2019屆高考數學(江蘇卷)模擬沖刺卷(4)(含附加及詳細解答)

1、2019 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇省 )模擬試卷 (四) 數學(滿分 160 分，考試時間120 分鐘 ) 一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共 70 分. 不需寫出解答過程，請把答案直接寫在指定位置上1. 復數2i1i(i 為虛數單位 )的模為 _2. 函數 f(x)12xln(x1)的定義域為 _ . 3. 某公司生產a，b，c 三種藥品，產量分別為1 200 箱， 6 000 箱， 2 000箱為檢驗該公司的藥品質量，現用分層抽樣的方法抽取46 箱進行檢驗，則 a 藥品應抽取 _箱4. 如圖是一個算法的程序框圖，當輸入的x 值為 5 時，則輸出的y 的值為_5.

2、已知集合a 0，6，4，3，2，23，34，56， .現從集合a 中隨機選取一個元素，則該元素的余弦值為正數的概率為_6. “ 4” 是“ cos 2 0” 的 _條件7. 已知 (0，2)， (2，)，cos 13，sin( )79.則 sin 的值為 _. 8. 若函數 f(x)x1（x1 ），kx x2（ x0，b0 則 ab 的最大值為_11. 在等比數列 an 中， an0 且 a1a3a5a7a932，則 a2a8的最小值是 _12. 已知函數f(x) x2cos x，x2，2，則滿足f(x0)f(6)的 x0的取值范圍是 _13. 已知向量 a， b是單位向量， 若 a b0，

3、且|c2b|2|ca|， 則|c2a|的最小值是 _14. 已知 a0 ，函數 f(x)exa(x 1)的圖象與 x 軸相切若x1 時， f(x)mx2，則實數m 的取值范圍是 _二、解答題：本大題共6 小題，共90 分. 解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14 分) 如圖，在四面體abcd 中， adbd， abc90 ，點 e，f 分別為棱ab，ac 上的點，點g 為棱 ad 的中點，且平面efg平面 bcd.求證：（1）ef12bc；（2）平面 efd 平面 abc. 16. (本小題滿分14 分) 已知向量m(sin x，3sin x)，n (sin x

4、， cos x)，設函數f(x) m n. （1）求函數f(x)在區(qū)間 4，6上的最大值；（2）設 g(x)12f(x)，若 sin(2 6)13，0 b0)的焦距為2 6，且過點 (2, 2)（1）求橢圓 c 的方程；（2）設點 p 是橢圓 c 上橫坐標大于2 的一點， 過點 p 作圓 (x1)2y21 的兩條切線分別與y 軸交于點a，b，試確定點p 的坐標，使得pab 的面積最小19. (本小題滿分16 分) 若存在非零常數p，對任意的正整數n，a2n1anan2p，則稱數列 an 是“ 容數列 ” （1）若數列 an的前 n 項和 sn n2(nn*)，求證： an 是“ 容數列 ” ；

5、（2）設 an是各項均不為0 的“ 容數列 ” 若 p0，求證：當a1，a2，a3成等差數列時， an是等差數列 . 20. (本小題滿分16 分) 設函數 f(x)2x，x4(a， b 為常數，且a 0) （1）若 b0 且 f(8)1，求 f(x)在 x0 處的切線方程；（2）設 a，b 互為相反數，且f(x)是 r 上的單調函數，求a 的取值范圍；（3）若 a1，b r.試討論函數g(x) f(x)b 的零點的個數，并說明理由2019 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇省 )模擬試卷 (四) 數學附加分 (滿分 40 分，考試時間30 分鐘 )21. 【選做題】從 a，b，c 三題中選

6、做2 題，每小題10 分，共 20 分若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟a. ( 選修 42：矩陣與變換 ) 設矩陣 ma021的一個特征值為2，若曲線c 在矩陣m 變換下的方程為x2y21，求曲線 c 的方程b. (選修 44：坐標系與參數方程) 在極坐標系中，已知點p(23，6)，直線 l： cos( 4)22，求點 p 到直線 l 的距離c. (選修 45：不等式選講) 已知函數f(x)|x1|x2|a2 2a|，若函數 f(x)的圖象恒在x 軸上方，求實數a 的取值范圍【必做題】第22 題、第 23 題，每小題10 分，共 20 分解答時應寫出必

