高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法1教案 新人教A版

1、函數(shù)的表示法整體設(shè)計教學(xué)分析課本從引進(jìn)函數(shù)概念開始就比較注重函數(shù)的不同表示方法:解析法,圖象法,列表法.函數(shù)的不同表示方法能豐富對函數(shù)的認(rèn)識,幫助理解抽象的函數(shù)概念.特別是在信息技術(shù)環(huán)境下,可以使函數(shù)在形與數(shù)兩方面的結(jié)合得到更充分的表現(xiàn),使學(xué)生通過函數(shù)的學(xué)習(xí)更好地體會數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學(xué)思想方法.因此,在研究函數(shù)時,要充分發(fā)揮圖象的直觀作用.在研究圖象時,又要注意代數(shù)刻畫以求思考和表述的精確性.課本將映射作為函數(shù)的一種推廣,這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化.這樣處理,主要是想較好地銜接初中的學(xué)習(xí),讓學(xué)生將更多的精力集中理解函數(shù)的概念,同時,也體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程.三維目標(biāo)1.了

2、解函數(shù)的一些基本表示法(列表法、圖象法、解析法),會根據(jù)不同實際情境選擇合適的方法表示函數(shù),樹立應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想.2.通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用,提高應(yīng)用函數(shù)解決實際問題的能力,增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.3.會用描點法畫一些簡單函數(shù)的圖象,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的圖象解決問題的能力.4.了解映射的概念及表示方法,會利用映射的概念來判斷“對應(yīng)關(guān)系”是否是映射,感受對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)和映射概念中的作用,提高對數(shù)學(xué)高度抽象性和廣泛應(yīng)用性的進(jìn)一步認(rèn)識.重點難點教學(xué)重點:函數(shù)的三種表示方法,分段函數(shù)和映射的概念.教學(xué)難點:分段函數(shù)的表示及其圖象,映射概念的理解;運用集合兩種常用表示列舉法與描述

3、法.課時安排3課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課思路1.語言是溝通人與人之間的聯(lián)系的,同樣的祝福又有著不同的表示方法.例如,簡體中文中的“生日快樂！”用繁體中文為:生日快樂！英文為:happy birthday！法文是bon anniversaire！德文是alles gute zum geburtstag!西班牙中稱ifeliz cumplearos!印度尼西亞文是selamat ulang tahun！荷蘭文的生日快樂為van harte gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄語中則是 !那么對于函數(shù),又有什么不同的表示方法呢？引出課題:函數(shù)的表示法.思路2.我們前

4、面已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義,函數(shù)的定義域的求法,函數(shù)值的求法,兩個函數(shù)是否相同的判定方法,那么函數(shù)的表示方法常用的有哪些呢？這節(jié)課我們就來研究這個問題(板書課題).推進(jìn)新課新知探究提出問題初中學(xué)過的三種表示法:解析法、圖象法和列表法各是怎樣表示函數(shù)的？討論結(jié)果：(1)解析法:用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系,這種表示方法叫做解析法,這個數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做函數(shù)的解析式.(2)圖象法:以自變量x的取值為橫坐標(biāo),對應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描出各個點,這些點構(gòu)成了函數(shù)的圖象,這種用圖象表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法.(3)列表法:列一個兩行多列的表格,第一行是自變量的取值,第二

5、行是對應(yīng)的函數(shù)值,這種用表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法.應(yīng)用示例思路11.某種筆記本的單價是5元,買x(x1,2,3,4,5)個筆記本需要y元,試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x).活動：學(xué)生思考函數(shù)的表示法的規(guī)定.注意本例的設(shè)問,此處“y=f(x)”有三種含義,它可以是解析表達(dá)式,可以是圖象,也可以是對應(yīng)值表.本題的定義域是有限集,且僅有5個元素.解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集1,2,3,4,5,用解析法可將函數(shù)y=f(x)表示為y=5x,x1,2,3,4,5.用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)y=f(x)表示為圖1-2

6、-2-1.圖1-2-2-1點評：本題主要考查函數(shù)的三種表示法.解析法的特點是:簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系;可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值,便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì),還有利于我們求函數(shù)的值域;圖象法的特點是:直觀形象地表示自變量的變化,相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢,有利于我們通過圖象來研究函數(shù)的某些性質(zhì),圖象法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用,如企業(yè)生產(chǎn)圖,股市走勢圖等;列表法的特點是:不需要計算就可以直接看出與自變量的值對應(yīng)的函數(shù)值,列表法在實際生產(chǎn)和生活中也有廣泛的應(yīng)用,如銀行利率表、列車時刻表等等.但是并不是所有的函數(shù)都能用解析法表示,只有函數(shù)值隨自變量的變化發(fā)生有規(guī)律的變化

