高考數(shù)學一輪復習總教案：12.6　幾何概型

1、12.6幾何概型典例精析題型一長度問題【例1】如圖，aob60°，oa2，ob5，在線段ob上任取一點c，來源:試求：(1)aoc為鈍角三角形的概率；(2)aoc為銳角三角形的概率.【解析】如圖，由平面幾何知識知：當adob時，od1；當oaae時，oe4，be1.(1)當且僅當點c在線段od或be上時，aoc為鈍角三角形.記“aoc為鈍角三角形”為事件m，則p(m)0.4，即aoc為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當且僅當點c在線段de上時，aoc為銳角三角形.記“aoc為銳角三角”為事件n，則p(n)0.6，即aoc為銳角三角形的概率為0.6.【點撥】我們把每一個事件理解為從某個

2、特定的區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個事件發(fā)生則理解為恰好在上述區(qū)域內(nèi)的某個指定的區(qū)域內(nèi)的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.【變式訓練1】點a為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點b，則劣弧ab的長度小于1的概率為.【解析】如圖來源:來源:可設1，則根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長3，則其概率是.題型二面積問題【例2】 兩個cb對講機(cb即citizenband民用波段的英文縮寫)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午3：00時莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00

3、時正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：00時他們能夠通過對講機交談的概率有多大？【解析】設x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是0x30,0y40.他們所有可能的距離的數(shù)據(jù)構成有序點對(x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對構成的集合即為基本事件組對應的幾何區(qū)域，每一個幾何區(qū)域中的點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置， 他們可以通過對講機交談的事件僅當他們之間的距離不超過25公里時發(fā)生(如下圖)，因此構成該事件的點由滿足不等式25的數(shù)對組成，此不等式等價于x2y2625，右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積

4、為1 200平方公里，而事件的面積為()××(25)2，于是有p0.41.【點撥】解決此類問題，應先根據(jù)題意確定該實驗為幾何概型，然后求出事件a和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出.【變式訓練2】如圖，以正方形abcd的邊長為直徑作半圓，重疊部分為花瓣.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率.【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內(nèi)的機會是均等的，符合幾何概型條件.記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件a，設正方形邊長為2r，則p(a).所以，飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為.題型三體積問題來源:【例3】 在線段0,1上任意投三個點，設o至三點的三線段長為x、y、z，研究方法表

5、明：x，y，z能構成三角形只要點(x，y，z)落在棱長為1的正方體t的內(nèi)部由adc，adb，bdc，aoc，aob，boc所圍成的區(qū)域g中(如圖)，則x，y，z能構成三角形與不能構成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大？【解析】v(t)1，v(g)133×××13，所以p.由此得，能與不能構成三角形兩事件的概率一樣大.【點撥】因為任意投的三點x，y，z是隨機的，所以使得能構成三角形只與能構成三角形的區(qū)域及基本事件的區(qū)域有關.【變式訓練3】已知正方體abcda1b1c1d1內(nèi)有一個內(nèi)切球o，則在正方體abcda1b1c1d1內(nèi)任取點m，點m在球o內(nèi)的概率是()a.b

6、.c.d.【解析】設正方體的棱長為a，則點m在球o內(nèi)的概率p，選c.總結提高1.幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結果不是有限個.其特點是在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀和位置無關，只與該區(qū)域的大小有關.如果隨機事件所在區(qū)域是一個單點，其測度為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件. 如果隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點， 其測度為1，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件.來源:2.若試驗的全部結果是一個包含無限個點的區(qū)域(長度，面積，體積)，一個基本事件是區(qū)域中的一個點.此時用點數(shù)度量事件a包含的基本事件的多少就毫無意義.“等可能性”可以理解成“對任意兩個區(qū)域，當它們的測度(長度，面積，體積，)相等時，事件a對應點落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無關”.3.幾何概型并不限于向平面(或直線、