整式乘法公式及因式分解錯題分析

1、平方差公式錯解分析利用乘法公式進行整式的乘法計算，可以使計算過程簡潔方便但在利用公式時，如果對公式掌握不熟練，計算馬虎，則很容易出現(xiàn)解題中的一些錯誤例 1 已知下列計算 ： （ x-y ） （ -x-1/37y）。（-x+y ）（ x-y ） 。 （ -x-y ）（ x+y ） ； （ x-y ）（ y-x）其中能利用公式（ a+b ）（ a-b ）=a2-b2 計算的有【誤】能利用公式計算的有：【析】如果兩個多項式相乘能利用公2/37式（ a+b）（ a-b） =a2-b2，則必須符合公式的特征 已知 中的 -y 相當公式中的 a ，x 相當于公式中的 b，所以可以利用公式，而、都不符合公式

2、的特征，即不是兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的形式，所以不能利用公式3/37【正】填 -例 2 計算（ 2x-3y）（ 2x+3y）【誤】（ 2x-3y）（ 2x+3y）=2x2-3y2【 析】公式(a+b） (a-b） =a2-b2 中的 a、b 可以是一個具體的數(shù)字或字母，也可以是一個單項式或多項式已知式子中4/37的 2x 和 3y 都是單項式，相當于公式中的a、 b，所以在計算時應用括號括起來【正】（ 2x-3y）（ 2x+3y）=例 3 運用公式計算 （ -x-3y ） （ x-3y）【誤】（ -x-3y ）（ x-3y ） = （ -x ） 2-5/37（ 3y）2=x2-9y2【析】利用

3、公式（ a+b）（ a-b） =a2-b2計算一定要 “對號入座 ” 即找準公式中的 a 、b，這里的 -3y 相當于公式中的 a，而 x 則相當于公式中的b錯解把 a 、 b 的位置顛倒了【 正】（ -x-3y ）6/37（ x-3y）=例4計 算（ 3x+4 ） （ 3x-4 ） -（ x+2）（ x-2）【 誤】（ 3x+4 ）（ 3x-4） -（ x+2）（ x-2）=9x2-4-x2-2=8x2-6【析】在錯解中有三處錯誤：（ 1）計算 （ 3x+4 ） （ 3x-4 ）時，沒能正確地使用7/37公式，結(jié)果沒有將 4 平方；（2）計算（ x+2）（ x-2）時也沒有將 2 平方。（

4、3）出現(xiàn)符號錯誤【 正】（ 3x+4 ）（ 3x-4） -（ x+2）（ x-2）=例5 計算（-x2+5y）（ -x2-5y）8/37【誤】（-x2+5y ） （ -x2-5y ） =-（ x2）2-（ 5y）2=-x4-25y2【析】 錯在將 x2 當成了公式中的 a，實際上是 -x2 相當于公式中的 a【正】 （-x2+5y）（ -x2-5y）=9/37例6計 算（ 2x+y+z ） （ 2x-y-z）【誤】（ 2x+y+z）（ 2x-y-z）= （ 2x+y ） +z （ 2x-y ） -z= （ 2x ） 2-y2-z2=4x2-y2-z2【析】本題錯在分組時，將前兩項分成一組，誤認

5、為可以10/37利用公式（ a+b）（ a-b ） =a2-b2 ，而實際上 （ 2x+y） +z （ 2x-y） -z 并 不 滿 足 公 式（ a+b ） （ a-b ） =a2-b2所以這種分組是錯誤的第二步不能正確運用平方差公式【 正 】（ 2x+y+z）（ 2x-y-z）=11/37因式分解“三步曲”在進行因式分解時，一般都遵循“三步曲”，即：“一提、二套、三檢驗”。一提：提公因式如果多項式的各項含有公因式，那么12/37首先提取這個公因式，再進一步分解因式。在提取時要注意以下三點：提公因式后括號內(nèi)各項不再含有公因式。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正1

6、3/37的。當公因式跟某一項相同時，提公因式后括號內(nèi)切勿漏掉“1”。例 1：分解因式：8x2 y312x2 y解：原式 = 例 2：分解因式：14/373a327ab 2解：原式 = 例 3：分解因式：3x22xyx解：原式 =二套：套用公式提完公因式后，再根據(jù)題目中各項特15/37點，再考慮套用公式。包括平方差公式以及完全平方公式。例 4：分解因式：12a4b227a 2b4解：原式 =例 5：分解因式：m36m29m16/37解：原式 =三檢驗：查漏補缺分解因式完成后，還要對分解的結(jié)果進行檢驗：分解是否徹底（在分解范圍內(nèi)每一項都分解到不能再分17/37解為止）；分解是不是準確（可以通過整式

