2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何與空間向量第7節(jié)立體幾何中的向量方法第二課時練習(xí)

1、第七章 第 7 節(jié)立體幾何中的向量方法第二課時提筆能 課時沖關(guān)_ g 能力各個擊礦基礎(chǔ)訓(xùn)練組1.（導(dǎo)學(xué)號 14577717）已知四棱錐SABCD的底面為平行四邊形，SDL底面ABCD SD=1,AB=2,AD=1，/DAB=60,M N分別為SB SC中點，過MN乍平面MNP（分別與線段CD AB相交于點P、Q若XQ= 3AB求二面角M- PQ- B的平面角大小.（）以D為原點，直線DA為x軸，直線DB為y軸，直線DS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,且A（1,0,0） ,B（0, 3, 0） ,S（0,0,1） ,M0, -, 2 ,0.設(shè)平面MNP（的法向量為n= （x,y,z）,nAD=0由T，

2、得n= (0, 3 , 1),n MQ=0易知平面ABC的法向量為m （0,0,1）,“丨n| 1則cosm n=nmn?=2 ,所以二面角M- PQ- B為 60 .2.（導(dǎo)學(xué)號 14577718）（2018 秦皇島市模擬）已知正四棱柱ABCA1B1C1D中，AA= 2ABE為AA的中點，則異面直線BE與CD所成角的余弦值為（）A. 60C. 45解析：A 在厶ABCD中,設(shè)AB=2AD=4,有AB=AD+BD,所以ADL BD6 分/DCB= 60,所以由余弦定理求得BD=3,恤Q1B-53D-5解析：C 以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,設(shè)AA= 2AB=2,貝U D(0,0,0

3、) ,C(0,1,0) ,B(1,1,0),日 1,0,1),D(0,0,2).所以BB(0，- 1,1) ,CD= (0，- 1,2),3.（導(dǎo)學(xué)號 14577719）如圖，在直三棱柱ABC- ABC中，AB=1 ,AC=2,BC=3,D,E分別是AC和BB的中點，則直線DE與平面BBCQ所成的角為（）解析：A TAB=1,AC=2,BC=3,AC=BC+AB,.ABL BC所以 COSCDBECDIBEICD|.2X310.三棱柱為直三棱柱，BB丄平面ABC以B為原點，BC BA BB所在的直線分別為坐標(biāo)系B-xyz，則A(0,1,0),Q,3, 0,0).設(shè)x軸，y軸，z軸建立如圖所示的

4、空間直角B（0,0 ,a），貝U C（V3, 0,a）,1(0,1,0).設(shè)直線DE與平面BBGC所成的角為a，則 sina=|cosDFBA | =2,4.(導(dǎo)學(xué)號 14577720)如圖，在四棱錐P-ABC呼，四邊形ABCD平行四邊形，且BC丄平面PAB PAL AB M為PB的中點，PA= AD=2.若AB=1,則二面角B-AC- M的余弦值解析：A TBC丄平面PAB AD/ BC - ADL平面PAB PA! AD又PAL AB且ADA ABD號,，DE= 23,- o 平面BBCQ的法向量 A：則A(0,0,0) ,Q2,1,0) ,P(0,0,2) ,B(0,1,0),MO, 2

5、, 1，以點A為坐標(biāo)原點，分別以AD AB AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐 標(biāo)系A(chǔ)- xyz.=A, PAL平面ABCD1 KC=(2,1,0),AMp,2 1)求得平面AMC的一個法向量為n= (1 , - 2,1),又平面ABC的一個法向量 AA (0,0,2),nAP2_ 6|n|Ap.1+4+126面角B-AC-M的余弦值為5.(導(dǎo)學(xué)號 14577721)如圖，在直三棱柱AB(-ABC中，/ACB=90, 2AC=AA=BC解析：A 如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA CB CC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0

6、,2,2) ,C(0,0,2).設(shè)AD= a,則D點坐標(biāo)為(1,0 ,a),SD=(1,0 ,a),CB= (0,2,2).設(shè)平面BCD的法向量為m= (x,y,z).m- CB= 2y+ 2z= 0 由Am- St=x+az=0得廠Z,令z=- 1，則 m= (a,1, - 1).x= az又平面GDC的一個法向量為n= (0,1,0),| m-n|,口11-imin|，得a2+ 2= 2，解得a=2，所以AD=謔.故選A. cosn.XP=則由 cos 60)C. 2D.6.(導(dǎo)學(xué)號 14577722)(2018 鄭州市模擬)在長方體ABCDABCD中，AB=2,BC= AA=1，貝 UD

7、C與平面ABC所成角的正弦值為 _.解析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則Ai(1,0,1),C(0,2,1), (1,2,0), AB= (0,2 , - 1) ,( 1,2,0)令z= 2,貝 yy= 1,x= 2,于是n= (2,1,2)設(shè)所求線面角為a，則 sina=|cos n.7.(導(dǎo)學(xué)號 14577723)如圖，在正四棱錐S ABCD中,O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO= OD則直線BC與平面PAC所成角為 _ .解析：如圖所示，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)OD= SC=OA= OB= OC= a,a a則A(

