exp求代數(shù)方程的近似根(解)

1、實(shí)驗(yàn)三求代數(shù)方程的近似根(解)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)q 問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三、近似求解代數(shù)方程近似求解代數(shù)方程u 解方程（代數(shù)方程）是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問題之一。u 目前還沒有一般的解析方法來求解非線性方程，但如果在任意給定的精度下，能夠解出方程的近似解，則可以認(rèn)為求解問題已基本解決，至少可以滿足實(shí)際需要。u 本實(shí)驗(yàn)主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：對分法，迭代法 和 牛頓法。同時(shí)要求大家學(xué)會(huì)如何利用Matlab 來求方程的近似解。相關(guān)概念相關(guān)概念0( )f x u 如果如果 f(x) 是一次多項(xiàng)式，稱上面的方程為是一次多項(xiàng)式，稱上面的方程為線性方線性方程程；否

2、則稱之為；否則稱之為非線性方程非線性方程。q 線性方程線性方程 與與 非線性方程非線性方程q 基本思想基本思想對分法對分法將有根區(qū)間進(jìn)行對分，判斷出解在某個(gè)分段內(nèi)，然后將有根區(qū)間進(jìn)行對分，判斷出解在某個(gè)分段內(nèi)，然后再對該段對分，依次類推，直到滿足給定的精度為止。再對該段對分，依次類推，直到滿足給定的精度為止。q 適用范圍適用范圍求有根區(qū)間內(nèi)的求有根區(qū)間內(nèi)的 單根單根 或或 奇重實(shí)根奇重實(shí)根。q 數(shù)學(xué)原理：數(shù)學(xué)原理：介值定理介值定理設(shè)設(shè) f(x) 在在 a, b 上連續(xù)，且上連續(xù)，且 f(a) f(b)0，則由介值定，則由介值定理可得，在理可得，在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使

3、得使得 f( )=0。q 具體步驟具體步驟對分法對分法設(shè)方程在區(qū)間設(shè)方程在區(qū)間 a,b 內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且 f(a)f(b)0，給定，給定精度要求精度要求 ，若有，若有 |f(x)| ，則則 x 就是我們所需要就是我們所需要的的 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)的內(nèi)的 近似根近似根。；，計(jì)算令)( 2/ )( ) 1 (00 xfbax；輸出結(jié)果停止計(jì)算，的近似根，就是我們所要，則若000 | )(| )2(xxxxf；否則令，令若bbxaxbaaxfaf1010110, ;, 0)()( )3(；輸出結(jié)果，則停止計(jì)算，若令11111 | )(|, 2/ )( )4(xxxfbax；否

4、則令，令若1212121211, ;, 0)()( bbxaxbaaxfaf. .q 收斂性分析收斂性分析對分法收斂性對分法收斂性*=11111 11|()()()22 22kkkkkkxxbababa 設(shè)方程的根為設(shè)方程的根為 x* (ak , bk ) ，又，又 ，所以，所以2kkkabx 0(k )對分法總是收斂的對分法總是收斂的u 但對分法的收斂速度但對分法的收斂速度較慢較慢u 通常用來試探實(shí)根的通常用來試探實(shí)根的分布區(qū)間分布區(qū)間， 或給出根的一個(gè)較為或給出根的一個(gè)較為粗糙的近似粗糙的近似。根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個(gè)每次縮小一半的根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個(gè)每次縮小一半的區(qū)間

5、序列區(qū)間序列 ak , bk ，在，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。中含有方程的根。迭代法迭代法q 基本思想基本思想u 構(gòu)造構(gòu)造 f (x) = 0 的一個(gè)等價(jià)方程：的一個(gè)等價(jià)方程： ( )xx u 從某個(gè)近似根從某個(gè)近似根 x0 出發(fā)，計(jì)算出發(fā)，計(jì)算得到一個(gè)迭代序列得到一個(gè)迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不動(dòng)點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)f (x) = 0 x = (x)等價(jià)變換等價(jià)變換f (x) 的零點(diǎn)的零點(diǎn)u 若若 收斂，即收斂，即 ，假設(shè)，假設(shè) (x) 連續(xù)，則連續(xù)，則q 收斂性分析收斂性分析迭代法的收斂性迭代法的收斂性 1limlim ()lim

6、kkkkkkxxx lim*kkxx *x( *)x kx*( *)xx ( *)0f x 即即注：若得到的點(diǎn)列發(fā)散，則迭代法失效！注：若得到的點(diǎn)列發(fā)散，則迭代法失效！q 定義：定義：迭代法收斂性判斷迭代法收斂性判斷q 定理定理 2：如果定理如果定理 1 的條件成立，則有如下估計(jì)的條件成立，則有如下估計(jì)10|* |1kkqxxxxq 11|* |1kkkxxxxq 如果存在如果存在 x* 的的某個(gè)某個(gè) 鄰域鄰域 =(x*- , x* + ), 使使得對得對 x0 開始的迭代開始的迭代 xk+1 = (xk) 都收斂都收斂, 則稱該迭代法在則稱該迭代法在 x* 附近附近局部收斂局部收斂。q 定理定理 1：設(shè)設(shè) x = (x)中的中的 (x)某個(gè)某個(gè) 鄰域鄰域 內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且對對 x 都有都有 | (x)| q 1, 則對則對 x0 ，由由迭代迭代 xk+1 = (xk) 得到的點(diǎn)列都收斂。得到的點(diǎn)列都收斂。迭代法收斂性判斷迭代法收斂性判斷10|* |1kkqxxxxq q 定理定理 3：已知方程已知方程 x = (x)，且且(1) 對對 x a, b，有有 (x) a, b；(1) 對對 x