導數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論(1)

1、努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美！導數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美！努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美！努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美?。?017 年全國新課標1理 21）已知22xxfxaeaex. （1）討論fx的單調(diào)性；（2）若fx有兩個零點，求a的取值范圍 . 解析： （1）2221211xxxxfxaeaeeae若0a，則0fx恒成立，所以fx在 r上遞減；若0a，令0fx，得11,lnxexaa. 當1lnxa時，0fx，所以fx在1,lna上遞減；當1lnxa時，0fx，所以fx在1ln,a上遞增 . 綜上，當0a時，fx在

2、 r 上遞減；當0a時，fx在1,lna上遞減，在1ln,a上遞增 . （2）fx有兩個零點，必須滿足min0fx，即0a，且min111ln1ln0fxfaaa. 構(gòu)造函數(shù)1lng xxx，0 x. 易得110gxx，所以1lng xxx單調(diào)遞減 . 又因為10g，所以11111ln01101ggaaaaa. 下面只要證明當01a時，fx有兩個零點即可，為此我們先證明當0 x時，lnxx. 事實上，構(gòu)造函數(shù)lnh xxx，易得11hxx，min11h xh，所以0h x，即lnxx. 當01a時，22222110aeaeaafeee，2333333ln121ln11ln10afaaaaaaa

3、a，其中11lna，31lnlnaaa，所以fx在11,lna和13ln,lnaaa上各有一個零點. 努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美！故a的取值范圍是0,1. 注意： 取點過程用到了常用放縮技巧。一方面：2233202030ln1xxxxxxxaaeaexaeaeeaeaexaa；另一方面：0 x時，220201xxxaeaexaexx（目測的）常用的放縮公式 （考試時需給出證明過程）第一組：對數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）ln1xx，ln xx，ln 1xx（放縮成雙撇函數(shù)）11ln12xxxx，11ln012xxxx，1ln1xxxx，1ln01xxxx，（放縮成二次函數(shù)）2ln xx

4、x，21ln 1102xxxx，21ln 102xxxx（放縮成類反比例函數(shù)）1ln1xx，21ln11xxxx，21ln011xxxx，ln 11xxx，2ln 101xxxx，2ln 101xxxx第二組：指數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）1xex，xex，xeex，（放縮成類反比例函數(shù)）101xexx，10 xexx，（放縮成二次函數(shù)）21102xexxx，2311126xexxx，第三組：指對放縮ln112xexxx第四組：三角函數(shù)放縮sintan0 xxx x，21sin2xxx，22111cos1sin22xxx. 第五組：以直線1yx為切線的函數(shù)lnyx，11xye，2yxx，11yx，

5、lnyxx. 努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美！幾個經(jīng)典函數(shù)模型經(jīng)典模型一：ln xyx或lnxyx. 【例 1】討論函數(shù)lnfxxax的零點個數(shù) . （1）1ae時，無零點 .1fxax，max11ln10fxfaa. （2）1ae時， 1 個零點 . 11fxxe，maxln10fxf ee. （3）當10ae時， 2 個零點 . 10fa（目測），111ln1011111aafaaaaa，其中111ea.（放縮）10f eea. 2211111ln0faaaaaaa，其中221eea.（用到了1ln1xxxx）（4）當0a時， 1 個零點 . 10fxax，單調(diào)遞增 .10fa，

6、1122111110aaaaafeaaeaaaaeea. 【變式】（經(jīng)過換元和等價變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例1：lnfxxax） ：1. 討論lnfxxmx的零點個數(shù) （令xt，2ma） ；2. 討論lnfxxmx的零點個數(shù) （令1am） ；3. 討論lnfxxxmx的零點個數(shù) （考慮fxg xx） ；努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美！4. 討論ln xfxmxx的零點個數(shù)（考慮g xx fx，令32tx，32ma） ；5. 討論2lnfxxmx的零點個數(shù)（ 令2tx，2ma） ；6. 討論xfxaxe的零點個數(shù) （令xet）. 經(jīng)典模型二：xeyx或xeyx【例 2】討論函數(shù)xfxeax

7、的零點個數(shù) . （1）0a時， 1 個零點 .0 xfxea，xfxeax單調(diào)遞增 . 且010fa，1110afea，所以在1,0a上有一個零點；（2）0a時，無零點 .0 xfxe恒成立；（3）0ae時，無零點 .minln1ln0fxfaaa；（4）ae時， 2 個零點 . 1110afea，10fea，2ln2ln20faa aaa e. 【變式】（經(jīng)過換元和等價變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題2：xfxeax） ：1. 討論2xfxemx的零點個數(shù)（令2xt，2ma） ；2. 討論xxemfxxe的零點個數(shù)（去分母后與1 等價 ） ；3. 討論xfxemx的零點個數(shù)（移項平方后與1 等價 ）

8、 ；4. 討論2xfxemx的零點個數(shù)（移項開方后換元與1 等價 ） ；5. 討論1xfxemx的零點個數(shù)（乘以系數(shù)e，令ema） ；6. 討論ln xfxmxx的零點個數(shù)（令txe，轉(zhuǎn)化成2）努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美！7. 討論1xfxemxm的零點個數(shù)（ 令1xt，2mae） ；經(jīng)典模型三：lnyxx或xyxe【例】討論函數(shù)lnafxxx的零點個數(shù) . （1）0a時， 1 個零點 . 20 xafxx，lnafxxx單調(diào)遞增 . 10fa，11ln 110111aafaaaaa. （2）0a時， 1 個零點 （01x）. （3）1ae時，無零點 . 2xafxx，minln10fxfaa（4）1ae時， 1 個零點 . 01xe.min11ln10fxfee（5）10ae時， 2 個零點 . 22111ln0faaaaaaa，110feae，10fa，【變式】（經(jīng)過換元和等價變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題3：lnafxxx） ：1.討論1lnfxaxx的零點個數(shù)；2. 討論lnfxmxx的零點個數(shù)（考慮fxg xx，令xt） ；3. 討論xafxxe的零點個數(shù)（ 令xet） ；努力的你，未來可期! 拼搏的你，背影很美！4. 討論xafxex的零點個數(shù)；練習題1. 已知函數(shù)221xfxxea x有