高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：選修4－5　不等式選講 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育選修45不等式選講1不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式(1)能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，解決最大(小)值的問(wèn)題；了解基本不等式的推廣形式(n個(gè)正數(shù)的形式)(2)理解絕對(duì)值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對(duì)值三角不等式證明一些簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式(3)掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法2不等式的證明(1)了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能利用它們證明一些簡(jiǎn)單不等式(2)能夠利用三維的柯西不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，解決最大(小)值問(wèn)題(3)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范

2、圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一絕對(duì)值不等式1絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立；(2)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2絕對(duì)值不等式的解集(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a或x<axr|x0r(2)|axb|c、|axb|c(c>0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|x

3、a|xb|c、|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解利用零點(diǎn)分段法求解構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解易誤提醒1對(duì)形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集時(shí)，易忽視a的符號(hào)直接等價(jià)轉(zhuǎn)化造成失誤2絕對(duì)值不等式|a|b|a±b|a|b|中易忽視等號(hào)成立條件如|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)成立，其他類似推導(dǎo)自測(cè)練習(xí)1設(shè)a，b為滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么()a|ab|>|ab|b|ab|<|ab|c|ab|<|a|b| d|ab|<|a|b|解析：ab<0，|ab|a|b|>|ab|.答

4、案：b2若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,43不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|當(dāng)1<x<2時(shí)，由2x11，解得1x<2.又當(dāng)x2時(shí)，f(x)3>1.所以解集為x|x1答案：1，)知識(shí)點(diǎn)二不等式的證明1基本不等式定理1：如果a，br，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b>0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均定理3：如果a

5、，b，c全為正實(shí)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立2比較法(1)比差法的依據(jù)是：ab>0a>b.步驟是：“作差變形判斷差的符號(hào)”變形是手段，變形的目的是判斷差的符號(hào)(2)比商法：若b>0，欲證ab，只需證1.3綜合法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立4柯西不等式設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等號(hào)當(dāng)且僅

6、當(dāng)adbc時(shí)成立易誤提醒(1)在使用作商比較法時(shí)易忽視說(shuō)明分母的符號(hào)(2)在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，易忽視性質(zhì)成立的前提條件自測(cè)練習(xí)4設(shè)ta2b，sab21，則s與t的大小關(guān)系是()astbs>tcst ds<t解析：stb22b1(b1)20，st.答案：a5已知x，y均為正數(shù)，且xy1，則的最大值為_(kāi)解析：由柯西不等式得··.答案：考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法|1(2015·高考山東卷)不等式|x1|x5|<2的解集是()a(，4)b(，1)c(1,4) d(1,5)解析：當(dāng)x<1時(shí)，不等式

7、可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然成立，所以此時(shí)不等式的解集為(，1)；當(dāng)1x5時(shí)，不等式可化為x1(x5)<2，即2x6<2，解得x<4，又1x5，所以此時(shí)不等式的解集為1,4)；當(dāng)x>5時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然不成立，所以此時(shí)不等式無(wú)解綜上，不等式的解集為(，4)故選a.答案：a2(2015·南寧二模)已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若f(x)m的解集為x|1x5，求實(shí)數(shù)a，m的值；(2)當(dāng)a2且0t2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)tf(x2)解：(1)|xa|m，maxma.ma1，ma5，a2，

8、m3.(2)f(x)tf(x2)可化為|x2|t|x|.當(dāng)x(，0)時(shí)，2xtx,2t0，0t2，x(，0)；當(dāng)x0,2)時(shí)，2xtx，x1，0x1，112，0x1；當(dāng)x2，)時(shí)，x2tx，t2，當(dāng)0t<2時(shí)，無(wú)解，當(dāng)t2時(shí)，x2，)當(dāng)0t<2時(shí)原不等式的解集為；當(dāng)t2時(shí)x2，)求解該類問(wèn)題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，常運(yùn)用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，此外還常利用絕對(duì)值的幾何意義求解考點(diǎn)二不等式的證明|不等式的證明是考查熱點(diǎn)、歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：1比較法證明不等式2綜合法證明不等式3分析法證明不等式4放縮法證明絕對(duì)值不等式探究一比較法證明不等式1(2016·莆田模擬)設(shè)a，b是非

9、負(fù)實(shí)數(shù)求證：a2b2(ab)證明：因?yàn)?a2b2)(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab)因?yàn)閍0，b0，所以不論ab0，還是0ab，都有ab與ab同號(hào)，所以(ab)(ab)0，所以a2b2(ab)探究二綜合法證明不等式2(2015·長(zhǎng)春三模)(1)已知a，b都是正數(shù)，且ab，求證：a3b3>a2bab2；(2)已知a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明：(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以ab>0.又因?yàn)閍b，所以(ab)2>0.于是(ab)(ab)2>0，即(a3b3)(a2bab2)&

