正多邊形和圓、弧長(zhǎng)和扇形面積

1、讓孩子終生受益的好方法正多邊形和圓、弧長(zhǎng)和扇形面積一、目標(biāo)與策略 明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學(xué)習(xí)目標(biāo)：l 了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫(huà)正多邊形l 通過(guò)復(fù)習(xí)圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式，并應(yīng)用這些公式解決問(wèn)題l 了解圓錐母線(xiàn)的概念，理解圓錐側(cè)面積計(jì)算公式，理解圓錐全面積的計(jì)算方法，并會(huì)應(yīng)用公式解決問(wèn)題重點(diǎn)難點(diǎn)：l 重點(diǎn)：正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系；n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，扇形面積及它們的應(yīng)

2、用；圓錐側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式l 難點(diǎn)：正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系；弧長(zhǎng)和扇形面積公式的應(yīng)用；由圓的周長(zhǎng)和面積遷移到弧長(zhǎng)和扇形面積公式的過(guò)程；圓錐側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式學(xué)習(xí)策略：l 要結(jié)合圖形真正理解掌握相關(guān)概念，注意多觀察實(shí)物模型、多動(dòng)手.二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”科學(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽(tīng)講更有目的性和針對(duì)性我們要在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，認(rèn)真聽(tīng)講，做到眼睛看、耳朵聽(tīng)、心里想、手上記知識(shí)回顧復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，看看你的知識(shí)貯備過(guò)關(guān)了嗎？（一）多邊形的內(nèi)角和公式為 ，多邊形的外角和為 .（二）正n邊形有 個(gè)內(nèi)角，每一個(gè)內(nèi)角都 ，每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 .（三）正n邊形有

3、個(gè)外角，每一個(gè)外角都 ，每一個(gè)外角度數(shù)為 .（四）正n邊形有 條對(duì)角線(xiàn).（五）圓的半徑為r，則其周長(zhǎng)為 ，面積為 .知識(shí)要點(diǎn)預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一：正多邊形的概念各邊 ，各角也 的多邊形是正多邊形要點(diǎn)詮釋?zhuān)号袛嘁粋€(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：（1）各邊 ；（2）各角 ；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形（正方形）.知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形的重要元素（一）正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成 的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓（二）正多邊形的有關(guān)概念（1）一個(gè)正多邊形的 圓的圓

4、心叫做這個(gè)正多邊形的中心（2）正多邊形 圓的半徑叫做正多邊形的半徑（3）正多邊形每一邊所對(duì)的 角叫做正多邊形的中心角（4）正多邊形的 到正多邊形的一邊的 叫做正多邊形的邊心距（三）正多邊形的有關(guān)計(jì)算（1）正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 ；（2）正n邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是 ；（3）正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是 .知識(shí)點(diǎn)三：正多邊形的性質(zhì)（一）正多邊形都只有 個(gè)外接圓，圓有 個(gè)內(nèi)接正多邊形.（二）正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成 個(gè)全等的直角三角形.（三）正多邊形都是 圖形，對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)與它的 數(shù)相同，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的 ；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是 對(duì)稱(chēng)圖形，它的 就是對(duì)稱(chēng)中心.知識(shí)點(diǎn)四：正多邊

5、形的畫(huà)法（一）用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓.（二）用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.知識(shí)點(diǎn)五：弧長(zhǎng)公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)（圓的周長(zhǎng)）公式： n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式： （弧是圓的一部分）要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?） 對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的 ，即；（2）公式中的n表示1°圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量： 、 度數(shù)、弧所在圓的 ，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.知識(shí)點(diǎn)六：扇

6、形面積公式（一）扇形定義：由組成圓心角的兩條 和圓心角所對(duì)的 所圍成的圖形叫做扇形.（二）扇形面積公式：半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的扇形面積（圓面積）公式： n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式： 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?） 對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 ，即；（2）在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形 、扇形 、扇形的 ，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.（3）扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類(lèi)似，可類(lèi)比記憶；（4）扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.知識(shí)點(diǎn)七：圓錐的側(cè)面積和全面積連接圓錐 和底面圓上任意一點(diǎn)的

7、叫做圓錐的母線(xiàn).圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面半徑為r，側(cè)面展開(kāi)圖中的扇形面積圓心角為n°，則圓錐的側(cè)面積 ，全面積 .要點(diǎn)詮釋?zhuān)荷刃蔚陌霃骄褪菆A錐的 ，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的 .因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開(kāi)圖 形面積，全面積是由 和 組成的.經(jīng)典例題-自主學(xué)習(xí)類(lèi)型一：正多邊形的概念例1（1）（2011江蘇南通）比較正五邊形與正六邊形，可以發(fā)現(xiàn)它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).例如它們的一個(gè)相同點(diǎn)：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等. 它們的一個(gè)不同點(diǎn)：正五邊形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，正六邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形.請(qǐng)你再寫(xiě)出它們的兩個(gè)相同點(diǎn)和不同點(diǎn). 相同點(diǎn)：（1） （2） 不同點(diǎn)：（1） （2） （2

