函數單調性的判斷和證明PPT

1、函數單調性習題課（約3課時）函數單調性的判斷和證明在定義域上是減函數。：證明：函數例xxf-)(1是減函數。在（即則且，任意兩個不相等的實數是設，的定義域為證明：),0 x-x)f).f(x)f(x,0)(-)(0,0-)(-(-x)x(-x-)(x-)(,0-,0,0-)(121221212121212121211212212121xfxfxxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxxf用定義證明函數的單調性的步驟用定義證明函數的單調性的步驟:(1). 設設x1x2, 并是某個區(qū)間上任意二并是某個區(qū)間上任意二值值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判判斷斷 f(x1

2、)f(x2) 的符的符號號:(4). 作作結論結論. 分解因式分解因式, 得出因式得出因式(x1x2 配成非負實數和。配成非負實數和。方法小結方法小結有理化。有理化。 例例2：證明函數f(x)= x3在R上是增函數. 證明證明：設x1,x2是R上任意兩個 實數， 且x1x2,則 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)(x1+ x2) 2 + x22 因為 x1x2 ，則 x1-x2 0 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)0）在x0上的單調性xk解：對于x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+1xk2xk-

3、=1212xxxx (x1x2-k)因1212xxxx 0X12-k x1x2-k x22-k故x22-k0即x2時，f(x2)f(x1)總之，f(x)的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是,kk, 0k用定義求函數單調區(qū)間的步驟用定義求函數單調區(qū)間的步驟:(1). 設設x1x2, 并是定義域上任意二并是定義域上任意二值值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;方法小結方法小結 ）下結論（的符號。）的符號，從而得出區(qū)間，討論各個區(qū)間）根把定義域分成若干（的根求（）令既提取因式6)f(-(50,(4) )(x-()(-)(,-31221121212xxfxxxxxfxfxx- - - -| -)(52單調

4、遞減區(qū)間是：函數例xxxf點評：單調區(qū)間的求法1、定義法2、圖像法的單調遞減區(qū)間。求函數練習34.2xxy點評 1、定義法 2、圖像法含參數函數的單調性的判斷上的單調性。在：試討論函數例) 1 , 1(-)0(1-)(62xaxaxxf)1)(1()1)()1)(1(11)()(11-,2221211221222112212222112121xxxxxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxfxfxxxx則且解：任?。┥鲜窃龊瘮怠Ｔ冢ê瘮禃r當）上為減函數在（函數（時，當1 , 1-)(0)(- )(01 , 1-)(0)(- )00) 1-)(1-( , 01, 0-112121222121

5、1221xfxfxfaxfxfxfaxxxxxxxx抽象函數單調性的判斷上的增函數。是求證：并且當都有對任意的：函數例RxfxfxbfafbafRbaxf)(1)(, 0, 1)()()(,)(7調性。的值并判斷該函數的單求的值）求（且有時當滿足對任意的上的函數：定義在例) 1()2()0(12) 1 (, 1)(0),()()(,),(8fffxfxbfafbafRbaxfyR)(1)()0(,21) 1(),1() 1 () 11 ()0(1, 121)0()0() 1 ()01 (1, 01xfxfxfxffxbxafffffbaffffab（則令則則）令（則）解：令（上的增函數。是則設

6、時，當時，有當RxfxxfxfxxfxfxfxxfxfxfxxxfRxxfxfx)(1)-()()-()()()x-()()(0)(1)(-01)(0121211211221小結：小結：同增異減。研究函數的單調性，首先考慮函數的定義域，要注意函數的單調區(qū)間是函數定義域的某個區(qū)間。三三.復合函數單調性復合函數單調性的單調性。的單調性，從而得出與的單調性，必須考慮對于復合函數)()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu )(xfy)(xgfy 增函數增函數增函數增函數增函數增函數減函數減函數減函數減函數減函數減函數2212,3ux 又在上是減函數。2432,3yxx 在上是減函數。243

7、2,3 。yxx故函數的單調遞減區(qū)間為小結:在求解函數單調區(qū)間時必須注意單調區(qū)間是定義域的某個區(qū)間。？）的單調遞增區(qū)間是什么問：函數34(2xxy的單調遞減區(qū)間。求函數例34. 92xxy，即解：03403422xxxx。，即函數的定義域為 3 , 131x，故令uyxxu342增函數。是定義域內是的單調遞uy 分段函數的單調性例10：已知函數 ， ，1)(bxxfaxxaxxxg,)(2Rba,（1）當a=0,b=2時，求f(g(x)和g(f(x)的解析式，并判斷哪一個函數在其定義域上單調。（2）當a,b滿足什么條件時，f(g(x)在定義域上單調。是。上是增函數，在時，解：當)(R)(21,

