高中數(shù)學第1章常用邏輯用語1.3.2含有一個量詞的命題的否定學案蘇教版選修1-1-蘇教版高

1、1.3.2 含有一個量詞的命題的否定學習目標1. 理解含有一個量詞的命題的否定的意義.2. 會對含有一個量詞的命題進行否定.3. 掌握全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題. 知識點一全稱命題與存在性命題的否定思考 1 寫出下列命題的否定：所有的矩形都是平行四邊形；有些平行四邊形是菱形. 答案并非所有的矩形都是平行四邊形. 每一個平行四邊形都不是菱形. 思考 2 對的否定能否寫成：所有的矩形都不是平行四邊形？答案不能 . 思考 3 對的否定能否寫成：有些平行四邊形不是菱形？答案不能 . 梳理(1) 命題命題的表述全稱命題p ?xm，p(x) 全稱命題的否定綈p ?xm，綈p(x

2、) 存在性命題p ?xm，p(x) 存在性命題的否定綈p ?xm，綈p(x) (2) 常見的命題的否定形式原語句是都是至少有一個至多有一個對任意xa使p(x) 為真否定形式不是不都是一個也沒有至少有兩個存在xa使p(x) 為假知識點二含有一個量詞的命題p的否定真假性判斷對“含有一個量詞的命題p的否定”的真假判斷一般有兩種思路：一是直接判斷綈p的真假，二是用p與綈p的真假性相反來判斷. 1. 命題綈p的否定是p.( ) 2. ?xm，p(x)與?xm，綈p(x) 的真假性相反 .( ) 3. 從存在性命題的否定看，是對“量詞”和“p(x) ”同時否定 .( ) 類型一全稱命題的否定例 1 寫出下

3、列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：任意nz，則nq ；(2)p：等圓的面積相等，周長相等；(3)p：偶數(shù)的平方是正數(shù). 考點全稱命題的否定題點含有全稱量詞的命題的否定解(1) 綈p：存在nz，使n?q ，這是假命題 . (2) 綈p：存在等圓，其面積不相等或周長不相等，這是假命題. (3) 綈p：存在偶數(shù)的平方不是正數(shù)，這是真命題. 反思與感悟(1) 寫出全稱命題的否定的關(guān)鍵是找出全稱命題的全稱量詞和結(jié)論，把全稱量詞改為存在量詞，結(jié)論變?yōu)榉穸ǖ男问骄偷玫矫}的否定. (2) 有些全稱命題省略了量詞，在這種情況下， 千萬不要將否定簡單的寫成“是”或“不是”.全稱命題的否定的真假性與全稱命題相

4、反. 跟蹤訓練1 寫出下列全稱命題的否定：(1)p：所有能被3 整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(2)p：對任意xz，x2的個位數(shù)字都不等于3；(3)p：在數(shù)列 1,2,3,4,5中的每一項都是偶數(shù)；(4)p：可以被5 整除的整數(shù)，末位是0. 考點全稱命題的否定題點含有全稱量詞的命題的否定解(1) 綈p：存在一個能被3 整除的整數(shù)不是奇數(shù). (2) 綈p：?xz，x2的個位數(shù)字等于3. (3) 綈p：在數(shù)列 1,2,3,4,5中至少有一項不是偶數(shù). (4) 綈p：存在被5 整除的整數(shù)，末位不是0. 類型二存在性命題的否定例 2 寫出下列存在性命題的否定，并判斷其否定的真假：(1) 有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；

5、(2) 某些平行四邊形是菱形；(3) ?x r，x210；(4) ?x，yz，使得2xy3. 考點存在性命題的否定題點含一個量詞的命題真假判斷解(1) 命題的否定是“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，即“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)” . 命題的否定是假命題. (2) 命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”. 由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題. (3) 命題的否定是“不存在xr，使x210，因此命題的否定是真命題. (4) 命題的否定是“?x，yz，2xy3”.當x0，y 3時，2xy3，因此命題的否定是假命題. 引申探究若本例 (2) 改為“某

6、些平行四邊形是正方形”，寫出該命題的否定并判斷真假. 解命題的否定是“沒有一個平行四邊形是正方形”，即“每一個平行四邊形都不是正方形”，假命題. 反思與感悟(1) 對存在性命題否定的兩個步驟改變量詞：把存在量詞換為恰當?shù)娜Q量詞. 否定性質(zhì)：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等. (2) 存在性命題否定后的真假判斷存在性命題的否定是全稱命題，其真假性與存在性命題相反；要說明一個存在性命題是真命題，只需要找到一個實例即可. 跟蹤訓練2 寫出下列存在性命題的否定：(1)p：?xr，x22x20；(2)p：有的三角形是等邊三角形；(3)p：存在一元二次方程無實數(shù)根. 考點存在性命題的

7、否定題點含存在量詞的命題的否定解(1) 綈p：?xr，x22x20. (2) 綈p：所有的三角形都不是等邊三角形. (3) 綈p：所有一元二次方程都有實數(shù)根. 類型三含量詞命題的否定的應用例 3 對于任意實數(shù)x，不等式sinxcosxm恒成立 . 求實數(shù)m的取值范圍 . 考點全稱量詞、存在性量詞的否定題點由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍解令ysinxcosx，xr，ysinxcosx2sinx42，又 ?xr，sinxcosxm恒成立，只要mm有解”，求實數(shù)m的取值范圍 . 考點存在性命題的否定題點由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍解令ysinxcosx，xr，ysinxcosx2sinx4 2

8、，2. 又 ?xr，sinxcosxm有解，只要m0”是真命題， 可得(a1)242120， 1a2n，則綈p為_. 考點存在性命題的否定題點含存在量詞的命題的否定答案?nn，n22n解析將命題p的量詞“ ? ”改為“ ? ”，“n22n”改為“n22n”.2. 命題“任意xr，若y0，則x2y0”的否定是 _. 考點全稱命題的否定題點含有全稱量詞命題的否定答案存在xr，若y0，則x2y0解析已知命題是一個全稱命題，其否定為存在性命題，先將“任意”換成“存在”，再否定結(jié)論，即命題的否定是“存在xr，若y0，則x2y0”.3. 下列命題的否定為真命題的是_.( 填序號 ) ?xr，x2x1x；?