7、的乘法來檢驗結(jié)果是否正確）；括號中的每一項中的首項符號是不是為正；括號中的每一項系數(shù)是不是均為整數(shù)；18/37分解的最后結(jié)果是不是只含有小括號。例 6：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式(a49)解：原式 =因式分解的巧用。同學們對因式分解的19/37兩種方法一定很熟悉了，如何靈活應用它進行求值計算、使問題簡單明朗、迎刃而解是我們的不足之處；本文介紹因式分解的巧用。一、用提公因式法分解因式求值例 1 21×314+ 62× 314+ 17 ×31420/37解：二、用公式法分解因式求值例 2 (1) 若 a+b=1 , a-b=2006 則 a2-b2=(2) 已知 2x-3=

8、0 , 求 x(x2-x)+x 2(5-x)-9 的值解： (1)(2)例3已知21/37a2+b2=25， ab=12求a+b 的值解：這些錯誤你犯過嗎？因式分解是數(shù)學教與學的重點、難點之一。在解題時，不少同學由于種種原因，難免出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤。本文試將這些錯誤作一歸類22/37分析，以期此文對同學們有所幫助。一、提取公因式時的錯誤1、提取后漏項例1、分解因式3a2b2-6ab3+3ab2誤解：原式 =3ab2(a-2b)分析：對于 3ab2 項被提取了 3ab2 后，23/37這一項不是沒有了，而是還剩下 1。正解：原式 = 2、運算不準確例 2、分解因式 a3m+2a2m+am誤解：

9、原式=am(a3+2a2+1)分析：混淆了同底數(shù)冪相乘與冪的乘方的區(qū)別，而導致了24/37a3m=am×a3, a2m=am×a2 的錯誤。正解：原式 = 二、對因式分解概念理解模糊導致錯誤1、定義的模糊例 3、分解因式x2-2x+1誤解：原式 =x(x-2)+1分析：未能理25/37解，分解因式的結(jié)果一定要是積的形式。正解：原式 = 2、錯誤的變形例4、分解因式12x2+xy+ 12y2誤解：原式 =x2+2xy+y 2=(x+y) 2分析：分解因式是一種恒等變形，而將12x2+xy+ 12 y2 變 形 成26/37x2+2xy+y 2 不是恒等變形。正解：原式 =3、

10、走回頭路例 5、分解因式a4-8a2+16誤 解 ： 原 式 =(a2-4)2=(a+2)2(a-2)2=(a2+4a+4)(a2-4a+4)分析：分解因式后，又反過來進行乘27/37法運算，從本質(zhì)上混淆了因式分解與整式乘法的區(qū)別。正解：原式 = 4、分解不徹底例6、分解因式(x2+1)2-4x2誤解：原式 =(x2+1+2x)(x 2+1-2x)分析： x2+1+2x 與 x2+1-2x 還 可 以 再 分28/37解，不可半途而廢。正解：原式 =完全平方公式的變形與應用由完全平方公式 (a± b)2a2±2ab+b2，我們可以得到以下恒等變形：（ 1 ） a2+b2 (

11、a+b)2 2ab (a 29/37b)2+2ab；（ 2） ab 12 (a+b)2 (a2+b2) 14 (a+b)2 (ab)2 a 2 b 2 a 2 b 2 ；（ 3） (a+b)2+(a b)22a2+2b2；（ 4 ） a2+b2+c2 ab bc ca 12 (a b)2+(bc)2+(ca)2.上述幾個恒等式十分重要，在解題中如能30/37靈活應用，往往能避繁就簡，收到奇效，現(xiàn)舉例說明 .例 1 計算： 1.345×0.345× 2.69 1.3453 1.345×0.3452.分析先逆用分配律，再用等式（1 ）即可 .解說明在有關復31/37雜

12、的數(shù)字計算中，如能抓住數(shù)字特點，巧用完全平方公式的變形式，可簡化運算過程，提高運算效率，培養(yǎng)良好的數(shù)學素質(zhì) .例 2 若(1012+25)2 (1012 25)2 10n ，求 n 的值 .分析利用（ 2）可 將 (1012+25)2 (101232/37 25)2 直接化為兩個數(shù)的積的形式，從而獲解.解(1012+25)2 (1012 25)2說明 利用完全平方公式的變形式可以簡潔明了的解決看似復雜的求值問題 .例 3已知 a+b+c33/37 0， a2+b2+c2 4，試求： a4+b4+c4 的值 .分析 乍看待求式和已知條件毫無關系，但細細琢磨一下，可將 c 視為已知數(shù)，對 a、b 利用完全平方公式（ 2），再結(jié)合（ 1）即可求解 .解34/37例4 計算：19931992 22 .19931991219931993 2分析 對分母運用完全平方公式的變形（ 3）可使分母差化積便于約分化簡，從而簡潔求值 .解19931992 22 199319912199319932說明