7、要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 如圖， 在多面體abcdef 中，abcd 為正方形， ed平面 abcd，fbed，且 adde2bf2. （1）求證： acef；（2）求二面角cefd 的大小23. 已知 k，mn*，若存在互不相等的正整數a1，a2，am，使得 a1a2，a2a3， ，am1am，ama1同時小于k，則記 f(k)為滿足條件的m 的最大值（1）求 f(6)的值；（2）對于給定的正整數n(n1)， 當 n(n2)k( n1)(n2)時，求 f(k)的解析式； 當 n(n1)k n(n2)時，求 f(k)的解析式2019 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇省 )模擬

8、試卷 (四) 1.102解析：2i1i3i2，2i1i3i29414102. 2. (1，2)解析： 由題知2 x0，x10，解得 1x0，b0，從而 2ab 5，52ab2 2ab，ab258，當且僅當2a b，即 a54，b52時等號成立，從而ab 的最大值為258. 11. 4解析： a1a3a5a7a932，an0，a52，a2a82a2a84. 12.2，66，2解析： 函數 f(x)x2cos x，x 2，2為偶函數，其圖象關于 y 軸對稱，故考慮函數在區(qū)間0，2上的情形，利用導數可得函數在0，2上單調遞增，故在0，2上 f(x0)f6的 x0的取值范圍是6，2，利用對稱性質知，在

9、2，2上，x0的取值范圍是2，6)6，2. 13.2010解析： 設oaa(1，0)，obb (0，1)，opc(x，y)，則由 |c2b|2|ca|，得x2(y2)22(x1)2y2，即 (x2)2(y2)210.又|c2a|（ x2）2y2， |c2a|min2010. 14. (， e2解析： f(x) ex a，依題意，設切點為(x0， 0)，則f（ x0） 0，f（ x0） 0，即ex0a（x01） 0，ex0a0.又 a0，x00，a1，f(x) exx 1.由題意，得ex x 1mx2，即exx1x2m 在(1， ) 上恒成立設h(x)exx 1x2，x1，則 h(x)（x2）e

10、x x2x3，x1. 設 s(x)(x2)exx2，x1, s (x)(x1)ex1，x1，s(x)0 在(1， )上恒成立，s(x)在(1， )上單調遞增 s(1)3e0， s(x)0 即 h(x)0 在(1， )上恒成立， 故 h(x)在 (1， )上單調遞增 h(1)e2，me 2，即實數 m 的取值范圍是 (， e215. 證明：(1) 因為平面efg平面 bcd， 平面 abd平面 efgeg， 平面 abd平面 bcdbd，所以 egbd. 又 g 為 ad 的中點，故e 為 ab 的中點，同理可得f 為 ac 的中點，所以ef12bc.(7 分 ) (2) 因為 adbd，由 (

11、1)知， e 為 ab 的中點，所以 abde . 又 abc 90，即 abbc. 由(1)知， efbc，所以 abef. 又 deefe， de，ef? 平面 efd ，所以 ab平面 efd . 又 ab? 平面 abc，故平面efd 平面 abc.(14 分) 16. 解： (1) 由題意，得 f(x)sin 2x3sin xcos x1cos 2x232sin 2x12sin2x6. 32x62，f(x) 12，132， f(x)max132.(7 分 ) (2) 由(1)知 g(x)12 f(x)sin2x6， sin2613，04， 626n, 則直線 pa 的方程為 (y0m

12、)xx0yx0m0，則圓心 (1， 0)到直線 pa 的距離為|y0mx0m|（y0m）2x201，化簡得 (x02)m22y0m x00，(8 分) 同理， (x02)n22y0nx00，所以 m， n為方程 (x02)x22y0 xx00 的兩根，則(m n)2（2y0）24x0（x02）（x02）2，又 pab 的面積為 s12(mn)x0，所以 s2y20 x0（x02）（x02）2x20（x02）282（x02）2x20，令 tx02(0，2 32，記 f(t)（t28）（ t2）22t2，則 f(t)t（t2）（ t316）t40 在(0，23 2上恒成立，所以 f(t)在(0,