7、時,這樣的函數(shù)才可能有解析式,否則寫不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:張丹的年齡n(nn*)每取一個值,那么他的身高y(單位:cm)總有唯一確定的值與之對應(yīng),因此身高y是年齡n的函數(shù)y=f(n),但是這個函數(shù)的解析式不存在,函數(shù)y=f(n)不能用解析法來表示.注意：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等;解析法:必須注明函數(shù)的定義域,否則使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍是函數(shù)的定義域;圖象法:根據(jù)實際情境來決定是否連線;列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)在-1,2上的圖象如圖1-2-2-2所示,求f(x)的解析式.

8、圖1-2-2-2解：觀察圖象,知此函數(shù)是分段函數(shù),并且在每段上均是一次函數(shù),利用待定系數(shù)法求出解析式為:當(dāng)-1x0時,f(x)=x+1;當(dāng)0<x<2時,f(x)=,則有f(x)=2.2007山東青島第一次調(diào)研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,則f(x)=_.分析:由題意得把f(x)和f(-x)看成未知數(shù),解方程即得.答案：3x+2.下表是某校高一(1)班三位同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分請你對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

9、情況做一個分析.活動：學(xué)生思考做學(xué)情分析,具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本題利用表格給出了四個函數(shù),它們分別表示王偉、張城、趙磊的考試成績及各次考試的班級平均分.由于表格區(qū)分三位同學(xué)的成績高低不直觀,故采用圖象法來表示.做學(xué)情分析,具體要分析學(xué)習(xí)成績是否穩(wěn)定,成績變化趨勢.解：把“成績”y看成“測試序號”x的函數(shù),用圖象法表示函數(shù)y=f(x),如圖1-2-2-3所示.圖1-2-2-3由圖1-2-2-3可看到:王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績始終高于班級平均分,學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀;張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不穩(wěn)定,總是在班級平均分水平上下波動,而且波動幅度較大;趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績呈上升趨勢,表

10、明他的數(shù)學(xué)成績穩(wěn)步提高.點評：本題主要考查根據(jù)實際情境需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法的能力,以及應(yīng)用函數(shù)解決實際問題的能力.通過本題可見,圖象法比列表法和解析法更能直觀反映函數(shù)值的變化趨勢.注意：本例為了研究學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,將離散的點用虛線連接,這樣便于研究成績的變化特點.變式訓(xùn)練1.函數(shù)y=x2-4x+6,x1,5)的值域是_.分析:畫出函數(shù)的圖象,圖象上所有點的縱坐標(biāo)的取值范圍就是函數(shù)的值域.答案：2,11)2.將長為a的鐵絲折成矩形,求矩形面積y關(guān)于一邊長x的函數(shù)關(guān)系式,并求定義域和值域,作出函數(shù)的圖象.分析:解此題的關(guān)鍵是先把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,即把面積y表示為x的函數(shù),用數(shù)學(xué)的方法解決

11、,然后再回到實際中去.解：設(shè)矩形一邊長為x,則另一邊長為(a-2x),則面積y=(a-2x)x=-x2+ax.又得0<x<,即定義域為(0,).由于y=-(x)2+a2a2,如圖1-2-2-4所示,結(jié)合函數(shù)的圖象得值域為(0,a2.圖1-2-2-43.2007山東高考樣題,文8向高為h的水瓶中注水,注滿為止,如果注水量v與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖1-2-2-5所示,那么水瓶的形狀是( )圖1-2-2-5 圖1-2-2-6分析:要求由水瓶的形狀識別容積v和高度h的函數(shù)關(guān)系,突出了對思維能力的考查.觀察圖象,根據(jù)圖象的特點發(fā)現(xiàn):取水深h=,注水量v>,即水深為一半時,實際注水量