8、）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O點(diǎn)，若分別以A、B、C、D為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑作弧，分別與各邊交于E、F、G、H、K、L、M、N點(diǎn).求證：八邊形EFGHKLMN是正八邊形.例2已知：如圖，ABC是O的內(nèi)接等腰三角形，頂角A=36°，弦BD、CE分別平分ABC、ACB.求證：五邊形AEBCD是正五邊形類(lèi)型二：正多邊形的有關(guān)計(jì)算例3（1）（2011廣東中山）正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為（ ）A120° B135° C140° D144°（2）已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長(zhǎng)和面積舉一反三：【變式1

9、】已知，如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于半徑為R的O，求這個(gè)八邊形的面積.探究思考：這個(gè)八邊形的邊長(zhǎng)a=?提示：如圖所示，當(dāng)OA=R時(shí)，a= = = =類(lèi)型三：考查弧長(zhǎng)和扇形的計(jì)算例4（1）（2011廣東廣州）如圖4，AB切O于點(diǎn)B，OA=2，AB=3，弦BCOA，則劣弧的弧長(zhǎng)為（ ）A BCDCBAO 圖 4（2）制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線(xiàn)計(jì)算“展直長(zhǎng)度”再下料，試計(jì)算如圖所示的管道的展直長(zhǎng)度，即的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1mm）例5如圖，已知扇形AOB的半徑為10，AOB=60°，求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1）和扇形AOB的面積（結(jié)果精確到0.1）.舉一反三：【變式1】如圖，為的直

10、徑，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)（1）請(qǐng)寫(xiě)出三條與有關(guān)的正確結(jié)論；（2）當(dāng)，時(shí)，求圓中陰影部分的面積CBAOFDE類(lèi)型四：圓錐面積的計(jì)算例6（1）（2011山東泰安）一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積是（ ）A.5 B. 4 C.3 D.2（2）圣誕節(jié)將近，某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽，已知紙帽的底面周長(zhǎng)為58cm，高為20cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙？（結(jié)果精確到0.1cm2）舉一反三：【變式1】如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是，母線(xiàn)長(zhǎng).計(jì)算這個(gè)煙囪帽側(cè)面展開(kāi)圖的面積及圓心角.【變式2】如圖，已知RtABC的斜邊AB=13cm，一條直角邊AC=5cm，以

11、直線(xiàn)AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得一個(gè)幾何體求這個(gè)幾何體的表面積三、總結(jié)與測(cè)評(píng)要想學(xué)習(xí)成績(jī)好，總結(jié)測(cè)評(píng)少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補(bǔ)知識(shí)缺漏，提高學(xué)習(xí)能力總結(jié)規(guī)律和方法強(qiáng)化所學(xué)認(rèn)真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧（一）首先要結(jié)合圖形真正理解掌握正多邊形及其相關(guān)的一些概念；（二）在進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算時(shí)，要利用由正多邊形的半徑、邊心距及弦的一半組成的直角三角形結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算；（三）注意掌握用尺規(guī)等分圓的方法畫(huà)一些特殊的正多邊形；（四）注意弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位，若圓心角的單位不統(tǒng)一，應(yīng)先統(tǒng)一單位，化

12、為度；（五）扇形面積公式與三角形面積公式類(lèi)似.把弧長(zhǎng)看作底，R看做高就比較容易記憶了；（六）對(duì)組合圖形面積的計(jì)算問(wèn)題，應(yīng)認(rèn)真全面觀察和分析圖形，避免拿起題目就盲目亂做.經(jīng)典例題透析類(lèi)型一、正多邊形的概念1（1）（2011江蘇南通）比較正五邊形與正六邊形，可以發(fā)現(xiàn)它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).例如 它們的一個(gè)相同點(diǎn)：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等. 它們的一個(gè)不同點(diǎn)：正五邊形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，正六邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形. 請(qǐng)你再寫(xiě)出它們的兩個(gè)相同點(diǎn)和不同點(diǎn).相同點(diǎn)：（1）_（2）_不同點(diǎn)：（1）_（2）_答案：相同點(diǎn)（1）每個(gè)內(nèi)角都相等（或每個(gè)外角都相等或?qū)蔷€(xiàn)都相等）；（2）都是軸對(duì)稱(chēng)圖形（或都

13、有外接圓和內(nèi)切圓）；.不同點(diǎn)（1）正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108°，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°（或）；（2）正五邊形的對(duì)稱(chēng)軸是5條，正六邊形的對(duì)稱(chēng)軸是6條（或）.（2）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O點(diǎn)，若分別以A、B、C、D為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑作弧，分別與各邊交于E、F、G、H、K、L、M、N點(diǎn). 求證：八邊形EFGHKLMN是正八邊形.思路點(diǎn)撥：欲證八邊形EFGHKLMN是正八邊形，依據(jù)定義，只要證它的各角相等(都為135°)，各邊也相等.證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則 同理可證 同理可證 八邊形EFGHKLMN的各邊相等 而B(niǎo)FG、CH