13、232上單調遞減，故t 2 32，即 x02 3時， f(t)最小，此時 pab 的面積最小，當 x0 2 3時， y00，即 p(23，0)(16 分) 19. 證明： (1) 當 n1 時， a1s11；當 n2 時， ansnsn1 n2(n1)22n 1，所以 an2n1，nn*，則an是“容數列”? 存在非零常數p，使得 (2n1)2(2n1)(2n3)p，顯然 p4 滿足題意，所以 an是“容數列”(4 分) (2) 假設 an是等差數列，設ana1(n1)d，則由 a2n1anan2p，得 (a1nd)2a1 (n1)da1(n1)dp，解得 pd20，這與 p0)，所以 a2n

14、an1an1p(n2)，兩式相減得a2n1a2nanan2an1an1(n2)因為 an的各項均不為0， 所以an1an1ananan2an1(n2)， 從而an1an1an(n2)是常數列因為 a1，a2，a3成等差數列，所以a3a1a22，從而an1an1an2(n2)，即 an1 an12an(n2)，即證 (16 分) 20. 解： (1) f(8)1，a2. 又 b0，f(0)1， f(0)14， f(x)在 x0 處的切線方程為x4y40.(4 分) (2) y12x是減函數，且f(x)是 r 上的單調函數， 在 ya(log4x1)中，應該有yaxln 4 0，故 a0.(5 分

15、) 在 yax3(b4a)x2 4b14x1 中，其中ab0，y 3ax210ax4a14，導函數的對稱軸為x53，故 100a212a4a140，解得352a0，即 a 的取值范圍是 352，0)(8 分) (3) 函數 f(x)2x，x4，則 f(x)3x22(b4)x4b14(0 x4)，其判別式 4b216b670，記 f(x)0 的兩根為x1，x2(x10 時，12xb0無解， log4x1b 無解，又 f(0)b1b0, f(4)b b0, f(2)b 84(b4)24b141b152 3b0，方程在 (0， 4)上有兩解，方程一共有兩個解；(10 分 ) 當 b1 時，12xb0

16、 有一解 xlog0.5(b)，log4x 1b0 有一解 x41b, 又 f(0)b1b0，f(4)bb0, 故方程在 (0，4)上有兩解，方程共有4 個解； (12 分 ) 當 1b0，f(4)bb1 時， g(x)有 2 個零點；當 b 1 時， g(x)有 3 個零點；當 b1 時， g(x)有 4 個零點 (16 分) 2019 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇省 )模擬試卷 (四) 21. a. 解： 由題意得矩陣m 的特征多項式f( )( a)( 1)因為矩陣m 有一個特征值為2，f(2)0，所以 a2.(2 分 ) 所以 mxy2021xyxy，即x 2x，y 2xy，代入

17、方程x2y21，得 (2x)2 (2xy)21，即曲線 c 的方程為8x2 4xyy21.(10 分) b. 解： 點 p 的直角坐標為 (3，3) (2 分) 直線 l 的普通方程為xy40，(4 分) 從而點 p 到直線 l 的距離為|334|2262.(10 分) c. 解： 因為 |x1|x2|x1(x2)|3，所以 f(x)的最小值為3|a2 2a|.(4 分 ) 由題設，得 |a22a|3，解得 1a3，即 a 的取值范圍是(1，3)(10 分) 22. (1) 證明： 連結 bd ，fbed， f，b，e，d 共面 ed平面 abcd ， ac? 平面 abcd ， edac.又

18、 abcd 為正方形， bd ac，而 ed dbd， ac 平面 dbfe，而 ef? 平面 dbfe ， ac ef.(4 分) (2) 解： 如圖建立空間直角坐標系，則 a(2 ，0，0)， b(2，2，0)，c(0，2，0)，f(2， 2，1)，e(0，0，2)由(1)知ac為平面 dbfe 的法向量，即 ac( 2，2，0)，又ce(0， 2，2)，cf(2，0， 1)，設平面 cef 的法向量為n(x，y，z)，則有cen0，cfn 0，即2y2z 0，2xz0，取 z1，則 x12，y1， n 12， 1，1 . 設二面角cefd 的大小為 ，則 cosn，acn ac|n|ac|1 2322 222. 又二面角cefd 為銳角， 4.(10 分) 23. 解： (1) 由題意，取a1 1，a22，a1a26，滿足題意；若?a33，則必有a2a3 6，不滿足題意，綜上所述， m 的最大值為2，即 f(6)2.(2 分 )