12、大于水瓶總水量的一半.a中v<,c、d中v=,故排除a、c、d.答案：b思路21.2007寧夏銀川一模,理14已知f()=,則f(x)=_.活動：=t,利用換元法,轉(zhuǎn)化為求f(t).利用整體思想把看成一個整體,即可得函數(shù)的解析式.要注意函數(shù)f(t)與f(x)是同一個函數(shù).分析:可設(shè)=t,則有x=,所以f(t)=,所以f(x)=.答案：變式訓(xùn)練課本p26練習(xí)1.點評：本題主要考查函數(shù)的解析式.已知fg(x)=(x),求f(x)的解析式時,通常用換元法,其步驟是:設(shè)g(x)=t;把t看成常數(shù),解關(guān)于x的方程g(x)=t得x=h(t);將x=h(t)代入(x),得函數(shù)f(t)的解析式;再用x替

13、換f(t)的解析式中的t得函數(shù)f(x)的解析式.其實求函數(shù)的解析式方法很多,例如方程法:對于已知等式中出現(xiàn)兩個不同變量的函數(shù)關(guān)系式,依據(jù)這兩個變量的關(guān)系,重新建立關(guān)于這兩個變量的不同等式,利用整體思想,把f(x)和另一個函數(shù)看成未知數(shù),解方程組得函數(shù)f(x)的解析式.類似于解二元一次方程組,故稱為方程法.待定系數(shù)法:已知函數(shù)的模型求其解析式時,常用待定系數(shù)法.2.已知函數(shù)f(x)=.(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象;(2)觀察圖象寫出函數(shù)的定義域和值域.活動：學(xué)生思考函數(shù)圖象的畫法.利用變換法畫函數(shù)f(x)的圖象,利用圖象法寫出函數(shù)的定義域和值域.形如函數(shù)y=(c0,a2+b20)的圖象均可由反比

14、例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過平移得到,因此函數(shù)y=(c0,a2+b20)的圖象形狀是雙曲線.解：(1)y=.將y=的圖象向左平移兩個單位得y=的圖象,再向上平移三個單位得y=+3的圖象.圖象如圖1-2-2-7所示.圖1-2-2-7(2)觀察函數(shù)的圖象圖1-2-2-7,可知圖象上所有點的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-,-2)(-2,+),圖象上所有點的縱坐標(biāo)的取值范圍是(-,3)(3,+).則函數(shù)的定義域是(-,-2)(-2,+),值域是(-,3)(3,+).點評：本題主要考查函數(shù)的定義域、值域和圖象.畫不熟悉的函數(shù)的圖象,可以變形成由基本函數(shù),利用變換法畫出圖象,但要注意變形過程是否等價,注意x,y的變化范圍

15、.因此必須熟記基本初等函數(shù)的圖象,如:正、反比例函數(shù),一次、二次函數(shù)的圖象,在變換函數(shù)的解析式中運用了轉(zhuǎn)化和分類討論的思想.求函數(shù)值域的方法:圖象法,借助于函數(shù)值域的幾何意義,利用函數(shù)的圖象求值域;觀察法,對于解析式比較簡單的函數(shù),利用常見的結(jié)論如x20,|x|0,x0等觀察出函數(shù)的值域;換元法,利用換元法轉(zhuǎn)化為求常見函數(shù)如二次函數(shù)的值域等.注意：討論函數(shù)的值域要先考慮函數(shù)的定義域,本例中(1)如果忽視函數(shù)的定義域,那么會錯誤地得函數(shù)值域為-1,+).避免此類錯誤的方法是研究函數(shù)時要遵守定義域優(yōu)先的原則.變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的值域:(1)y=x2-2x(-1x2);(2)y=x4+1.分析:本題

16、主要考查函數(shù)的值域及其求法.(1)借助于函數(shù)值域的幾何意義,利用函數(shù)的圖象求值域;(2)觀察得x40,得函數(shù)的值域,也可以利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域.(1)解：(圖象法)在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2-2x(-1x2)的圖象,如圖1-2-2-8所示:圖1-2-2-8函數(shù)y=x2-2x(-1x2)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)的取值范圍就是函數(shù)的值域,觀察圖象知函數(shù)的值域是-1,3.(2)解法一：(觀察法)函數(shù)的定義域是r,則x40,有x4+11,即函數(shù)y=x4+1的值域是1,+).解法二：(換元法)函數(shù)的定義域是r,設(shè)x2=t,則t0,則有y=t2+1.利用圖象可求得當(dāng)t0時,二次函數(shù)y

