高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(一)學(xué)案蘇教版選修2-1-蘇教版高二

1、2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì) (一) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2. 根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，并能畫出圖象知識(shí)點(diǎn)一橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0) 范圍axa，bybbxb，aya頂點(diǎn)a1( a,0)，a2(a,0)，b1(0 ，b) ，b2(0 ，b) a1(0 ，a) ，a2(0，a) ，b1( b,0) ，b2(b,0) 軸長短軸長 2b，長軸長 2a焦點(diǎn)( a2b2，0)(0 ，a2b2) 焦距f1f22a2b2對(duì)稱性對(duì)稱軸：

2、x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率eca(0,1) 知識(shí)點(diǎn)二離心率的作用當(dāng)橢圓的離心率越接近1，則橢圓越扁；當(dāng)橢圓離心率越接近0，則橢圓越接近于圓題型一橢圓的簡單幾何性質(zhì)例 1 求橢圓 25x2y225 的長軸和短軸的長及焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)解把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為y225x21，則a5，b1. 所以c25126，因此，橢圓的長軸長2a10，短軸長 2b 2，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是f1(0 ， 26) ，f2(0,26) ，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別是a1(0 ， 5) ，a2(0,5) ，b1( 1,0) ，b2(1,0) 反思與感悟解決此類問題的方法是先將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐

3、標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，就可以得到橢圓相應(yīng)的幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1 求橢圓m2x2 4m2y21 (m0) 的長軸長、 短軸長、 焦點(diǎn)坐標(biāo)、 頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率解橢圓的方程m2x2 4m2y21 (m0)可轉(zhuǎn)化為x21m2y214m21. m214m2，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且長半軸長a1m，短半軸長b12m，半焦距長c32m. 橢圓的長軸長2a2m，短軸長2b1m，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 32m，0) ，(32m，0) ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1m，0) ，(1m，0)，(0 ，12m) ，(0 ，12m) 離心率eca32m1m32. 題型二由橢圓的幾何性質(zhì)求方程例 2 求滿足下列各條件的橢圓

4、的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其離心率為12，焦距為8；(2) 已知橢圓的離心率為e23，短軸長為85. 解(1) 由題意知， 2c8，c4，eca4a12，a8，從而b2a2c248，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是y264x2481. (2) 由eca23得c23a，又 2b85，a2b2c2，所以a2144，b280，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2144y2801 或x280y21441. 反思與感悟在求橢圓方程時(shí)，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，則應(yīng)進(jìn)行討論，然后列方程( 組 ) 確定a，b，這就是我們常用的待定系數(shù)法跟蹤訓(xùn)練2

5、 橢圓過點(diǎn) (3,0)，離心率e63，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解所求橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，又橢圓過點(diǎn) (3,0)，點(diǎn) (3,0) 為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)， (3,0) 為右頂點(diǎn)，則a3，eca63，c63a6336，b2a2c2 32(6)2 963，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29y231. 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)， (3,0) 為右頂點(diǎn)，則b3，eca63，c63a，b2a2c2a223a213a2，a23b227，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y227x291. 綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x29y231 或y227x29 1. 題型三求橢圓的離心率例 3 如圖所示，f1，f2分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓

6、上的點(diǎn)m的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的23，求橢圓的離心率解設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距長分別為a，b，c. 則焦點(diǎn)為f1( c,0) ，f2(c,0) ，m點(diǎn)的坐標(biāo)為 (c，23b) ，且mf1f2為直角三角形在 rtmf1f2中，f1f22mf22mf21，即 4c249b2mf21. 而mf1mf24c249b223b2a，整理得 3c23a22ab. 又c2a2b2，所以 3b2a. 所以b2a249. 所以e2c2a2a2b2a21b2a259，所以e53. 反思與感悟求橢圓離心率的方法：直接求出a和c，再求eca，也可利用e1b2a2求解若a和c不能直接求

7、出， 則看是否可利用條件得到a和c的齊次等式關(guān)系， 然后整理成ca的形式，并將其視為整體，就變成了關(guān)于離心率e的方程，進(jìn)而求解跟蹤訓(xùn)練3 已知橢圓c以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，長軸長是短軸長的5 倍，且經(jīng)過點(diǎn)a(5,0)，求橢圓c的離心率解若焦點(diǎn)在x軸上，得2a52b，25a20b21，解得a5，b1，ca2b2521226，eca265；若焦點(diǎn)在y軸上，得2a52b，0a225b2 1，得a25，b5，ca2b225252106，eca10625265. 故橢圓c的離心率為265. 1橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13) ，另一個(gè)頂點(diǎn)是( 10,0) ，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_答案(0 ，69) 解

8、析由題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則ca2b269，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (0 ，69) 2. 如圖，直線l：x2y20 過橢圓的左焦點(diǎn)f1和一個(gè)頂點(diǎn)b，該橢圓的離心率為_答案255解析x 2y20，y12x1，而bc12，即a2c2c212，a2c254，ca255. 3若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是_答案35解析由題意有， 2a2c2(2b) ，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得 5c2 3a22ac，即 5e22e30，e35或e 1( 舍去 ) 4若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓x2my221 的離心率為12，則m的值為 _答案32解析焦點(diǎn)在y軸上， 0m2，a2，bm，c2m，又eca12，2m212，解得m32. 5橢圓 25x29y2225 的長軸長，短軸長，離心率依次為_答案10,6 ，45解析由題意，將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為y225x291，由此可得a5，b3，c4，2a10,2b6，e45. 1. 已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，