10、gt;0，所以a3b3>a2bab2.(2)因?yàn)閎2c22bc，a2>0，所以a2(b2c2)2a2bc.同理b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，從而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正數(shù)，得abc>0，因此abc.探究三分析法證明不等式3已知a>b>c，且abc0，求證：<a.證明：要證<a，只需證b2ac<3a2.abc0，只需證b2a(ab)<3a2.只需證2a2abb2>0，只需證(ab)(2ab)>0，只需證(

11、ab)(ac)>0.a>b>c，ab>0，ac>0.(ab)(ac)>0顯然成立，故原不等式成立探究四放縮法證明絕對(duì)值不等式4已知x，yr，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3×2×1.即|x5y|1.證明不等式的常用方法有比較法、綜合法、分析法如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法；如果待證不

12、等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明考點(diǎn)三絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用|(2015·鄭州二檢)已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)<4|x1|；(2)已知mn1(m，n>0)，若|xa|f(x)(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)不等式f(x)<4|x1|，即|3x2|x1|<4.當(dāng)x<時(shí)，即3x2x1<4，解得<x<；當(dāng)x1時(shí)，即3x2x1<4，解得x<；當(dāng)x>1時(shí)，即3x2x1<4，無(wú)解綜上所述，x.(2)(mn)

13、114，令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時(shí)，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0<a.(1)研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，這是常用的思想方法(2)f(x)<a恒成立f(x)max<a.f(x)>a恒成立f(x)min>a. 設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求證：f(x)1；(2)若f(x)成立，求x的取值范圍解：(1)證明：f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|1.(2)2，要使f(x)成立，需且只需|x1|x2|2，即或或解得x

14、或x，故x的取值范圍是.34.絕對(duì)值不等式中最值思想的應(yīng)用【典例】(1)求函數(shù)f(x)|x1|x1|的最小值(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x1|x2|>a恒成立，求a的取值范圍思考點(diǎn)撥利用絕對(duì)值不等式直接求最值解(1)|x1|x1|1x|x1|1xx1|2，當(dāng)且僅當(dāng)(1x)(x1)0，即1x1時(shí)取等號(hào)故當(dāng)1x1時(shí)，函數(shù)f(x)|x1|x1|取得最小值2.(2)因?yàn)閍<|x1|x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立所以a<(|x1|x2|)min.因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，所以3|x1|x2|3.所以(|x1|x2|)min3.所以a<3，即a的取值范圍為(，3)方法點(diǎn)評(píng)(

15、1)要注意對(duì)原絕對(duì)值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之適合用絕對(duì)值三角不等式求最值；(2)求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件跟蹤練習(xí)(2015·遼寧協(xié)作體一模)已知函數(shù)f(x)|2x1|x|2.(1)解不等式f(x)0；(2)若存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)|x|a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)0等價(jià)于或或解不等式組得x3，不等式組無(wú)解，解不等式組得x1，所求的不等式解集為(，31，)(2)f(x)|x|a，即為|2x1|2|x|2a|x|1.由絕對(duì)值的幾何意義，知|x|的最小值為，故要滿足題意，只需1a3.a組考點(diǎn)能力演練1已知|2x3|1的解集為m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|<

16、;m，求證：|x|<|a|1.解：(1)由不等式|2x3|1可化為12x31得1x2，m1，n2，mn3.(2)證明：若|xa|<1，則|x|xaa|xa|a|<|a|1.即x<|a|1.2(2016·唐山一模)已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)<3；(2)若f(x)的最小值為1，求a的值解：(1)因?yàn)閒(x)|2x1|x1|且f(1)f(1)3，所以f(x)<3的解集為x|1<x<1(2)|2xa|x1|x1|0，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)0且x0時(shí)，取等號(hào)所以1，解得a4或0.3已知a，b，c>0且互不相

17、等，abc1.試證明：<.證明：因?yàn)閍，b，c>0，且互不相等，abc1，所以<，即<.4已知函數(shù)f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cr，且m，求za2b3c的最小值解：(1)f(x2)m|x|，f(x2)0等價(jià)于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，m1.(2)由(1)知1，又a，b，cr，由柯西不等式得za2b3c(a2b3c)29，za2b3c的最小值為9.5(2016·大慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式：f(x)>0；(2)若f

18、(x)3|x4|a1|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，求a的取值范圍解：(1)原不等式即為|2x1|x4|>0，當(dāng)x4時(shí)，不等式化為12xx4>0，解得x<5，即不等式組的解集是x|x4當(dāng)4<x<時(shí)，不等式化為12xx4>0，解得x<1，即不等式組的解集是x|4<x<1當(dāng)x時(shí)，不等式化為2x1x4>0，解得x>5，即不等式組的解集是x|x>5綜上，原不等式的解集為x|x<1，或x>5(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由題意可知|a1|9，解得8a10，故所求a的取值范圍是a|8a10b組高考題型專練1(2015·高考重慶卷改編)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，求實(shí)數(shù)a的值解：當(dāng)a1時(shí)，f(x)3|x1|0，不滿足題意；當(dāng)a<1時(shí)，f(x)，f(x)minf(a)3a12a5，解得a6；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)f(x)minf(a)a12a5，解得a4.2(2015·高考湖南卷)設(shè)a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立證明：由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有a