精品解析：2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題一選擇題1. 設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得：.故選：d.2. 已知，(i為虛數(shù)單位)，則（ ）a. b. 1c. d. 3【答案】c【解析】【分析】首先計(jì)算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：c.3. 已知非零向量，則“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分又不必要條件【答案】b【解析】【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳

2、解】如圖所示，,當(dāng)時(shí)，與垂直，所以成立，此時(shí)，不是的充分條件，當(dāng)時(shí)，,成立，是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件故選：b.4. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）a. b. 3c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，該等腰梯形的上底為，下底為，腰長(zhǎng)為1，故梯形的高為，故，故選：a.5. 若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最小值是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】畫(huà)出滿(mǎn)足條件的可行域，目標(biāo)函數(shù)化為，求出過(guò)可行域點(diǎn)，且斜率為的直線(xiàn)在軸上截

3、距的最大值即可.【詳解】畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的可行域，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)化為，由，解得，設(shè)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值為.故選：b.6. 如圖已知正方體，m，n分別是，的中點(diǎn)，則（ ）a. 直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)平面b. 直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，直線(xiàn)平面c. 直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，直線(xiàn)平面d. 直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，直線(xiàn)平面【答案】a【解析】【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，m是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又n是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴淮怪?，所以不垂直則不垂直平面，所以選項(xiàng)b,d不正確；在正方體中，平面，所以，所以平面，平面，所以，且直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，所以選項(xiàng)c錯(cuò)

4、誤，選項(xiàng)a正確.故選：a.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個(gè)面對(duì)角線(xiàn)互相垂直，正方體的對(duì)角線(xiàn)與面的對(duì)角線(xiàn)是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.7. 已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除a、b，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷c，即可得解.【詳解】對(duì)于a，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除a；對(duì)于b，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除b；對(duì)于c，則，當(dāng)時(shí)，與圖象不符，排除c.故選：d.8. 已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（ ）a. 0

5、b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，則，故三式中大于個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：c.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：c.【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問(wèn)題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.9. 已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（ ）a. 直線(xiàn)和圓b. 直線(xiàn)和橢圓c. 直線(xiàn)和雙曲

6、線(xiàn)d. 直線(xiàn)和拋物線(xiàn)【答案】c【解析】【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對(duì)其進(jìn)行整理變形：，所以或，其中為雙曲線(xiàn)，為直線(xiàn).故選：c.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于中等題.10. 已知數(shù)列滿(mǎn)足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】顯然可知，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解【詳解】因?yàn)椋?，由，即根?jù)

7、累加法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即故選：a【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過(guò)局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得二填空題11. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則_.【答案】25【解析】【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方

8、形的邊長(zhǎng)為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.12. 已知，函數(shù)若，則_.【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.13. 已知多項(xiàng)式，則_，_.【答案】 . ; . .【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式定理，分別求出的展開(kāi)式，即可得出結(jié)論.【詳解】， ，所以，所以.故答案為：.14. 在中，m是的中點(diǎn)，則_，_.【答案】 . . 【解析】【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余

9、弦定理得.故答案為：；.15. 袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則_，_.【答案】 . 1 . 【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可求出【詳解】，所以，, 所以, 則由于故答案為：1；16. 已知橢圓，焦點(diǎn)，若過(guò)的直線(xiàn)和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)p，且軸，則該直線(xiàn)的斜率是_，橢圓的離心率是_.【答案】 . . 【解析】【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，

10、所以, 由，所以，于，即，所以故答案為：；17. 已知平面向量滿(mǎn)足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意，設(shè)，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識(shí)轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.三解答題18. 設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題

11、意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，由可得，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值.19. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，m，n分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）要證，可證，由題意可得，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式求出【詳解】（

12、1）在中，由余弦定理可得，所以，由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而與相交，所以平面，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系, 則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線(xiàn)面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線(xiàn)較多，易證平面，從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式即可計(jì)算得出20. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值

13、范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)任意恒成立，分類(lèi)討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，得，得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，得；時(shí)，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對(duì)討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).21. 如圖，已知f是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，m是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)

14、與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)f的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)與ab兩點(diǎn)，斜率為2的直線(xiàn)l與直線(xiàn)，x軸依次交于點(diǎn)p，q，r，n，且，求直線(xiàn)l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的值后可求拋物線(xiàn)的方程.（2）設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)的方程后可得，求出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立各直線(xiàn)方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，故拋物線(xiàn)的方程為：.（2）設(shè)，所以直線(xiàn)，由題設(shè)可得且.由可得，故，因?yàn)?，故，?又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線(xiàn)在軸上的截距的范圍為或或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)

15、中的位置關(guān)系中的最值問(wèn)題，往往需要根據(jù)問(wèn)題的特征合理假設(shè)直線(xiàn)方程的形式，從而便于代數(shù)量的計(jì)算，對(duì)于構(gòu)建出的函數(shù)關(guān)系式，注意利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)的范圍問(wèn)題.22. 設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿(mǎn)足.(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)結(jié)合(2)結(jié)論將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，若，則，所以在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，令，則，記，記，又，所以時(shí)，時(shí)，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單