七年級數(shù)學(xué)下冊專題第11講全等三角形輔助線作法總結(jié)及練習(xí)

1、1 專題第 11 講全等輔助線（二）知識點 1 半角模型我們習(xí)慣把過等腰三角形頂角的頂點引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型.常見的圖形為正方形，正三角形等. （1）正方形內(nèi)含半角: 如圖， 在正方形 abcd 中，e、f分別是 bc、cd 邊上的點， eaf=45 ，易證：ef=be+df. （2）正三角形內(nèi)含半角: 如圖， 在四邊形 abcd 中， ab=ac=bc,bd=dc， e、 f 分別是 ab、 ac 邊上的點，bdc=120 , edf=60 ，易證： ef=fc+be. 【典例】2 1.已知：正方形abcd中，45man，它的兩邊分別交線段

2、cbdc、于點mn、.求證bmdnmn. 【解析】延長nd到 e 使 debm四邊形 abcd 是正方形ad=ab ， ade= b=90 在ade和abm中，adabadebdebmadeabm（sas）am=ae bamdae45man45bamnad45manean在amn和aen中maeamaneanananamnaen(sas) mn=en de+dn=bm+dn=mn 即bmdnmn【方法總結(jié)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題比較典型， 具有一定的代表性， 且證明過程類似，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形，從而進行等量代nmdcbaenmdcb

3、a3 換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題 . 【隨堂練習(xí)】1 （2017 秋?沂源縣期中）（1）操究發(fā)現(xiàn)：如圖1，abc 為等邊三角形，點d為 ab 邊上的一點， dce=30 ，dcf=60 且 cf=cd求eaf 的度數(shù)；de 與 ef 相等嗎？請說明理由（2）類比探究：如圖2，abc 為等腰直角三角形， acb=90 ，點 d 為 ab邊上的一點， dce=45 ，cf=cd，cfcd，請直接寫出下列結(jié)果：eaf 的度數(shù)【解答】 解： （1） abc 是等邊三角形，ac=bc，bac=b=60 ，dcf=60 ，acf=bcd，在ac

4、f 和bcd 中，acfbcd（sas） ，4 ofecbaafcobedhabcdoecaf=b=60 ，eaf=bac+caf=120 ；de=ef；理由如下：dcf=60 ，dce=30 ，fce=60 30 =30 ，dce=fce，在dce 和fce 中，dcefce（sas） ，de=ef；（2） abc 是等腰直角三角形， acb=90 ，ac=bc，bac=b=45 ，dcf=90 ，acf=bcd，在acf 和bcd 中，acfbcd（sas） ，caf=b=45 ，af=db，eaf=bac+caf=90 ；知識點 2 手拉手模型“ 手拉手 ” 數(shù)學(xué)模型：5 nmcbabn

5、cabcmn【典例】1.如圖，已知點c為線段 ab 上一點，acm、bcn是等邊三角形求證：anbm. 將acm繞點c按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180，使點 a 落在cb上，請你對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形；在 得到的圖形中，結(jié)論“anbm” 是否還成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；【 解析】acm、bcn是等邊三角形accm，bccn60acmbcnacnmcb在acn和mcb中acmcacnmcbcncbacnmcb（sas）anbm將acm繞點c旋轉(zhuǎn)如圖：在 的情況，結(jié)論anbm仍然成立證明： 60bcmnca，cacm，cncbcancmb（sas） ，anmb【方法總結(jié)】這是一

6、個運動變化的探索題，是“ 手拉手 ” 經(jīng)典例題，證明方法類似，且在一定的條件下，探究原結(jié)論的存在性（不變性）；解決此類題，需要畫圖分析、判斷、猜想、推理論證【隨堂練習(xí)】17 （2017秋? 阜寧縣校級月考）如圖：aeab，afac，ae=ab ，af=ac ，6 （1）圖中 ec、bf 有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）連接 am ，求證： ma 平分emf【解答】 （1）解：結(jié)論： ec=bf，ecbf理由： aeab，afac，eab=caf=90 ，eab+bac=caf+bac，eac=bae在eac 和baf 中，eacbaf（sas） ，ec=bfaec=abfaeg+a