9、x，yz,2x5y12；?xr，sin2x sinx10. 考點全稱量詞、存在性量詞的否定題點含一個量詞的命題真假判斷答案解析命題的否定為假命題亦即原命題為真命題，只有為真命題，其余均為假命題，故否定為真命題的是.4. 若?r，使 sinx1；?x( ， 0) ，2xcosx. 考點全稱量詞，存在性量詞的否定題點含一個量詞的命題真假判斷答案解析sinxcosx2sinx420，即 exx 1，故正確；當x0時，y 2x的圖象在y 3x的圖象上方，故錯誤；當x 0，4時， sinx0 成立”為真，則參數(shù)a的取值范圍為_. 考點存在性命題的否定題點由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍答案( 3，)解析

10、由已知得綈p：?x1,2 ，x22ax2a0成立 . 設f(x) x22ax2a，則f1 0，f2 0，12a2a0，44a2a0，解得a 3，綈p為假，a3，即a的取值范圍是( 3， ).7. 已知命題p：?xr，x2x140，函數(shù)f(x) (lnx)2 lnxa有零點；?，r，cos() cossin；? r，函數(shù)f(x) sin(2x) 都不是偶函數(shù). 考點全稱量詞，存在性量詞的否定題點含一個量詞的命題真假判斷答案解析f(x) 是冪函數(shù)，m 11，m2，f(x)x1，f(x)在 (0 ， ) 上單調(diào)遞減，故為真命題；y(lnx)2lnx lnx12214的值域為14，?a0，方程 (ln

11、x)2lnxa0 有解，即f(x) 有零點，故為真命題；當0 時， cos() cossin成立，故為真命題；當2時，f(x) sin(2x) cos2x為偶函數(shù)，故為假命題. 9. 已知命題p：“a1”是“ ?x0，xax2”的充要條件，命題q：?xr，x2x10，則下列結(jié)論中正確的是_. 命題“pq”是真命題；命題“p( 綈q) ”是真命題；命題“綈pq”是真命題；命題“ ( 綈p) ( 綈q) ”是假命題 . 考點全稱量詞，存在性量詞的否定題點含一個量詞的命題真假判斷答案解析因為a1 可以推出xaxx1x2x1x2，顯然當a2 時也能推出“ ?x0，xax2”成立，所以“a1”是“ ?x

12、0，xax2”的充分不必要條件，故p是假命題 .而q是真命題，故正確. 10. 已知f(x) ln(x2 1)，g(x) 12xm， 若對 ?x10,3 ，?x21,2 ，使得f(x1) g(x2)成立，則實數(shù)m的取值范圍為_. 考點全稱量詞、存在性量詞的否定題點由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍答案14，解析當x0,3 時，f(x)minf(0) 0，當x1,2 時，g(x)ming(2) 14m，由f(x)ming(x)min，得 014m，所以m14. 二、解答題11. 命題p是“對某些實數(shù)x，有xa0 或xb0”，其中a，b是常數(shù) . (1) 寫出命題p的否定；(2) 當a，b滿足什么條

13、件時，命題p的否定為真？考點存在性命題的否定題點含一個量詞的命題真假判斷解(1) 命題p的否定：對任意實數(shù)x，有xa0且xb0. (2) 要使命題p的否定為真，需要使不等式組xa0，xb0的解集不為空集，通過畫數(shù)軸可看出，a，b應滿足的條件是ba. 12. 若“ ?x0，2，sinx3cosxm”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍 . 考點存在性命題的否定題點由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍解令f(x) sinx3cosx2sinx3，x 0，2. 可知f(x) 在 0，6上為增函數(shù)，在6，2上為減函數(shù) . 由于f(0) 3，f 21，f 62，所以 1f(x) 2.由于“ ?x 0，2，sinx3

14、cosxm”為假命題，則其否定“ ?x 0，2， sinx3cosxm”為真命題，所以mf(x)min1，即m1.所以m的取值范圍是( ， 1. 13. 已知命題p：對任意m 1,1 ，不等式a25a3m28恒成立；命題q：不等式x2ax20 有解，若p是真命題，q是假命題，求a的取值范圍 . 考點全稱量詞，存在性量詞的否定題點由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍解m 1,1 ，m2822，3. 對任意m 1,1 ，不等式a25a3m28恒成立，可得a25a33，a6或a 1. 故當命題p為真命題時，a6 或a 1. 又命題q：不等式x2ax20，a22或a0對 ?a 1,1 恒 成 立 等 價 于f1 0，f1 0，即x25x60，x23x20，解得x3，即實數(shù)x的取值范圍是(， 1)(3， ).15.f(x) 是定義在 2,2 上的奇函數(shù)，當x(0,2 時，f(x) 2x 1，函數(shù)g(x) x2 2xm. 如果 ?x1 2,2 ， ?x2 2,2 ，使得g(x2) f(x1) ，則實數(shù)m的取值范圍為 _. 考點全稱量詞、存在性量詞題點由含量詞的命題的