高等數(shù)學(xué)期末考試試題及答案(大一考試)

1、（2010 至 2011 學(xué)年第一學(xué)期）課程名稱：高等數(shù)學(xué) (上)(a 卷)考試 (考查 )： 考試2008 年 1 月10 日共6 頁(yè)注意事項(xiàng)：1、 滿分 100分。要求卷面整潔、字跡工整、無(wú)錯(cuò)別字。2、 考生必須將姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)完整、準(zhǔn)確、清楚地填寫(xiě)在試卷規(guī)定的地方，否則視為廢卷。3、 考生必須在簽到單上簽到，若出現(xiàn)遺漏，后果自負(fù)。4、 如有答題紙，答案請(qǐng)全部寫(xiě)在答題紙上，否則不給分；考完請(qǐng)將試卷和答題卷分別一同交回，否則不給分。試題一、單選題（請(qǐng)將正確的答案填在對(duì)應(yīng)括號(hào)內(nèi)，每題3分，共 15 分）1. 1) 1sin(lim21xxx( ) (a) 1；(b) 0；(c) 2；(d)

2、212.若)(xf的一個(gè)原函數(shù)為)(xf，則dxefexx)(為( ) (a) cefx)(；(b) cefx)(；(c) cefx)(；(d )cxefx)(3.下列廣義積分中( )是收斂的 . (a)xdxsin；(b)dxx111；(c) dxxx21；(d)0dxex。4. )(xf為定義在ba,上的函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) 題號(hào)一二三四五六七八九十十一總分評(píng)閱 (統(tǒng)分 ) 教師得分得分評(píng)閱教師系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題(a) )(xf可導(dǎo)，則)(xf一定連續(xù)；(b) )(xf可微，則)(xf不一定可導(dǎo)；(c) )(xf可積（常義） ，則)(xf一定有界；(d) 函

3、數(shù))(xf連續(xù)，則xadttf)(在ba,上一定可導(dǎo)。5. 設(shè)函數(shù))(xfnnxx211lim，則下列結(jié)論正確的為( ) (a) 不存在間斷點(diǎn)；(b) 存在間斷點(diǎn)1x；(c) 存在間斷點(diǎn)0 x；(d) 存在間斷點(diǎn)1x二、填空題（請(qǐng)將正確的結(jié)果填在橫線上.每題 3 分，共 18 分）1. 極限xxx11lim20_. 2. 曲線321tytx在2t處的切線方程為_(kāi). 3. 已 知 方 程xxeyyy265的 一 個(gè) 特 解 為xexx22)2(21， 則 該 方 程 的 通 解為 . 4. 設(shè))(xf在2x處連續(xù)，且22)(lim2xxfx，則_)2(f5由實(shí)驗(yàn)知道，彈簧在拉伸過(guò)程中需要的力f（

4、牛頓）與伸長(zhǎng)量s成正比，即ksf（k為比例系數(shù)） ，當(dāng)把彈簧由原長(zhǎng)拉伸6cm時(shí)，所作的功為_(kāi)焦耳。6曲線2332xy上相應(yīng)于x從 3 到 8的一段弧長(zhǎng)為 . 三、設(shè)0 x時(shí)，)(22cbxaxex是比2x高階的無(wú)窮小，求常數(shù)cba,的值（ 6 分）得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師四、 已知函數(shù))23cos(arcsinxexyx,求dy.（6 分）五、 設(shè)函數(shù))(xfy由方程eexyy確定 ,求022xdxyd.（8 分）六、若有界可積函數(shù))(xf滿足關(guān)系式33)3()(30 xdttfxfx，求)(xf.(8分) 得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題七、 求下

5、列各不定積分（每題6 分，共 12 分）（1）d)sin1(3. （2）xdxxarctan. 八、設(shè)1,211, 1)(2xxxxxf求定積分20)(dxxf.（6 分）得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師九、討論函數(shù)313)(xxxf的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)坐標(biāo).（10 分）十、求方程4yxydxdy的通解（ 6 分）得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題十一、求證：).2, 0(,2sinxxx.（5 分）得分評(píng)閱教師第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)（上） （a）卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每題3 分，共 15 分）1c 二、填空（每題3分，共 18 分）10 ， 2.73xy

