空間向量與立體幾何知識點(改后)

1、立體幾何空間向量知識點總結(jié)一、共面向量1、定義平行于同一平面的向量叫做共面向量2、共面向量定理rrurr r若兩個向量 a 、 b 不共線，則向量 p 與向量 a 、 b 共面的充要條件ur rr是存在實數(shù)對 x、y,使得 p = xayb 。3、空間平面的表達式空間一點 P 位于平面 MAB 的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y 使uuuruuuruuurMPxMAyMB或?qū)臻g任一定點O, 有或uuuruuuruuuruuuurz 1）這幾個式子是 M,A,B,P 四點共面OPxOAyOB zOM（其中 x y的充要條件二、空間向量基本定理1、定理r r rur如果三個向量 a 、b 、 c

2、不共面，那么對空間任一向量p ，存在唯urrrr一的有序?qū)崝?shù)組 x、y、z，使 p = xaybzc2、注意以下問題（ 1）空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底r（ 2）由于 0 可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零r向量共面，所以，三個向量不共面，就隱含著它們都不是 0 。（ 3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，兩者是相關(guān)聯(lián)的不同概念rrr由空間向量的基本定理知，若三個向量a 、b 、c 不共面。那么所ur urrrr有空間向量所組成的集合就是p | pxaybzc, x, y, z R , 這個集合r r rr r ra, b, c可看做是

3、由向量 a 、 b 、c 生成的，所以我們把稱為空間的一個rrr基底。 a 、b 、c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底三、 直線方向向量與平面法向量uruur1、若兩直線 l 1、l 2 的方向向量分別是 u1 、u2 ，則有 l 1/ l 2uruuru1 /u2 ，uruurl lu1u2212、若兩平面、的法向量分別是uruurv1 v2 uruurv1 、 v2 ，則有 /uruurv1 /v2 ，rr若直線 l 的方向向量是 u ，平面的法向量是 v ，則有 l / rrl u / vrru v ，四、平面法向量的求法若要求出一個平面的法向量的坐標，一般要

4、建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：r1、設(shè)出平面的法向量為n( x, y, z) 2、找出（求出）平面的兩個不共線的向量的坐標rra (a1,b1, c1 ), b (a2 , b2 ,c2 )r r0n ar r3、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z 的方程組 n b04、解方程組，取其中一個解，即得法向量五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系（一）用向量方法證明空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行1、線線平行設(shè)直線 l 1rrl 2，只需證、l 2 的方向向量分別是 a 、b ，則要證明 l 1/rrrr明 a / b ，即 a

5、kb( kR)2、線面平行rr（ 1）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 n ，則要證明rrr rl /，只需證明 an ，即 a n 0 .（ 2）根據(jù)線面平行的判定定理：“如果直線（平面外）與平面的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可（3）根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行， 只要證明這條直線的方向向量能夠用平面兩個不共線向量線性表示即可3、面面平行（ 1）由面面平行的判定定

6、理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可rr（ 2）若能求出平面、的法向量u 、 v ，則要證明 / ，只rr需證明 u /v（二）用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直1、線線垂直設(shè)直線 l 1 、lrr2 的方向向量分別是 a 、 b ，則要證明 l 1 l 2，只需r rrr證明 a b ，即 a b02、線面垂直rr（ 1）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 u ，則要證 lrr，只需證明 a /u（ 2）根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為直線與平面的兩條相交直線垂直3、面面垂直（ 1）根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為

7、證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直（ 2）證明兩個平面的法向量互相垂直六、用向量方法求空間的角（一）兩條異面直線所成的角1、定義：設(shè) a、b 是兩條異面直線，過空間任一點 O作直線 a/ / a, b/ / b ，則 a/ 與 b/ 所夾的銳角或直角叫做 a 與 b 所成的角022、圍：兩異面直線所成角的取值圍是3、向量求法：設(shè)直線rra、b 的方向向量為 a 、 b ，其夾角為，則rra bcos | cos | rr有ab4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角（二）直線與平面所成的角1、定

8、義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面的射影所成的角2、圍：直線和平面所成角的取值圍是02rr3、向量求法：設(shè)直線l 的方向向量為 a ，平面的法向量為 u ，直線rr與 平 面 所 成 的 角 為 ， a 與 u 的 夾 角 為， 則 有r r a usin| cos|rr 或 cossinau（三）二面角1、二面角的取值圍： 0,2、二面角的向量求法（ 1）若 AB、CD分別是二面角l的兩個面與棱l 垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量uuuruuurAB 與 CD 的夾角（如圖（a）所示）ur uur（ 2）設(shè) n1 、 n2 是二面角l的兩個角、的法向量，則向uruur量 n

9、1 與 n2 的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小（如圖（ b）所示）七、用向量的方法求空間的距離（一）點面距離的求法如圖（ a）所示， BO平面，垂足為O，則點 B 到平面的距離就是線段 BO的長度若 AB是平面的任一條斜線段，則在 RtuuuruuurBOA中， BOBA cosABO=uuuruuurABOBABO coscos ABOuuurrBO。如果令平面的法向量為n ，考慮到法向量的方uuurruuurABnBOr向，可以得到 B 點到平面的距離為n。因此要求一個點到平面的距離，可以分以下幾步完成：1 、求出該平面的一個法向量2 、找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向

10、量3 、求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離rnuurrn0由于 n可以視為平面的單位法向量，所以點到平面的距離實質(zhì)就是平面的單位法向量與從該點出發(fā)的斜線段向量的數(shù)量積的uuuruur絕對值，即dAB n0 另外，等積法也是點到面距離的常用求法（二）線面距、面面距 均可轉(zhuǎn)化為點面距離用求點面距的方法進行求解。（三）兩異面直線距離的求法r如圖（ b）所示，設(shè) l 1、l 2 是兩條異面直線， n 是 l 1 與 l 2 的公垂線段 AB的方向向量，又C、D 分別是 l 1、l 2 上的任意兩點，則 l 1 與 l 2uuuruuurrCDnd ABr的距離是n?！镜湫屠}】例 1. 設(shè) a 、b 分別是直線l 1、 l2 的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng) 1 與 l 2 的位置關(guān)系。（ 1） a =（ 2， 3， 1）， b =（ 6， 9， 3）；（ 2） a =（ 5， 0，2）， b =（0， 4， 0）；（ 3） a =（ 2，1， 4）， b =（ 6， 3，3）例 2. 設(shè) u 、v 分別是平面、的法向量，根據(jù)下列條件判斷、