7、ge=90 ，age=bgm，abf+bgm=90 ，emb=90 ，ecbfec=bf，ecbf7 （2）證明：作 apce 于 p，aqbf 于 qeacbaf，ap=aq（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等） apce 于 p，aqbf 于 q，am 平分emf知識點 3 三垂模型常見三垂直模型【典例】1.如圖（ 1） ，已知 abbd ，ed bd，ab=cd ，bc=de ，（1）試判斷ac 與 ce 的位置關(guān)系，并說明理由（2）若將 cd 沿 cb 方向平移得到圖 （ 2） （3） （4） （5）的情形， 其余條件不變， 此時第（1）問中 ac 與 ce 的位置關(guān)系還成立嗎？請任選一個說明

8、理由8 【解析】解： （1） acce理由：如圖（ 1） ，ab bd ，edbd， b=d=90 ，又 ab=cd ，bc=de ， abc cde（ sas） ， a=dce ， a+acb=90 ， dce+ acb=90 ，ac ce；（2）不變理由：如圖（ 2） ，ab bd ，edbd， b=d=90 ，又 ab=c2d，bc1=de， abc1c2de（sas） ， a=ec2d，又 a+ ac1b=90 ， ec2d+ ac1b=90 ， c2mc1=90 ，ac1ec2【方法總結(jié)】9 本題主要考查全等三角形的判定、平移的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求證相關(guān)三角形全等對于第一問，根據(jù)

9、題意推出abc cde，即可推出ac ce；對于第二問，主要是根據(jù)已知推出abc1 c2de，即可推出結(jié)論【隨堂練習(xí)】1.（2017 秋? 紅橋區(qū)期末）（1）如圖， abc 中，bac=90 ，ab=ac ，ae 是過點 a 的一條直線， 且點 b，c 在 ae 的同側(cè)，bdae 于 d，ceae 于 e求證：bd=dece；（2）上題中，變成如圖， b，c 在 ae 的異側(cè)時， bd，de，ce 關(guān)系如何？并加以證明【解答】 證明： （1）bac=90 ，bdae，ceae，bda=aec=90 ，abd+dab=deb+cae，abd=cae，ab=ac ，在abd 和cae 中，abdc

10、ae（aas ） ，bd=ae，ad=ce，ad+ae=bd+ce ，10 de=bd+ce，bd=dece（2）bd=de+ce，理由如下：bac=90 ，bdae，ceae，bda=aec=90 ，abd+bae=90 ，cae+bae=90 abd=cae，ab=ac ，在abd 和cae 中，abdcae（aas ） ，bd=ae，ad=ce，ae=ad+de ，bd=de+ce；綜合運用1.在等邊三角形abc 的兩邊 ab、ac 所在直線上分別有兩點m、n，d 為三角形abc 外一點，且60mdn,120bdc,bd=dc. 探究：當 m、n 分別在直線ab 、ac 上移動時，bm

11、、nc、mn 之間的數(shù)量關(guān)系圖 1 圖 2 amnbcddcbnma11 （1）如圖 1，當點 m、n 在邊 ab 、ac 上，且 dm=dn 時， bm 、nc、 mn 之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖 2，點 m、n 在邊 ab 、ac 上，且當 dmdn 時，猜想 問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明. 【解析】（1）如圖 1， bm 、nc、mn 之間的數(shù)量關(guān)系bm+nc=mn （2）猜想：結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長ac 至 e，使 ce=bm ，連接 debd=cd 且120bdc30dcbdbc又abc 是等邊三角形，90mbdncdecd在mbd與ecd中：bmcembdecd

12、bdcdmbdecd(sas) dm=de, bdmcde60ednbdcmdn在 mdn 與 edn 中：dndnednmdndedmmdnedn(sas) mnnencbmenmdcba12 ogfecba2. 如圖，等邊三角形abe 與等邊三角形afc共點于 a ，連接 bf 、ce，求證： bf =ce并求出eob的度數(shù) . 【解析】 abe 、afc 是等邊三角形ae=ab ，ac=af ，60eabfaceabbacfacbac即eacbafaecabf（sas） bf =ecaecabf又agebgo60boeeab60eob3. 如圖，正五邊形abdef 與正五邊形acmhg共