6、，3.2, 1223221()2(21ccexxececyxxx為任意常數(shù)） ，4. 2 ，5.k18.06.328。三、解：10)(202limccbxaxexx .2 分0)2(lim.0)(lim220220 xbaexcbxaxexxxx .4 分01.ba.6 分四、解：)23sin(2)23cos(112xexexyxx 4分dxxexexdyxx)23sin(2)23cos(112 .6 分五、解：0dxdyedxdyxyyyexydxdy3 分edxdyyxx11,00222)()1 ()(yyyexydxdyedxdyexdxyd .6 分222,0edxydx時(shí).8 分六、

7、兩邊求導(dǎo)3)(3)(xfxf .3 分ccexfx(1)(3為任意常數(shù)） 6 分3)0(, 0fx12)(3xexf .8 分七、解：（1）d)sin1(3.cos)cos1(2dd .3 分c3cos31cos.6 分（2）xdxx arctandxxxxx222121arctan21 3分cxxxxarctan2121arctan212.6 分八、解：20)(dxxfdxxdxx2102121) 1( .2 分=38 6分九、解, 10)(32)(1)(3532xxfxxfxxf得由0)(xxf不存在（3 分）x1,-1 （-1，0）0 （ 0，1）1 ), 1 ()(xf+ 0 不存在0

8、 + )(xf不存在+ + + 2)1 (2)1(0)0(fff .7 分.1 ,1, 11,)(上單減在上單增與在xf1x時(shí)有極大值2，, 1x有極小值2。 在0,上是凸的，在,0上是凹的，拐點(diǎn)為（0，0） 10分十、解；、的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程cyxxydydxyxydydx11.13.3 分設(shè)方程（ 1）的解為yyux?)(代入（ 1）得1331)(cyyu 5 分ycyx1431.6 分十一、證明：令2,0,2sin)(xxxxf 1 分xxfxxfsin)(,2cos)(又0)(),2,0(xfx.3 分)(xf的圖形是凸的，由函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)知道最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到。0)2()0

9、(ff，所以0)(),2, 0(xfx .5 分。（2010 至 2011學(xué)年第一學(xué)期）題號(hào)一二三四五六七八九總分得分一、 單項(xiàng)選擇題（ 15 分，每小題3 分）1、當(dāng) x時(shí)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是（）（a）xcosxx（b）xsinx（c）121x（d）xx)11 (2函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的（）（a）必要條件（b）充分條件（c）充要條件（d）既非充分也非必要條件3設(shè))(xf在),(ba內(nèi)單增，則)(xf在),(ba內(nèi)（）（a）無(wú)駐點(diǎn)（b）無(wú)拐點(diǎn)（c）無(wú)極值點(diǎn)（d）0)(xf4設(shè))(xf在ba，內(nèi)連續(xù)，且0)()(bfaf，則至少存在一點(diǎn)），（ba使（）成立。（a）0）

10、（f（b）0）（f（c）0）（f（d）（）（）（）（abfafbf5廣義積分)0(adxaxp當(dāng)（）時(shí)收斂。（a）1p(b)1p(c)1p(d)1p二、填空題（ 15 分，每小題3 分）1、 若當(dāng)0 x時(shí)，2211xax，則 a；2、設(shè)由方程22axy所確定的隱函數(shù))(xyy，則dy；3、函數(shù))0(82xxxy在區(qū)間單減；在區(qū)間單增；4、若xxexf)(在2x處取得極值，則；5、若dxxfdxxxfa10102)()(，則 a；三、計(jì)算下列極限。 （12 分，每小題6 分）1、xxxx)1(lim2、200)1(limxdtextx四、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（12 分，每小題6 分）1、241xy，

11、求y2、ttytxarctan)1ln(2，求22dxyd五、計(jì)算下列積分（18 分，每小題6 分）1、dxxxx21arctan12、dxxx223coscos3、設(shè)dtttxfx21sin)(，計(jì)算dxxxf10)(六、討論函數(shù)2,22,cos2)(xxxxxxf的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。（7 分）七、證明不等式：當(dāng)0 x時(shí)，2)1ln(2xxx（7 分）八、求由曲線)1(2,4,22xxyxyxy所圍圖形的面積。（7 分）九、設(shè))(xf在 1 ,0上連續(xù)，在)1 ,0(內(nèi)可導(dǎo)且0)0()1 (ff. 證明：至少存在一點(diǎn))1 , 0(使參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（2010至 2011學(xué)年第

