求極限的方法及例題總結(jié)

1、1定義：說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：；（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限這種方法要求熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的定義。2極限運算法則定理1 已知，都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有（1）（2）（3）說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時，不能用。. 利用極限的四則運算法求極限這種方法主要應(yīng)用于求一些簡單函數(shù)的和、乘、積、商的極限。通常情況下，要使用這些法則，往往需要根據(jù)具體情況先對函數(shù)做某些恒等

2、變形或化簡。8.用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限例1 解：原式=。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2 解：原式=。例3 解：原式。3兩個重要極限（1）（2）；說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式，例如：，；等等。利用兩個重要極限求極限例5 解：原式=。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例6 解：原式=。例7 解：原式=。4等價無窮小定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當(dāng)時，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價，即有：。說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x換成時（），仍有上面的等價關(guān)系成立，例如：當(dāng)時，；。定理4 如果函數(shù)都是

3、時的無窮小，且，則當(dāng)存在時，也存在且等于，即=。利用等價無窮小代換（定理4）求極限例9 解：，原式=。例10 解：原式=。注：下面的解法是錯誤的：原式=。正如下面例題解法錯誤一樣：。例11 解：，所以，原式=。（最后一步用到定理2）五、利用無窮小的性質(zhì)求極限有限個無窮小的和是無窮小，有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替換求極限常常行之有效。例 1. 2. 1/215洛比達(dá)法則定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大；（2）和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為0；（3）存在（或是無窮大）；則極限也一定存在，且等于，即=。說明：定理5稱為洛比達(dá)法則

4、，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。利用洛比達(dá)法則求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例12 （例4）解：原式=。（最后一步用到了重要極限）例13 解：原式=。例14 解：原式=。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）例15 解：先用等價無窮小，再用洛必達(dá)法則例18 解：錯誤解法

5、：原式=。正確解法：應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。例19 解：易見：該極限是“”型，但用洛比達(dá)法則后得到：，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式=（分子、分母同時除以x） =（利用定理1和定理2）6連續(xù)性定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點，則有。利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限例4 解：因為是函數(shù)的一個連續(xù)點，所以原式=。7極限存在準(zhǔn)則定理7（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。例1. 設(shè)，求極限。定理8（準(zhǔn)則2）已知為三個數(shù)列，且滿

6、足：（1）（2），則極限一定存在，且極限值也是a ，即。10. 夾逼定理利用極限存在準(zhǔn)則求極限例20 已知，求解：易證：數(shù)列單調(diào)遞增，且有界（0<<2），由準(zhǔn)則1極限存在，設(shè)。對已知的遞推公式兩邊求極限，得：，解得：或（不合題意，舍去）所以。例21 解：易見：因為，所以由準(zhǔn)則2得：。9. 洛必達(dá)法則與等價無窮小替換結(jié)合法對于一些函數(shù)求極限問題，洛必達(dá)法則和等價無窮小結(jié)合運用，往往能化簡運算，收到奇效。11. 泰勒展開法12. 利用定積分的定義求極限法積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問題。 8. 利用

7、復(fù)合函數(shù)求極限十、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限級數(shù)收斂的必要條件是：若級數(shù)收斂，則，故對某些極限，可將函數(shù)作為級數(shù)的一般項，只須證明此技術(shù)收斂，便有。例十一、利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級數(shù)的和，此時?？梢暂o助性的構(gòu)造一個函數(shù)項級數(shù)（通常為冪級數(shù)，有時為Fourier級數(shù)）。使得要求的極限恰好是該函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)在某點的值。例求7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn

8、+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，  xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化11 還有個方法  ，非常方便的方法  就是當(dāng)趨近于無窮大時候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！x的x次方快于  x！   快于  指數(shù)函數(shù)   快于   冪數(shù)函數(shù)   快于        對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）  !當(dāng)x趨近無窮的時候  他們的比值的極限一眼就能看出來了12 換元法  是一種技巧