17、=t2+1的值域是1,+),即函數(shù)y=x4+1的值域是1,+).3.車管站在某個星期日保管的自行車和電動車共有3 500輛次,其中電動車保管費是每輛一次0.5元,自行車保管費是每次一輛0.3元.(1)若設(shè)自行車停放的輛次數(shù)為x,總的保管費收入為y元,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)若估計前來停放的3 500輛次自行車中,電動車的輛次不小于25%,但不大于40%,試求該保管站這個星期日收入保管費總數(shù)的范圍.活動：讓學(xué)生審清題意讀懂題.求解析式時不要忘記函數(shù)的定義域,要考慮自變量的取值必須使解析式有意義.然后再根據(jù)解析式列不等式求解.總的保管費=自行車保管費+電動車保管費.解：(1)由題意得y=

18、0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,xn*且0x3500.(2)若電動車的輛次不小于25%,但不大于40%,則3500×(1-40%)x3 500×(1-25%),即2100x2 625,畫出函數(shù)y=-0.2x+1750(2 100x2 625)的圖象,可得函數(shù)y=-0.2x+1750(2100x2625)的值域是1225,1330,即收入在1225元至1330元之間.點評：本題主要考查函數(shù)的解析式和值域,以及應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題的能力.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟是審清題意讀懂題;恰當(dāng)設(shè)未知數(shù);列出函數(shù)解析式,并指明定義域;轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,并解決函數(shù)問題;將

19、數(shù)學(xué)問題的答案還原為實際答案.變式訓(xùn)練2007山東實驗中學(xué)級第一次診斷性測試,文13水池有2個進(jìn)水口,1個出水口,每個水口進(jìn)出水的速度如圖1-2-2-9甲、乙所示.某天0點到6點,該水池的蓄水量如圖1-2-2-9丙所示(至少打開一個水口).圖1-2-2-9給出以下三個論斷:0點到3點只進(jìn)水不出水;3點到4點不進(jìn)水只出水;4點到6點不進(jìn)水不出水;其中一定正確的論斷是( )a. b. c. d.分析:由圖1229甲可看出,如果進(jìn)水口與出水口同時打開,每個進(jìn)水口的速度為出水口速度的一半,即v進(jìn)水=v出水;由圖丙可看出在0點到3點之間蓄水量以速度2勻速增加,所以在此時間段內(nèi)一定是兩個進(jìn)水口均打開,出水

20、口關(guān)閉,故正確.由圖丙可看出在3點到4點之間蓄水量以速度1勻速減少,所以在此時間段內(nèi)一定是一個進(jìn)水口打開,出水口打開,故不正確.由圖丙可看出在4點到6點之間蓄水量不變,所以在此時間段內(nèi)一定是兩個進(jìn)水口打開,出水口打開,或者兩個進(jìn)水口關(guān)閉,出水口關(guān)閉,故不正確.綜上所述論斷僅有正確.答案：a知能訓(xùn)練課本p23練習(xí)2、3.【補(bǔ)充練習(xí)】1.等腰三角形的周長是20,底邊長y是一腰長x的函數(shù),則( )a.y=10-x(0<x10) b.y=10-x(0<x<10)c.y=20-2x(5x10) d.y=20-2x(5<x<10)分析:根據(jù)等腰三角形的周長列出函數(shù)解析式.2x

21、+y=20,y=20-2x.則20-2x>0.x<10.由構(gòu)成三角形的條件(兩邊之和大于第三邊)可知2x>20-2x,得x>5,所以函數(shù)的定義域為x|5<x<10.所以y=20-2x(5<x<10).答案：d2.2007北京四中第一次統(tǒng)測,文4定義在r上的函數(shù)y=f(x)的值域為a,b,則y=f(x+1)的值域為( )a.a,b b.a+1,b+1 c.a-1,b-1 分析:將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移一個單位得函數(shù)y=f(x+1)的圖象,由于定義域均是r,則這兩個函數(shù)圖象上點的縱坐標(biāo)的取值范圍相同,所以y=f(x+1)的值域也是a,b.答案：a3.2006陜西高考,文2函數(shù)f(x)=(xr)的值域是( )a.(0,1) b.(0,1 c.0,1) d.0,1分析:(觀察法)定義域是r,由于x20,則1+x21,從而0<1.答案：b拓展提升問題:變換法畫函數(shù)的圖象都有哪些?解答:變換法畫函數(shù)的圖象有三類:1.平移變換:(1)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位得函數(shù)y=f(x+a)的圖象;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移a(a>0)個單位得函數(shù)y=f(x-a)的圖象;(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象向上平移b(b>0)個單位得函數(shù)y=f(x)+b