8、 1-221,) 1-2()(0, 1-20, 1-2)(0,0,)(1-2)(2, 0222xfggxfxxxxxfgxxxxxgfxxxxxgxxfba單調遞增滿足（則使遞增在單調遞增，在時，）（時不單調；）顯然（、)(,01-)-1-0201, 1, 1)(222xgfbxyabxybbaxbxaxbxxgf10,0,101-1-0)()-10(21011022aabaababaaxgfabxybaababaa或綜上或遞減滿足則使遞減，在時，）或點評v分段函數的單調性，首先判斷各段函數的單調性，若 每段函數的單調性一致，再判斷分界點處函數值的大小關系，符合單調性的定義，則在整個定義域上是

9、單調函數。函數的單調性的應用v1、比較數（式）的大小v2、解函數不等式v3求參數的取值范圍v4、求函數值域（最值）題型一、比較大小：題型一、比較大?。豪?：函數：函數f(x)在在(0,+ )上是減函數上是減函數,求求f(a2-a+1) 與與f( )的大小。的大小。43解：因為解：因為f(x)在在(0,+ )是減函數是減函數因為因為a2-a+1=(a- )2+ 0434321所以所以f(a2-a+1) f( )43n解（1）1（2）2/3,1/2 (3) 1n(4)當a0時，b0或當a0時，b0n(5)當a0時，最大值為3-4a最小值為-1n 當0a2時，最大值為-1，最小值為3-4a.),3

10、() 12(,9 , 9)(的范圍求且滿足上的增函數是定義在練習：已知xxfxfxf題型二、解不等式：題型二、解不等式：例例2：解：因為函數解：因為函數f(x)在定義域上是增函數在定義域上是增函數9399129312xxxx54|xx54x( )f x(0,)( )( )( ),(2)1xff xf yfy(1)已知函數已知函數 是定義在是定義在 上的增函數上的增函數且且 ,解不等式解不等式1( )()23f xfx(2)已知已知 為為 上的減函數，則滿足上的減函數，則滿足 的實數的實數 的取值范圍是的取值范圍是 （ ）( )f xR1()(1)|ffxxA、 B、 C、 D、( 1,1)(0

11、,1)( 1,0)(0,1)(, 1)(1,) 練習f ()( )(),f2f ()(2)(1),f (1)011( )()212-f (1)(1)()2(1)()2x1,-xxfxfyyfffxfxfxfxfxfxx且 （ 2） =1，因 為 函 數 為 增 函 數 ，解 得 ， 12題型三、求參數范圍：題型三、求參數范圍：例例3:f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間在區(qū)間(- ，4)上上是減函數，求是減函數，求a的取值范圍。的取值范圍。解：函數解：函數f(x)圖象的對稱軸為圖象的對稱軸為x=1-a當當x 1-a時，函數單調遞減時，函數單調遞減已知函數在已知函數在 上是減函數上是減函數

12、4，所以所以4 1-a,即即-3 a練習練習(1)已知函數已知函數 在區(qū)間在區(qū)間 上上是減函數，則實數是減函數，則實數 的取值范圍是（的取值范圍是（ ）2( )2(1)2f xxax(,4aA、 B、 C、 D、(, 3 3,)(,33,)（2）已知）已知 在在 上是增函數，求實上是增函數，求實數數a的取值范圍的取值范圍.3( )f xxax (0,1（3）已知函數）已知函數 在在 上是增函上是增函數，求實數數，求實數 的取值范圍。的取值范圍。( )2aaf xxx(1,)a四、利用函數單調性確定函數的值域或最值.2222,3yxxx，( )2xf xx2( )40,1f xxxax ，（1）

13、求二次函數 上的最值.(2).函數 在區(qū)間2，4上的最大值為 最小值為（3）已知函數 ，若有最小值-2，則 的最大值為( )f x( )f x（4）若函數 在 上為增函數，則實數 的范圍是 .( )| 2f xa xb0,), a b(5)求 在區(qū)間 上的最大值和最小值2()21fxxa x0, 21.函數最大（小）值首先應該是某一個函數值函數最大（?。┲凳紫葢撌悄骋粋€函數值,即存在即存在 ， 使得使得 ；0 xI 2.函數最大（?。┲祽撌撬泻瘮抵抵凶畲螅ㄐ。┑?，即函數最大（?。┲祽撌撬泻瘮抵抵凶畲螅ㄐ。┑?，即對于任意的對于任意的xI，都有，都有f(x)M（f(x)M）3.如果函數如果函數y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上單調遞上單調遞增增，則函數，則函數y=f(x)在在x=a處有處有最小值最小值f(a),在在x=b處有處有最大值最大值f(b) ；4.如果函數如果函數y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上單調遞上單調遞減減，在區(qū)間，在區(qū)間b，c上上單調遞單調遞增增則函數則函數y=f(x)在在x=b處有處有最小值最小值f(b)；