穩(wěn)態(tài)誤差，即要求0)()()1(lim

47、)()1(lim)(lim1111 zRzzzEzteezzt下面討論在典型輸入下，滿足式(5-2-5)要求的)(ze 的結(jié)構(gòu)形式。(5-2-5) 112210)!1(! 2)( qqtqAtAtAAtrZ將輸入時(shí)間函數(shù) 取變換，得 31221221111)1(2)1(11)1()()(zzTzTzTzzzzBzRq單位階躍輸入單位等速輸入單位等加速度輸入3 q2 q1 q(5-2-6) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法)(zB)1(1 z其中中不含因子，將上式代入式(5-2-5)，得0)()1()()1(lim)(lim111 zzzBzteeqzt)(ze

48、)1(1 z顯然，要使穩(wěn)態(tài)誤差為零，中必須含有，冪次不能低于q即 )()1()(1zFzzme )1()1(22111nnmzfzfzfz mq式中)(zF1 z，是關(guān)于的有限多項(xiàng)式，將由其它條件確定。 )( ze )(z )(1ze )(z 有了，可根據(jù)=寫出的表達(dá)式：)1()1(1)(1)(22111nnmezfzfzfzzz )(2211nmnmzazaza )()1(231211 nmnmzazazaaz(5-2-7) (5-2-8) (5-2-9) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法(2).由快速性要求確定由快速性要求確定 快速性要求是：閉環(huán)系統(tǒng)過渡過程

49、步數(shù)最少，即在最短時(shí)間內(nèi)使采樣點(diǎn)上的誤差趨于0，這就要求 中關(guān)于的 冪次盡可能低。顯然在滿足準(zhǔn)確性要求的基礎(chǔ)上，令 (即 )，則所得 既可滿足準(zhǔn)確性，又可滿足快速性要求，這樣就有)(z )(ze 1 z1)( zFqm，0 n)(ze qezz)1()(1 相應(yīng)地)()1(1)()1(12111 qqqzazaazzz(5-2-10) (5-2-11) 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法針對(duì)幾種典型輸入，可由式(5-2-10)和(5-2-11)得到以下一些具體結(jié)果。系統(tǒng)輸入為單位階躍 ：e(z)=1-z-1；由式(7-2-3)可得誤差和輸出為：1111123( )

50、( ) ( )1(1)111( )( ) ( )1eE zz R zzzC zz R zzzzzz)1( q1)( zz第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 由 得誤差采樣脈沖序列為： e(0)=1，e(1)=e(2)=0 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及輸出序列如圖7-2-1所示。由圖7-2-1可知，單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為T，只需一拍就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。 系統(tǒng)輸入為單位等速 ： e(z)=(1-z-1)2 ； 由式(7-2-3)可得誤差和輸出為： )(zE)2( q21212)1(1)( zzzz第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法圖5-2-1 單位

51、階躍輸入時(shí)誤差與輸出序列 Te(kT)c(kT)kT2TkTT2T(a)(b)1010第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 由 得誤差采樣脈沖序列為： e(0)=0，e(T)=T，e(2)=e(3)=0 系統(tǒng)的誤差及輸出序列如圖7-2-2所示。此時(shí)，單位等速輸入時(shí)系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為2T，只需兩拍就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。1 21 21( )( ) ( )(1)1(1)eE zz R zzz1121 2234( )( ) ( )(2)(1)234TzC zz R zzzzTzTzz)(zE第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法圖5-2-2 單位等速輸入時(shí)誤

52、差與輸出序列 c(kT)kTe(kT )T2T3TkTT2T3T2TT(a)(b)2TT00第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 系統(tǒng)輸入為單位加速度 ： e(z)=(1-z-1)3； 由式(7-2-3)可得誤差和輸出為： 2111 31 321222111231 322232424(1)( )( ) ( )(1)2(1)12(1)( )( ) ( )(33)(1)3.5711.5eT zzE zz R zzzT zT zT zzC zz R zzzzzT zT zT zT z)3( q3213133)1(1)( zzzzz第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控

53、制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法由 得誤差采樣脈沖序列為： 2(0)0, (1)(2),2(3)(4)00Teeeee 系統(tǒng)的誤差及輸出序列如圖7-2-3所示。可見，單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為3T，只需三拍就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。 對(duì)于三種典型輸入，最少拍控制系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間、誤差傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)匯總于表51。)(zE第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法圖5-2-3 單位加速度輸入時(shí)誤差與輸出序列 0e(kT )4T0r(kT )kTT2T3TkT22T(a)T2T3T2T(b)第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法表51 最少拍控制系統(tǒng)各參量表 第

54、第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 (3).由穩(wěn)定性要求由穩(wěn)定性要求 當(dāng)廣義對(duì)象 中含有單位圓上或圓外的零、極點(diǎn)時(shí)，考慮到閉環(huán)的穩(wěn)定性，對(duì) 或 的結(jié)構(gòu)還會(huì)提出進(jìn)一步要求。 含單位圓上或圓外零點(diǎn)時(shí)，由式(5-2-4) )(z )(zG)(z )(ze )()()()(zzGzzDe )(zG)(zD)(z )(zD圓上或圓外的零點(diǎn)將變成仍按以前的方法設(shè)計(jì)，則這個(gè)不穩(wěn)定的控制量又會(huì)使系統(tǒng)的輸出發(fā)散。 圓上或圓外的極點(diǎn)， 如果 的輸出必將不穩(wěn)定， 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法)(z )(zG讓的零點(diǎn)中含有圓上或圓外零點(diǎn)，二者相消是可行的