8、a,0,0),巳 0,a,0),C( a,0,0) ,P(0， -, |).則CA=(2a,0,0),AP=(a,2,|), 2B=(a,a,0).設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n= (0,1,1),SB. n a11氣.cr設(shè)n= (x,y,z)為平面ABC的法向量，則2yz=0,nA1C1=0,即x+ 2y= 0,DC= (0,2,0),則 cosSB nnAB= 0,|CBIn，2aj、2_2CB n= 60直線BC與平面PAC的夾角為 90 60= 30答案：308.（導(dǎo)學(xué)號 14577724）設(shè)正方體ABCA1B1C1D的棱長為 2,則點D到平面AiBD的距離是_ .解析：如圖建立

9、空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,2),Ai(2,0,2),D(0,0,0), R2,2,0),DA= (2,0,0),DA= (2,0,2),DB=(2,2,0)設(shè)平面AiBD的一個法向量n= (x,y,z),nDA=2x+ 2z= 0 則 sDB=2x+2y=0令x= 1,貝U n= (1 , 1, 1),點D到平面ABD的距離d=DA；叫=*=學(xué)5 竊3答案：穿9.（導(dǎo)學(xué)號 14577725）如圖，在四棱錐PABCD,底面ABCD1平行四邊形，/BCD=135,側(cè)面PABL底面ABCD/BAP=90 ,AB= AC=PA=2 ,E, F分別為BC AD的中點， 點M在線段PD上.（1）求證：

10、EF丄平面PAC如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求 盤的勺值.解：（1）證明：在平行四邊形ABCD,因為AB= AC/BCD=135,所以ABL AC由E,F分別為BC AD的中點，得EF/ AB,所以EFLAC2 分因為側(cè)面PABL底面ABCD且/BAP90,所以PAL底面ABCD又因為EF?底面ABCD所以PAL EF.4 分又因為PAPAC= A,PA?平面PAC AC?平面PAC所以EF丄平面PAC因為PAL底面ABCD ABL AC,所以AP, AB, AC兩兩垂直，故以AB,x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,5 分AC AP分別為Q 2

11、,2,0) , E(1,1,0),7 分所以 (2,0 , 2) ,PD= ( 2,2 , 2),BC=(2,2,0),鈴入(入 0,1),則PMk（ 2 入，2 入，一 2 入） ,所以M 2 入，2 入，2 2 入），IME= （1 + 2 入，1 2 入，2入一 2）, 易得平面ABC啲法向量m （0,0,1）.設(shè)平面PBC勺法向量為n= （x,y,z）,9 分2x+ 2y= 0 ,2x 2z= 0 ,令x= 1,得n= (1,1,1).10 分因為直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCC所成的角相等,所以|cos|=E、F分別在正方體ABCBA1B1C1D的棱BB、CG上，

12、且BE= 2EB CF= 2FC,則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)DA=1,由已知條件得，A（1,0,0）,E1，1,1，F(xiàn)0，1, I，平面ABC所成的二面角為0,令y= 1,貝 Un= ( 1,1， 3).又平面ABC勺一個法向量為m= （0,0 , 1）,14.（導(dǎo)學(xué)號 14577730）（2018 汕頭市二模）如圖，在正三棱柱ABC- ABC中，AB= 2,、32,2X故選 A.13.（導(dǎo)學(xué)號 14577729）如圖，已知點XE=0,1,1,n= (x,y,z)，nXE=y+ 3Z= 0由 5nXF=k.2x+y+ 3Z=0，得

13、 I = 3y貝 U cos0 =|cos答案：子n, m |=齋所以tan2.設(shè)平面AEF的法向量為AA=h,E為BB的中點.若h= 2，請畫出該正三棱柱的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖.求證：平面AECL平面AACC;當(dāng)平面AEC與平面ABC所成的銳二面角為 45。時，求該正三棱柱外接球的體積.解：（1） ABC是邊長為 2 的正三角形，ABC的高為.3,又h= 2,二正視圖為邊長為2 的正方形，左視圖為邊長為2 和. 3 的矩形,證明：連接AC交AC于F,取AC的中點M連接EF, FM MB.四邊形ACCA是矩形，F(xiàn)是AC的中點.又M是A1G的中ATE是B呂i的中點AA四邊形EFMBr是平行四邊形EF/ MBABC是正三角形，MB丄AQ./AA丄平面ABC,MB?平面ABC, AA_L MB,又AAAAiC=A,MB丄平面ACCA,又MB/ EF,作出正（主）視圖與側(cè):AEF丄平面ACCA，又EF?平面AiEC.平面AiECL平面AACC. AE=(1,3,2),AC= (2,0 x +V3y+?hz= 0y,z),則 22x+hz= 0人h令z= 1 得n= ( 2, 0,1 ).又AA丄平面AiBiC,mr(0,0,1 )是