12、一學(xué)期）課程名稱： 高等數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（15 分，每小題3 分）二、填空題（15 分，每小題3分）1. a=2 2.dxxy2dy3. (0, 2)單減，（，）單增。4.215. a=2 三、計(jì)算下列極限。 （12 分，每小題6分1.解。原式 =1111lim1limexxxxxxx（ 6分）1.解。原式 =212lim21lim00 xxxexxx（6 分）四、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（12 分，每小題6 分）1 解。分分64424214y32232212xxxxx2.解。分分6411212d3212111dy22222ttdtdxdxdttdtddxyttttdx五、計(jì)算下列積分（18 分，每

13、小題6 分）1 解。 原式 =分分6arctan211ln21arctan31arctan1dxx1122222cxxxdxxxdxxx2.解。原式 =分分634cos343coscos2cos1cosx2202320202xxdxdxx分分分顯然有：解611cos21cos21sin21sin22142121212sin22sin,01.31022102210210210221010222xdxxdxxxxxdfxxfxdxxfdxxxfxxxxxxff六、討論函數(shù)2,22,cos2)(xxxxxxf的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。（7 分）分又：解：3121cos2lim0212lim0

14、20202fxxfxfxx所以當(dāng)2x時(shí)，函數(shù)連續(xù)。當(dāng)zkkkx22時(shí)，0cosx，所以zkkkx22是函數(shù)的間斷點(diǎn)。5分且xxxfkxkxcos2limlim22， 所以zkkkx22是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。7 分七、證明不等式：當(dāng)0 x時(shí)，2)1ln(2xxx（7分）001111221ln22fxxxxxfxxxxf且分證明：設(shè)x當(dāng)0 時(shí)xf0，所以xf單增。 5 分x當(dāng)0 時(shí)xf00f，即：2)1ln(2xxx證畢。7 分八、求由曲線)1(2,4,22xxyxyxy所圍圖形的面積。（ 7分）解：如圖所示： （略）分分分所求面積72ln221612ln234222823221282221xxxx

15、dxxxdxxxa九、設(shè))(xf在 1 ,0上連續(xù)，在) 1, 0(內(nèi)可導(dǎo)且0)0() 1(ff. 證明：至少存在一點(diǎn)) 1 ,0(使)()(ff（7 分）證明：設(shè)xexfxf，顯然xf在在 1 ,0上連續(xù)，在)1 ,0(內(nèi)可導(dǎo)（ 3 分）并且010ff,由羅爾定理：至少存在一點(diǎn)1 ,0使0f而xfxfexfx，0 xe（ 6分）0f即：)()(ff證畢。（2009 至 2010 學(xué)年第一學(xué)期）課程名稱：高等數(shù)學(xué) (上)(a 卷)考試 (考查 )： 考試200 年月日共6 頁(yè)注意事項(xiàng)：5、 滿分 100分。要求卷面整潔、字跡工整、無(wú)錯(cuò)別字。6、 考生必須將姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)完整、準(zhǔn)確、清楚地填寫(xiě)

16、在試卷規(guī)定的地方，否則視為廢卷。7、 考生必須在簽到單上簽到，若出現(xiàn)遺漏，后果自負(fù)。8、 如有答題紙，答案請(qǐng)全部寫(xiě)在答題紙上，否則不給分；考完請(qǐng)將試卷和答題卷分別一同交回，否則不給分。試題一、單選題（請(qǐng)將正確的答案填在對(duì)應(yīng)括號(hào)內(nèi)，每題3分，共 18 分）1. xxx101lim( ) (a) e；(b) 1e；(c) 1；(d) 2. 0 x是函數(shù))(xf0101sinxexxxx的( ) (a) 連續(xù)點(diǎn)； (b)可去間斷點(diǎn)； (c)跳躍間斷點(diǎn)； (d ) 無(wú)窮間斷點(diǎn)3. 設(shè))(xf、)(xg在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)0 x時(shí))(xf是較)(xg高階的無(wú)窮小，則當(dāng)0 x時(shí)xtdttf0sin

17、)(是較xdtttg0)( )無(wú)窮小 . (a) 低階；(b) 高階；(c) 同階非等價(jià)；(d)等價(jià)。4. 下列求導(dǎo)正確的是( ) (a) xxxcos2sin2；(b) )()(00 xfxf；題號(hào)一二三四五六七八九十十一總分評(píng)閱 (統(tǒng)分 ) 教師得分得分評(píng)閱教師系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題(c) xxeecoscos；(d) xx15ln5. 極限nnn) 1(1321211lim( ) (a) 1；(b) 21；(c) 0；(d) 6. 兩直線1l：182511zyx與2l：23116zyx的夾角為 ( ) (a) 6；(b) 4；(c) 3；(d) 2二、填空題（請(qǐng)將正確的

