高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：9.2 排列與組合 Word版含答案_20210103224747

1、淘寶店鋪：漫兮教育第二節(jié)排列與組合排列與組合(1)理解排列、組合的概念(2)能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式(3)能解決簡單的實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)一排列與排列數(shù)1排列從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個(gè)不同元素中任意取出m個(gè)元素的一個(gè)排列2排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作a.3排列數(shù)公式及性質(zhì)(1)排列數(shù)公式an(n1)(n2)(nm1)(m，nn*且mn)(2)性質(zhì)an??；0！1.易誤提醒(1)計(jì)算a時(shí)易錯(cuò)算為n(n1)(n2)(nm)(2)易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個(gè)具體的

2、排法，不是數(shù)是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)自測練習(xí)1a、b、c、d、e五人并排站成一排，如果b必須站在a的右邊(a、b可以不相鄰)，那么不同的排法共有()a24種b60種c90種 d120種解析：可先排c、d、e三人，共a種排法，剩余a，b兩人只有一種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理滿足條件的排法共a60(種)答案：b2方程3a2a6a的解為_解析：由排列數(shù)公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3且xn*，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，解得x5或(舍去)，x5.答案：5知識(shí)點(diǎn)二組合與組合數(shù)1組合從n個(gè)不同元素中任取m(mn)個(gè)元素為一

3、組，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作c.3組合數(shù)公式及性質(zhì)(1)組合數(shù)公式c.(2)性質(zhì)c1.c.ccc.易誤提醒易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)必備方法排列問題與組合問題的識(shí)別方法：識(shí)別方法排列若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)組合若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關(guān)自測練習(xí)3若a6c，則n的值為_解析：因?yàn)閍6c，

4、所以6×，所以n34，所以n7.答案：74現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_解析：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法cc264種第二類，不含有紅色卡片，不同的取法c3c22012208種由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的取法共有264208472種答案：472考點(diǎn)一排列問題|1室內(nèi)體育課上王老師為了豐富課堂內(nèi)容，調(diào)動(dòng)同學(xué)們的積極性，他把第四排的8名同學(xué)請出座位并且編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8.通過觀察這8名同學(xué)的身體特征，王老師決定，按照1,2號(hào)相鄰，3,4號(hào)相鄰，5,6號(hào)

5、相鄰，而7號(hào)與8號(hào)不相鄰的要求站成一排做一種游戲，則有_種排法(用數(shù)字作答)解析：把編號(hào)相鄰的3組同學(xué)每兩名同學(xué)捆成一捆，這3捆之間有a6(種)排序方法，并且形成4個(gè)空當(dāng)，再將7號(hào)與8號(hào)插進(jìn)空當(dāng)中，有a12(種)插法，而捆好的3捆中每相鄰的兩名同學(xué)都有a2(種)排法所以不同的排法種數(shù)為23×6×12576.答案：57626名同學(xué)排成1排照相，要求同學(xué)甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有_種不同站法解析：法一：(位置分析法)先從其他5人中安排2人站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除甲外的5人中選2人站在最左邊和最右邊，有a種站法；第2步，余下4人(

6、含甲)站在剩下的4個(gè)位置上，有a種站法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有aa480(種)不同的站法法二：(元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左邊又不站在最右邊)，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將甲排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有a種站法；第2步，余下5人站在剩下的5個(gè)位置上，有a種站法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有aa480(種)不同的站法法三：(間接法)6人無限制條件排隊(duì)有a種站法，甲站在最左邊或最右邊時(shí)6人排隊(duì)有2a種站法，因此符合條件的不同站法共有a2a480(種)答案：4803(2016·甘肅模擬)用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為_解析

7、：首先應(yīng)考慮“0”，當(dāng)0排在個(gè)位時(shí)，有a9×872(個(gè))，當(dāng)0不排在個(gè)位時(shí)，有aa4×832(個(gè))當(dāng)不含0時(shí)，有a·a4×7×8224(個(gè))，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有7232224328(個(gè))答案：328求解排列問題的常用方法(1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算(2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置(3)捆綁法：相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列(4)插空法：不相鄰問題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在

8、前面元素排列的空當(dāng)中(5)分排問題直排處理的方法(6)“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法(7)定序問題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列考點(diǎn)二組合問題|(1)某學(xué)校為了迎接市春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，從5名男生和4名女生組成的田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為()a85b86c91 d90(2)在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為_(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)解析(1)法一：(直接法)由題意，可分三類考慮：第1類，男生甲入選，女生乙不入選，則方法種數(shù)為ccc

