空間立體幾何講義

1、-作者xxxx-日期xxxx空間立體幾何講義【精品文檔】第1講 空間幾何體高考考試大綱的要求： 認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu). 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖. 會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式. 會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴格要求）. 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.（一）例題選講：例1.四

2、面體ABCD的外接球球心在CD上，且CD2，AB，在外接球面上兩點A、B間的球面距離是（ ）A B C D例2.如果圓臺的母線與底面成60°角,那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比為( )A B C D例3.在正三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是 .例4.如圖所示，等腰ABC的底邊AB=6,高CD=3，點B是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EFAB.現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE.記BEx，V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積.（1） 求V(x)的表達式； （2）當x為何值時，V(x)取得最

3、大值？（3）當V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值。（二）基礎(chǔ)訓練：1下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（ ）正方形圓錐三棱臺正四棱錐ABCD2設(shè)地球半徑為R，若甲地位于北緯東經(jīng)，乙地位于南緯度東經(jīng)，則甲、乙兩地球面距離為（ ）（A） (B) (C) (D) 3若一個底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個球的面上，則此球的體積為 4. 已知三點在球心為，半徑為的球面上，且，那么兩點的球面距離為_，球心到平面的距離為_5如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD 為矩形，AB=8，AD=4，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°.（

4、）求四棱錐PABCD的體積； （）證明PABD.（三）鞏固練習：1若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（ ）（A） （B） （C） （D）2、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ ）A B C D3.一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，這個圓錐軸截面頂角的余弦值是( ) A. B. C. D.4已知球O的半徑為1，A、B、C三點都在球面上，且每兩點間的球面距離為，則球心O到平面ABC的距離為（ ）（A）（B）（C）（D）5.表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上,則此球的體積為（ ）A

5、B C D6.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_O7請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？8 如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且 =。 （I）證明：BD；（II）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？請給出證明。第2講 空間直線和平面高考考試大綱的要求：理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi).公理2：過不在同一條直線上

6、的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.理解以下判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.

7、理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：如果一條直線與一個平面平行,經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交,那么這條直線就和交線平行.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個平面的兩條直線平行.如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直. 能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.（一）例題選講：例1如圖，在正四棱柱 中，E、F分別是的中點，則以下結(jié)論中不成立的是( ) A B. C. D. ABAB例2.如圖，平面平面，A，B，AB與兩平面、所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A、B，則ABAB（ ）（A）

8、21 （B）31 （C）32 （D）43例3.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 例4.在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2， M、N分別為AB、SB的中點。 （）證明：ACSB；（）求二面角NCMB的大小；（）求點B到平面CMN的距離.（二）基礎(chǔ)訓練：1已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題： 其中正確命題的序號是（ ）A B C

9、 D2.已知P為平面a外一點，直線la,點Ql,記點P到平面a的距離為a,點P到直線l的距離為b，點P、Q之間的距離為c，則（ ）(A) (B)c (C) (D)3、給出以下四個命題： 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行，如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.其中真命題的個數(shù)是（ ）A.4 B. 3 C. 2 D. 14、下列命題中，正確的是（ ）A經(jīng)過不同的三點有且只有一個平面 B分別在兩個平面

10、內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線 D垂直于同一個平面的兩個平面平行5.已知點O在二面角AB的棱上，點P在內(nèi)，且POB45°若對于內(nèi)異于0的任意一點Q，都有POQ45°，則二面角AB的大小是_6已知平面和直線，給出條件：；. PCAB（i）當滿足條件 時，有；（ii）當滿足條件 時，有.（填所選條件的序號）7三棱錐PABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1) 求證ABBC；(2) 如果AB=BC=，求側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的大小.（三）鞏固練習：1若是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（

11、）A若，則 B若，則 C若，則 D若，則2.設(shè)為兩條直線,為兩個平面,下列四個命題中，正確的命題是( )A若與所成的角相等，則 B若，則C若，則 D若，則3.若三個平面兩兩相交,且三條交線互相平行,則這三個平面把空間分成（ ）4給出下列四個命題: 垂直于同一直線的兩條直線互相平行.垂直于同一平面的兩個平面互相平行. 若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線. 其中假命題的個數(shù)是（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)45.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是（）AB C D6.在正四面體PABC中，D，E，