13、點于 a，連接 bg、cf，則線段 bg、cf具有什么樣的數(shù)量關(guān)系并求出gnc 的度數(shù)【解析】解：結(jié)論：bg=cf理由：如圖， bg 交 cf 于 n， ag 交 cf 于 p，正五邊形abdef 與正五邊形acmhg 共點于 a，ab=af ，ac=ag ，baf= cag=108 ， bag= fac，在abg 和afc 中，13 ， abg afc （ sas） ，cf=bg ，bga= fca ， gnc=180 bga npg， npg=apc， gnc=180 fca apc=cag=108 4. 如圖，已知銳角abc 中，以 ab ，ac 為邊向外作正方形abde 和正方形acf

14、g ，連結(jié)ce、bg，交點為o（1）求證： ec=bg 且 ecbg（2）探究： abc 與aeg 面積是否相等？并說明理由【解析】解： （1）在正方形abde 和正方形 acfg 中， ae=ab ，ac=ag ， eab= gac=90 ， eac= bag ，在eac 和bag 中， eac bag （ sas） ，ce=bg ， aec=abg ， aec+ 1=90 ，1=2，14 2+abg=90 ， boe=180 （ 2+abg ）=90 ，cebg；（2）sabc=saeg成立理由：作 eh ga 交 ga 的延長線于點h，作 bpac 于點 p， ahe= apb=90 四

15、邊形 abde 和四邊形 acfg 都是正方形，ae=ab ，ag=ac ， eab= gac=90 ， eab+ gac+ bac+ eag=360 ， eag+ bac=180 eag+ eah=180 ， eah= bap在ahe 和apb 中， ahe apb （aas ） ，eh=bp ag=ac ，ag?eh=ac?bp，sabc=saeg15 5. 如圖 ，abc 和ecd 都是等邊三角形， 且點 b、 c、d 在同一直線上， 連接 be，ad （1）求證： be=ad ；（2）如圖 ，點 p 為線段 be 上一點，點f 為線段 ad 上一點， af=bp ，連接 ap，cp，p

16、f，若 pf ad ，求 bpc 的度數(shù)；【解析】證明： （1） abc 和ecd 都是等邊三角形，ac=bc ，ec=dc ，acb= ecd=60 ， acb+ ace= ecd+ ace ，即 acd= bce，在acd 于bce 中， acd bce（ sas） ，ad=be ；（2）解：如圖 連接 cf，ad=be ，af=bp ，16 ad af=be bp，pe=fd ， acd bce， adc= bec，ce=cd ，在fdc 與pec 中， fdc pec（sas） ， cpe= cfd， acd bce， dbe= cad ， bma= ebd+ adb=60 ， pcf

17、=60 ， pcf 是等邊三角形， fpc=60 ，pfad ， fmp=60 ， fpm=30 ， cpm=30 ， bpc=180 30 =150 ；6. 如圖 1 所示，已知 abc 中， bac=90，ab=ac ，ae 是過點 a 的一條直線，且b 點17 和 c 點在 ae 的異側(cè)， bd ae 于 d 點， ceae 與 e 點（1）求證： bd=de+ce （2） 若直線 ae 繞點 a 旋轉(zhuǎn)到圖2 所示的位置時 （bd ce） 其余條件不變， 問 bd 與 de，ce 的關(guān)系如何？請予以證明（3） 若直線 ae 繞點 a 旋轉(zhuǎn)到圖3 所示的位置時 （bd ce） 其余條件不變， 問 bd 與 de，ce 的關(guān)系如何？直接寫出結(jié)果，不需證明【解析】證明： （1）bd ae 于 d，ceae 于 e， adb= aec=90 bac=90 ， adb=90 ， abd+ bad= cae+ bad=90 ， abd= cae 在abd 和cae 中，abd= cae ，adb= cea ，ab=ac abd cae （aas ）bd=ae ，ad=ce ae=ad+de ，bd=de+ce （2）解： bd=de ce 證明如下：bd ae 于 d，ceae