9、cc31；第2類，男生甲不入選，女生乙入選，則方法種數(shù)為ccccc34；第3類，男生甲入選，女生乙入選，則方法種數(shù)為cccc21.所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為31342186.法二：(間接法)從5名男生和4名女生中任意選出4人，男、女生都有的選法有ccc120(種)；男、女生都有，且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有cc34(種)所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為1203486.(2)所取的2瓶都是不過保質(zhì)期的飲料的概率為，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為1.答案(1)b(2)組合問題的常見題型(1)“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)

10、足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取(2)“至少”“最多”的問題：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理1現(xiàn)有10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班至少一個(gè)，共有_種不同的分配方法？解析：從結(jié)果入手，理解相同元素的分堆問題，設(shè)計(jì)“隔板法分堆”，將一種分配方法和一個(gè)組合建立一一對應(yīng)關(guān)系，實(shí)際問題化歸為組合數(shù)求解該事件的實(shí)質(zhì)為將10個(gè)相同的元素分成6堆，每一堆至少一個(gè)元素，利用“隔板法分堆”，即在10個(gè)相同元素構(gòu)成的9個(gè)空中插入5個(gè)隔板，其不同的分配方案有c126(種)答

11、案：126考點(diǎn)三分組分配問題|按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本解(1)無序不均勻分組問題先選1本，有c種選法；再從余下的5本中選2本，有c種選法；最后余下3本全選，有c種選法故共有ccc60(種)(2)有序不均勻分組問題由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)題的基

12、礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有ccca360(種)(3)無序均勻分組問題先分三步，則應(yīng)是ccc種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)不妨記六本書為a，b，c，d，e，f，若第一步取了ab，第二步取了cd，第三步取了ef，記該種分法為(ab，cd，ef)，則ccc種分法中還有(ab，ef，cd)，(cd，ab，ef)，(cd，ef，ab)，(ef，cd，ab)，(ef，ab，cd)，共有a種情況，而這a種情況僅是ab，cd，ef的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有15(種)(4)有序均勻分組問題在(3)的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，共有分配方式·accc90(種)(5)無序部分均勻分組問題共有15

13、(種)(6)有序部分均勻分組問題在(5)的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，共有分配方式·a90(種)(7)直接分配問題，甲選1本有c種方法，乙從余下5本中選1本有c種方法，余下4本留給兩種c種方法，共有c·cc30(種)解決分組分配問題的策略(1)對于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以a(n為均分的組數(shù))、避免重復(fù)計(jì)數(shù)(2)對于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組

14、中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)2(2016·內(nèi)江模擬)某科室派出4名調(diào)研員到3個(gè)學(xué)校，調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況，要求每個(gè)學(xué)校至少一名，則不同的分配方案種數(shù)為()a144b72c36 d48解析：分兩步完成：第一步將4名調(diào)研員按2,1,1分成三組，其分法有；第二步將分好的三組分配到3個(gè)學(xué)校，其分法有a種，所以滿足條件的分配方案有·a36種答案：c29.模型法巧解排列組合問題【典例】把20個(gè)相同的球全部裝入編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，則共有_種不同的放法思路點(diǎn)撥本題可先向1,2,3號(hào)三個(gè)盒子中分別裝入0,1,2個(gè)球，再將剩

15、下的17個(gè)球隨意分成三份裝入盒子中即可解析題目有限制條件，不能直接運(yùn)用隔板法，但可轉(zhuǎn)化為隔板問題，向1,2,3號(hào)三個(gè)盒子中分別裝入0,1,2個(gè)球后，還剩余17個(gè)球，然后再把這17個(gè)球分成3份，每份至少一球，運(yùn)用隔板法，共有c120(種)不同的放法答案120方法點(diǎn)評排列與組合的根本區(qū)別在于是“有序”還是“無序”，對于將若干個(gè)相同小球放入幾個(gè)不同的盒子中這類問題可利用“隔板法”求解，實(shí)質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問題根據(jù)問題的特點(diǎn)，把握問題的本質(zhì)，通過聯(lián)想、類比構(gòu)建模型是求解排列、組合問題的關(guān)鍵跟蹤練習(xí)(2015·浙江金華質(zhì)檢)4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)盒中，則恰有1個(gè)空盒的放