18、結(jié)果填在橫線上.每題 4 分，共 16 分）1. 設(shè)51lim21xbaxxx則a_, b_. 2. 設(shè)122dxeix則i的取值范圍是_i_. 3. 已知向量kjima2,kjmib32，且ab則m . 4. 將xoz坐標(biāo)面上的拋物線xz52繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)面的方程為 . 三、求極限xxxsin11lim0（6分）得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師四、 已知21lnarctanxxxy,求dy.（6 分）五、 設(shè)函數(shù))(xfy由方程1yxey確定 ,求022xdxyd.（ 6分）六、已知函數(shù))(xfy由參數(shù)方程tytx22sincos確定，求dxdy.(6 分) 得分評(píng)閱教師得分

19、評(píng)閱教師系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題七、 求下列各不定積分（每題8 分，共 16 分）（1）dxex11. （2）dxxsin. 八、求定積分dxxx201.（6 分）得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師九、求函數(shù)123xxxy的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)坐標(biāo).（8 分）十、求位于曲線xey的下方 ,該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積 .（6 分）得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題十一、設(shè))(xf在10，上連續(xù)，在)10(，內(nèi)可導(dǎo)，且)0()(3132fdxxf，求證：存在)10(，使得0)(f.（6 分）得分評(píng)閱教師高等數(shù)學(xué)（上） a 卷參

20、考答案一單選題題號(hào)1 2 3 4 5 6 答案b c b d a c 二填空題1、a=-7；b=6 2、433ei3、m=2 4、0522xzy三解：0sincos2sinlimsinsinlim)sin11(lim000 xxxxxxxxxxxxx四解：xdxdxxxxxxdxydyarctan)11(arctan22五方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)：0yyeyxey兩邊再求一次導(dǎo)：02yeyxeyxeyeyyyyy20220021edxydeyyxxx六解：22sin22sinsin2cossin2tttttttdtdxdtdydxdy七 （1）解：cexdxeeedxexxxxx)1ln(1111（

21、2）解：令tdtdxttx2),0(2cxxxcttttdttdxx)cos(sin2sin2cos2sin2sin八解：1021201)1()1 (1dxxxdxxxdxxx九解：函數(shù)y 的單調(diào)增區(qū)間為, 131,，單調(diào)減區(qū)間為1 ,31，曲線的凹區(qū)間為,31，曲線的凸區(qū)間為31,0,27321min31maxxxyy，拐點(diǎn)坐標(biāo)為2716,31十解：所求面積0102)(edxexedxesxx十一。證明：)(xf在0，1上連續(xù)存在1 ,320 x使得1320)(31)(xfdxxf又132132)0(31)()()(3fdxxfofdxxf)0()(0fxf又)(xf在（ 0，1）內(nèi)可導(dǎo)，所

22、以)(xf在0,0 x內(nèi)可導(dǎo)由羅爾定理得：存在1 ,0,00 x使得（2009 至 2010 學(xué)年第1 學(xué)期）課程名稱：高等數(shù)學(xué)（上）a 卷考試注意事項(xiàng)：9、 滿分 100 分。要求卷面整潔、字跡工整、無(wú)錯(cuò)別字。題號(hào)一1-6 二7-10 三11-14 四15-18 五六22 總分評(píng)閱（統(tǒng)分）教師19 20 21 得分系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題10、考生必須將姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)完整、準(zhǔn)確、清楚地填寫(xiě)在試卷規(guī)定的地方，否則視為廢卷。11、考生必須在簽到單上簽到，若出現(xiàn)遺漏，后果自負(fù)。12、如有答題紙， 答案請(qǐng)全部寫(xiě)在答題紙上，否則不給分； 考完請(qǐng)將試卷和答題卷分別一同交回，否則不給分。