12、F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是（ ） （A）BC/平面PDF （B）DF平面PA E （C）平面PDF平面ABC （D）平面PAE平面 ABC7設(shè)為平面，為直線，則的一個充分條件是( )(A) (B) (C) (D) 8對于不重合的兩個平面，給定下列條件： 存在平面，使得、都垂直于； 存在平面，使得、都平等于； 存在直線，直線，使得； 存在異面直線l、m，使得 其中，可以判定與平行的條件有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個9設(shè)P是的二面角內(nèi)一點，垂足，則AB的長為：（ ） A B C D 10. 已知直線、m，平面、，且，給出下列四個命題。(1)若; (2); (3

13、)若，則; (4)若其中正確命題的個數(shù)是（ ）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個11已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：若則 若則若,則 m、n是兩條異面直線，若則上面命題中，真命題的序號是_(寫出所有真命的序號）12在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，E、F分別為AA1、C1B1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為 . 13已知a、b為不垂直的異面直線，是一個平面，則a、b在上的射影有可能是: 兩條平行直線 兩條互相垂直的直線 同一條直線 一條直線及其外一點在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）.14已知平面和平

14、面交于直線，P是空間一點，PA，垂足為A，PB，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點A在內(nèi)的射影與點B在內(nèi)的射影重合，則點P到的距離為 。15在空間中，若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線若兩條直線沒有共點，則這兩條直線是異面直線以上兩個命題中，逆命題為真命題的是 （把符合要求的命題序號都填上）16如圖，已知四棱錐 PABCD，PBAD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.（I）求點P到平面ABCD的距離； （II）求面APB與面CPB所成二面角的大小第3講 空間向量與立體幾何高考考試大綱的要求：（1）空間向量及其

15、運算了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標表示. 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示. 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.（2）空間向量的應(yīng)用 理解直線的方向向量與平面的法向量. 能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系. 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.（一）基礎(chǔ)知識回顧：1.向量的數(shù)量積：已知非零向量，則叫做的數(shù)量積。2.兩向量夾角的求法：，

16、立體幾何中有關(guān)夾角的問題，一般用此式解決3. （可證明兩直線垂直）4.已知兩點A(x1,y1，z1),B(x2,y2,z2)，則向量,線段AB的中點M的坐標是，A,B兩點間的距離是，則.“三部曲”：(1)化為向量問題:建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面；(2)進行向量運算:通過向量運算,研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角問題；(3)回到向量問題:把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。，B，平面的法向量是，直線AB與平面所成的角是，則二面角的平面角或（，為平面，的法向量），B，平面的法向量是，點A到平面的距離異面直線間的距離 ： (是兩

17、異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).（二）例題選講：例1.如圖,在中,斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上 （I）求證：平面平面；（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大?。唬↖II）求與平面所成角的最大值例2.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。（1）求證：AB1面A1BD； （2）求二面角AA1DB的大??；（3）求點C到平面A1BD的距離。（三）基礎(chǔ)訓練：1.如圖5所示，、分別世、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,.(I)求二面角的大?。?(II)求直線與所成的角.圖52.如圖,=l , A, B,點

18、A在直線l 上的射影為A1, 點B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: () 直線AB分別與平面,所成角的大小; ()二面角A1ABB1的大小. （四）鞏固練習： 1.如圖,在直四棱柱中,已知,， BCDAE （）設(shè)是的中點，求證：平面；（）求二面角的余弦值2.如圖，已知長方體,直線與平面所成的角為,垂直于為的中點 （）求異面直線與所成的角；（）求平面與平面所成二面角（銳角）的大?。?（）求點到平面的距離。3、如圖，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個側(cè)面是正三角形（1）求證：ADBC （2）求二面角BACD的大?。?）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。典型問題分析一、求二面角的方法例1. 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐，,BC=6. 求二面角的大小.例2.如圖