16、法共有_種(用數(shù)字作答)解析：把4個(gè)球分成3組，每組至少1個(gè)，即分成小球個(gè)數(shù)分別為2,1,1的3組，有種最后將3組球放入4個(gè)盒中的3個(gè)，分配方法有a種，因此，放法共有×a144種答案：144a組考點(diǎn)能力演練1(2016·大連模擬)某校開設(shè)a類選修課2門，b類選修課3門，一位同學(xué)從中選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()a3種b6種c9種 d18種解析：由題知有2門a類選修課，3門b類選修課，從里邊選出3門的選法有c10種兩類課程都有的對立事件是選了3門b類選修課，這種情況只有1種滿足題意的選法有1019種所以選c.答案：c2某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)

17、去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案種數(shù)是()a150 b300c600 d900解析：若甲去，則乙不去，丙去，再從剩余的5名教師中選2名，有c×a240種方法；若甲不去，則丙不去，乙可去可不去，從6名教師中選4名，共有c×a360種方法因此共有600種不同的選派方案答案：c3如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個(gè)水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個(gè)數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個(gè)”或“持平”或“少一個(gè)”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有()a50種 b51種c140種 d1

18、41種解析：因?yàn)榈谝惶旌偷谄咛斐缘乃麛?shù)相同，所以中間“多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)必須相同，都是0,1,2,3，共4種情況，所以共有ccccccc141種，故選d.答案：d4某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()a360 b520c600 d720解析：依題意進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，甲、乙兩名同學(xué)中恰有一人參加，滿足題意的不同發(fā)言順序有c·c·a480種，第二類，甲、乙兩名同學(xué)均參加，滿足題意的不同發(fā)言順序有c·c·a·a120種

19、因此，滿足題意的不同發(fā)言順序有480120600種，故選c.答案：c5(2016·昆明調(diào)研)航空母艦“遼寧艦”將進(jìn)行一次編隊(duì)配置科學(xué)試驗(yàn)，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為()a72 b324c648 d1 296解析：核潛艇排列數(shù)為a，6艘艦艇任意排列的排列數(shù)為a，同側(cè)均是同種艦艇的排列數(shù)為aa×2，則艦艇分配方案的方法數(shù)為a(aaa×2)1 296.答案：d65名同學(xué)站成一排，其中甲同學(xué)不站排頭，則不同的排法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析：依題意，滿足題意的不同的排法種數(shù)是c

20、83;a96.答案：9674位同學(xué)參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：選甲題答對得100分，答錯(cuò)得100分，選乙題答對得90分，答錯(cuò)得90分，若4位同學(xué)的總分為0分，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是_解析：由于4位同學(xué)的總分為0分，故4位同學(xué)選甲、乙題的人數(shù)有且只有三種情況：甲：4人，乙：0人；甲：2人，乙：2人；甲：0人，乙：4人對于，須2人答對，2人答錯(cuò)，共有c6種情況；對于，有ccc24種情況；對于，與相同，有6種情況，故共有624636種不同的情況答案：368(2016·濟(jì)南模擬)航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進(jìn)行標(biāo)號(hào)為0,1,2,3,4,5的六項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，向全世界人民普及太空知識(shí)，其中

21、0號(hào)實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，最后一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)小于它前面相鄰一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法種數(shù)為_(用數(shù)字作答)解析：本題考查排列組合，難度中等優(yōu)先安排第一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，再利用定序問題相除法求解由于0號(hào)實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，所以第一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)有5種選擇最后兩項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的順序確定，所以共有300種不同的編排方法答案：3009將7個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中(1)不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？(2)可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？解：(1)將7個(gè)相同的小球排成一排，在中間形成的6個(gè)空當(dāng)中插入無區(qū)別的3個(gè)“隔板”將球分成4份，一種插入隔板的方式對應(yīng)一種球的放入方式，則共有c20種不同的放入方式(2)每種放入方式

22、對應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從10個(gè)位置中選3個(gè)位置安排隔板，故共有c120種放入方式10從1到9的9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)4個(gè)奇數(shù)，試問：(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？解：(1)分三步完成：第一步，在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有c種情況；第二步，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有c種情況；第三步，3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，有a種情況所以符合題意的七位數(shù)有cca100 800個(gè)(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有ccaa14 400個(gè)(3)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有ccaaa5 760個(gè)b組高考題型專練1(2014·高考四川卷)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()a192種 b216種c240種 d288種解析：