23、試題一、填空題（每空3 分，共 18 分）1、sinlimxxx; 2、221lim21xxxx= .3、 函數(shù)2( )f xe，則( )fx .4、曲線1yx在點(diǎn)1,22處的切線方程為： .5、函數(shù)20cos(1)xytdt，則dydx。6、微分方程230yyy的通解為 .二、選擇題（每題3 分，共 12 分）7、( )f x的導(dǎo)函數(shù)是 sin x ，則( )f x的一個(gè)原函數(shù)為（）.a: 1 sin xb: 1sinxc: 1 cosxd: 1 cosx8、1x是函數(shù)21( )1xf xx的（）.a:可去間斷點(diǎn)b：跳躍間斷點(diǎn)c:無(wú)窮間斷點(diǎn)d:連續(xù)點(diǎn)9、函數(shù)3( )3f xxx在區(qū)間 0,2

24、 上的最小值是（）.a: 0 b: -2 c: -4 d: 210、下列錯(cuò)誤的是（）.得分評(píng)閱教師得分評(píng)閱教師a: ( )( )f x dxf xb:( )( )fx dxf xcc: ( )( )df xf xcd:( )( )df x dxfx dx三、計(jì)算下列極限與導(dǎo)數(shù)（每題5 分，共 20 分）11、0limsinxxxeex12、2cosyx ，求：y13、452(1)(1)xxyx求：y14、方程xyxye確定 y 是x的函數(shù)，求：y得分評(píng)閱教師系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題四、計(jì)算下列不定積分與定積分（每題5 分，共 20 分）15、3cos x dx16、2lnxxd

25、x17、40221xdxx18、1212sin1xdxx得分評(píng)閱教師五、綜合題（每題8 分,共 24分）19、討論函數(shù)21xyx的單調(diào)性、極值 .20、求曲線224(1)4(1)yxyx及所圍成圖形的面積得分評(píng)閱教師系專業(yè)級(jí)班學(xué)號(hào)姓名密封線密封線內(nèi)不要答題21、求微分方程xdyyedx的通解 .六、證明題（ 6分）22、試證：當(dāng)0 x時(shí)有l(wèi)n(1)1xxxx（6 分）得分評(píng)閱教師參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)課程名稱：高等數(shù)學(xué)（上）a 卷命題教師：謝巍適用班級(jí)：文科本科一、填空題（每空3 分，共 18 分）1、sinlimxxx0 ; 2、221lim21xxxx= 12 .3、 函數(shù)2( )f xe，則

26、( )fx04、曲線1yx在點(diǎn)1,22處的切線方程為：44yx5、函數(shù)20cos(1)xytdt，則dydxcos(1)2xx6、微分方程230yyy的通解為：312xxc ec e二、選擇題（每題3 分，共 12 分）7、( )f x的導(dǎo)函數(shù)是 sin x ，則( )f x的一個(gè)原函數(shù)為（d ）.a: 1 sin xb: 1sinxc: 1 cosxd: 1 cosx8、1x是函數(shù)21( )1xf xx的（ a ）.a:可去間斷點(diǎn)b：跳躍間斷點(diǎn)c:無(wú)窮間斷點(diǎn)d:連續(xù)點(diǎn)9、函數(shù)3( )3f xxx在區(qū)間 0,2 上的最小值是（b ）.a: 0 b: -2 c: -4 d: 210、下列錯(cuò)誤的是

27、（ d ）.a: ( )( )f x dxf xb:( )( )fx dxf xcc: ( )( )df xf xcd:( )( )df x dxfx dx三、計(jì)算下列極限與導(dǎo)數(shù)（每題5 分，共 20 分）11、0limsinxxxeex解：00()limlimsin(sin)xxxxxxeeeexx1分0limcosxxxeex4 分25分12、2cosyx ，求：y解：2221(cos).(cos)2cosyxxx2分22(sin).22 cosxxx4 分2222sinsincoscosxxxxxx5 分13、452(1)(1)xxyx求：y解：452(1)lnln(1)xxyx1 分451ln2ln(1)ln(1)ln(2)4ln(1)5ln(1)2xxxxxx2 分1(ln)ln(2)4ln(1)5ln(1)2yxxx3分11145.2211yyxxx4分4511452(1)(.)2211(1)xxyxxxx5 分14、方程xyxye確定 y 是x的函數(shù)，求：y解： ()()xyxxxye1分(1)xyxyyey4分xyxyeyyxe5分四、計(jì)算下列不定積分與定積分（每題5 分，共 20 分）15、3cos x dx解：32coscossinxdxxdx2分2(1 sin)sinx dxx3 分31sinsin3xxc5 分16、2lnxxdx解：32