14、K、DML、AEN都是等腰直角三角形， 由三角形的外角性質(zhì)可得此八邊形的每個(gè)內(nèi)角都為90°+45°=135° 八邊形EFGHKLMN是正八邊形.2已知：如圖，ABC是O的內(nèi)接等腰三角形，頂角A=36°，弦BD、CE分別平分ABC、ACB.求證：五邊形AEBCD是正五邊形解：ABC是等腰三角形，頂角A=36°，ABC=72°，ACB=72°，又弦BD、CE分別平分ABC、ACBABD=DBC=ACE=BCE=BAC=36°五邊形AEBCD是正五邊形.類(lèi)型二、正多邊形的有關(guān)計(jì)算3. （1）（2011廣東中山）正八邊形的

15、每個(gè)內(nèi)角為（ ）A120° B135° C140° D144°思路點(diǎn)撥：正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為，故選B.答案：（2）已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長(zhǎng)和面積思路點(diǎn)撥：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求AB的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過(guò)O點(diǎn)作OMAB于M，在RtAOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng)正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的 解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑因此，所求的正六

16、邊形的周長(zhǎng)為6a在RtOAM中，OA=a，AM=AB=利用勾股定理，可得邊心距OM=所求正六邊形的面積=6××AB×OM=.舉一反三：【變式1】已知，如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于半徑為R的O，求這個(gè)八邊形的面積.解：如圖，分別連結(jié)OA，OC及AC由正八邊形的對(duì)稱(chēng)性，則ACOB，AOC=90° 探究思考：這個(gè)八邊形的邊長(zhǎng)a=?提示：如圖所示，當(dāng)OA=R時(shí)，.類(lèi)型三、考查弧長(zhǎng)和扇形的計(jì)算4. （1）（2011廣東廣州）如圖4，AB切O于點(diǎn)B，OA=，AB=3，弦BCOA，則劣弧的弧長(zhǎng)為（ ）A BC D圖4思路點(diǎn)撥：連結(jié)OB、OC，則，OB=，由弦B

17、COA得，所以O(shè)BC為等邊三角形，.則劣弧的弧長(zhǎng)為，故選A.答案：A（2）制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線(xiàn)計(jì)算“展直長(zhǎng)度”再下料，試計(jì)算如圖所示的管道的展直長(zhǎng)度，即的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1mm)思路點(diǎn)撥：要求的弧長(zhǎng)，圓心角知，半徑知，只要代入弧長(zhǎng)公式即可解：R=40mm，n=110的長(zhǎng)=76.8(mm)因此，管道的展直長(zhǎng)度約為76.8mm5如圖，已知扇形AOB的半徑為10，AOB=60°，求的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1)和扇形AOB的面積(結(jié)果精確到0.1).思路點(diǎn)撥：要求弧長(zhǎng)和扇形面積，只要有圓心角，半徑的已知量便可求，本題已滿(mǎn)足解：的長(zhǎng)=S扇形=因此，的長(zhǎng)為10.5，扇形AOB的面積為52

18、.4舉一反三：【變式1】如圖，為的直徑，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)(1)請(qǐng)寫(xiě)出三條與有關(guān)的正確結(jié)論；(2)當(dāng)，時(shí)，求圓中陰影部分的面積解：(1)答案不唯一，只要合理均可例如： ； ； ；是直角三角形；是等腰三角形 (2)連結(jié)，則 ， 為的直徑， 在中， ， ，是的中位線(xiàn) 類(lèi)型四、圓錐面積的計(jì)算6（1）（2011山東泰安）一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積是（ ）A5 B. 4 C3 D2思路點(diǎn)撥：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面面積為2，底面半徑為1，圓錐的底面面積為，則該圓錐的全面積是2+=3.故選C.答案：C（2）圣誕節(jié)將近，某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽，已知紙帽的底面周長(zhǎng)為58cm，高為20cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙？(結(jié)果精確到0.1cm2)思路點(diǎn)撥：要計(jì)算制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙，只要計(jì)算紙帽的側(cè)面積解：設(shè)紙帽的底面半徑為rcm，母線(xiàn)長(zhǎng)為，則(cm)22.03(cm)S紙帽側(cè)=×58×22.03=638.87(cm)638.87×20=12777.4(cm2)所以，至少需要12777.4cm2的紙舉一反三：【變式1】如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是，母線(xiàn)長(zhǎng).計(jì)算這個(gè)煙囪帽側(cè)面展開(kāi)圖的面積及圓心角.思路點(diǎn)撥：煙囪