55、。 )(z )(z 因?yàn)楹瑘A上或圓外零點(diǎn)，不影響自身穩(wěn)定性，因此在前面對(duì) 要求的基礎(chǔ)上，應(yīng)作進(jìn)一步修改。 )(zGuuzzz，21)(z 設(shè)在單位圓上或圓外有 個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)修改成 )1()1)(1)()(1121111211 zzzzzzzazaazzuqq)(ze )(1z )(ze )(z 1 z)(ze 由可知和關(guān)于的最高次冪總是也應(yīng)在原來基礎(chǔ)上相應(yīng)變?yōu)橄嗟?，所?)1()1()(22111uuqezfzfzfzz 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法)(zG含有單位圓上或圓外的極點(diǎn)時(shí)，由式(5-2-4)()()()(zzGzzDe )(z )(zG)(zD可

56、知，如果仍按快速性要求的方法設(shè)計(jì)，則的不穩(wěn)定極點(diǎn)將變成的零點(diǎn)， 又由 )()()()()(1)()()(zzGzDzGzDzGzDze 的零極點(diǎn)又可對(duì)消，從而造成了 )(zD)(zG與無論輸出量還是 控制量都是穩(wěn)定的假象。第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法 在實(shí)際控制中，由于系統(tǒng)辨識(shí)的誤差或系統(tǒng)運(yùn)行過程中對(duì)象參數(shù)的變化，都可能造成 不穩(wěn)定極點(diǎn)與理論上的不一致；而且 由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，其相應(yīng)的零點(diǎn)不可能隨之變化，因此非但抵消不了，甚至情況更糟。 由 可知，要消除G(z)在單位圓外或圓上的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，正確的解決辦法是讓 的零點(diǎn)中包含 不穩(wěn)定極點(diǎn)，這樣 自身穩(wěn)定

57、，又可相消。 1( )( )( )( ) 1( )( )( )ezzD zG zzG zz)(zG)(zD)(ze )(zG)(ze 第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法因此，要在以上設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì) 再加改進(jìn)。設(shè) 有 個(gè)單位圓上或圓外不穩(wěn)定極點(diǎn)： ，則按上述要求， 應(yīng)改成 相應(yīng)地， 中關(guān)于 的冪次也要增加 ，即)(ze )(zGvvppp，21)(ze )1()1()(22111uuqezfzfzfzz )1()1)(1(11211 zpzpzpv)(z 1 zv)1()1)(1)()(1121111211 zzzzzzzazaazzuvqvq第第5 5章章 控制

58、規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法應(yīng)當(dāng)特別注意的是應(yīng)當(dāng)特別注意的是，當(dāng) 含有 這種不穩(wěn)定極點(diǎn)時(shí)，讓 含圓上的零點(diǎn)。與快速性要求 含 (相當(dāng) 個(gè) 的零點(diǎn))往往會(huì)重復(fù)。如果 含有 的極點(diǎn)數(shù)小于 ，則 式中極點(diǎn)因子 中不應(yīng)再含 ；若 含有 的極點(diǎn)數(shù)比 大個(gè)，則 的極點(diǎn)因式中還應(yīng)含有 個(gè) 因子，相應(yīng)地 式中 的個(gè)數(shù)也應(yīng)減去重復(fù)數(shù)。 )(zG1 z)(ze )(ze qz )1(1 q1 z)(zG1 zq)(ze )1(1 zpi)1(1 z)(zG1 zqx)(ze x)1(1 z)(z v第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法(4).由由 的物理可實(shí)現(xiàn)性確定的物

59、理可實(shí)現(xiàn)性確定所謂 的物理可實(shí)現(xiàn)，是指 當(dāng)前時(shí)刻的輸出只取決于當(dāng)前時(shí)刻及過去時(shí)刻的輸入，而與未來的輸入無關(guān)，這兒不考慮預(yù)測(cè)問題。數(shù)學(xué)上講，應(yīng)保證 分母中 的最低次冪不大于分子關(guān)于 的最低次冪。)(zD)(zD)(zD)(zD1 z1 z第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法我們舉一個(gè)例子來說明，設(shè)有其分母關(guān)于 的最低次冪為1，分子的為零，故此 物理上不可實(shí)現(xiàn)。事實(shí)上，該 的輸出為這說明 當(dāng)前時(shí)刻 的輸出要取決于未來時(shí)刻 的輸入，這樣的 物理上是不可實(shí)現(xiàn)的。 13212182. 514. 343. 5718. 0292. 072. 443. 5)(zzzzzzzzD1

60、z)(zD)(zD )(82. 5)(14. 3)(43. 5)()()(1zEzzEzzEzEzDzU 1182. 514. 343. 5kkkkeeeu)(zDkTTk)1( )(zD第第5 5章章 控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法控制規(guī)律的離散化設(shè)計(jì)方法當(dāng)廣義對(duì)象含有純滯后環(huán)節(jié)時(shí)，會(huì)遇上 的可實(shí)現(xiàn)性問題。設(shè)廣義對(duì)象含有一純滯后為 個(gè)采樣周期的環(huán)節(jié)，其 傳遞函數(shù)為由于 不影響 的關(guān)于 的最低次冪，為保證 物理上可實(shí)現(xiàn)，則要求 中必須包含因子 。 )(zDrZ )()()()(2211000 zgzggzsGsHZzGr從而)()()()()()()(22110zzgzggzzzzGzzDere )