2016高考數(shù)學大一輪復習4.4函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及應用教師用書理蘇教版

1、§4.4函數(shù)yAsin(x)的圖象及應用1yAsin(x)的有關概念yAsin(x)(A>0，>0)，x0，)振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點法畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A03.函數(shù)ysin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟如下：【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)作函數(shù)ysin(x)在一個周期內(nèi)的圖象時，確定的五點是(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)這五個點(×)(2)將函數(shù)y3sin 2x的圖象左移個單位長度后所得

2、圖象的解析式是y3sin(2x)(×)(3)函數(shù)ysin(x)的圖象是由ysin(x)的圖象向右移個單位長度得到的()(4)函數(shù)ysin(2x)的遞減區(qū)間是(k，k)，kZ.(×)(5)函數(shù)f(x)sin2x的最小正周期和最小值分別為，0.()(6)函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.()1(2013·江蘇)函數(shù)y3sin(2x)的最小正周期為_答案解析2，T.2(2013·四川改編)函數(shù)f(x)2sin(x)(>0，<<)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是_答案2，解析T，T，2，2

3、15;2k，kZ，2k，kZ，又，.3設函數(shù)f(x)cos x (>0)，將yf(x)的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值為_答案6解析由題意可知，nT (nN*)，n· (nN*)，6n (nN*)，當n1時，取得最小值6.4設函數(shù)f(x)3sin(x)(>0，<<)的圖象關于直線x對稱，它的周期是，則下列說法正確的是_(填序號)f(x)的圖象過點(0，)；f(x)在，上是減函數(shù)；f(x)的一個對稱中心是(，0)；將f(x)的圖象向右平移|個單位長度得到函數(shù)y3sin x的圖象答案解析周期為，2，f(x)3sin(2x)，f()3s

4、in()，則sin()1或1.又(，)，(，)，f(x)3sin(2x)：令x0f(x)，正確：令2k<2x<2k，kZk<x<k，kZ.令k0<x<，即f(x)在(，)上單調遞減，而在(，)上單調遞增，錯誤：令xf(x)3sin 0，正確：應平移個單位長度，錯誤.題型一函數(shù)yAsin(x)的圖象及變換例1設函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)的周期為.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的解(1)f(x)sin xcos x2(sin

5、xcos x)2sin(x)，又T，即2.f(x)2sin(2x)函數(shù)f(x)sin xcos x的振幅為2，初相為.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表，并描點畫出圖象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)sin的圖象，再把ysin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)sin的圖象，最后把ysin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖象方法二將ysin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x

6、的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點的縱坐標伸長為原來的2倍(橫坐標不變)，得到y(tǒng)2sin的圖象思維升華(1)五點法作簡圖：用“五點法”作yAsin(x)的簡圖，主要是通過變量代換，設zx，由z取0，2來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象(2)圖象變換：由函數(shù)ysin x的圖象通過變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”把函數(shù)ysin(x)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，再將圖象向右平移個單位，那么所得函數(shù)的解析式為_答案ycos 2x解析將ysin(x)圖象上各點的橫坐

7、標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到函數(shù)ysin(2x)；再將圖象向右平移個單位，得到函數(shù)ysin2(x)sin(2x)cos 2x.題型二由圖象求函數(shù)yAsin(x)的解析式例2(1)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(其中>0，|<)的最小正周期是，且f(0)，則_，_.(2)已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，|<，>0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_答案(1)2(2)f(x)2sin解析(1)f(x)(>0，|<)的最小正周期為，T，2.f(0)2sin ，即sin (|<)，.(2)觀察圖象可知：A2且點(0,1)在圖象上

8、，12sin(·0)，即sin .|<，.又是函數(shù)的一個零點，且是圖象遞增穿過x軸形成的零點，2，2.f(x)2sin.思維升華根據(jù)yAsin(x)k的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮：A的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即A；k的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即k；的確定：結合圖象，先求出周期T，然后由T (>0)來確定；的確定：由函數(shù)yAsin(x)k最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令x0，x)確定.如圖為yAsin(x)的圖象的一段(1)求其解析式；(2)若將yAsin(x)的圖象向左平移個單位長度后得yf(x)，求f(x)的對稱軸方程

9、解(1)由圖象知A，以M為第一個零點，N為第二個零點列方程組解得所求解析式為ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)，則x (kZ)，f(x)的對稱軸方程為x (kZ)題型三函數(shù)yAsin(x)的性質例3(2014·重慶改編)已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0，<)的圖象關于直線x對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為.(1)求和的值；(2)當x0，時，求函數(shù)yf(x)的最大值和最小值解(1)因為f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，所以f(x)的最小正周期T，從而2.又因f(x)的圖象關于直線x對稱，所以2·k，kZ，由<得k0所以.綜上，

10、2，.(2)由(1)知f(x)sin(2x)，當x0，時，2x，當2x，即x時，f(x)最大；當2x，即x0時，f(x)最小.思維升華函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的性質(1)奇偶性：k(kZ)時，函數(shù)yAsin(x)為奇函數(shù)；k(kZ)時，函數(shù)yAsin(x)為偶函數(shù)(2)周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小正周期為T.(3)單調性：根據(jù)ysin t和tx(>0)的單調性來研究，由2kx2k(kZ)得單調增區(qū)間；由2kx2k(kZ)得單調減區(qū)間(4)對稱性：利用ysin x的對稱中心為(k，0)(kZ)來解，令xk(kZ)，求得其對稱中心利用ysin x的對稱軸

11、為xk(kZ)來解，令xk(kZ)得其對稱軸已知函數(shù)f(x)Asin(x)(xR，A>0,0<<)的最大值為2，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對稱軸(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)f(x)f(x)的單調遞增區(qū)間解(1)最小正周期為.即2.又直線x是函數(shù)圖象的一條對稱軸，2×k，kZ，即k，kZ.又(0，)，.又A2，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin(2x)(2)g(x)f(x)f(x)2sin2(x)2sin2(x)2sin 2x2sin(2x)2sin(2x)由2k2x2k，kZ可得kxk，kZ.即函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間是k，k，k

12、Z.三角函數(shù)圖象與性質的綜合問題典例：(14分)已知函數(shù)f(x)2sin()·cos()sin(x)(1)求f(x)的最小正周期(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最大值和最小值思維點撥(1)先將f(x)化成yAsin(x)的形式再求周期；(2)將f(x)解析式中的x換成x，得g(x)，然后利用整體思想求最值規(guī)范解答解(1)f(x)2sin()·cos()sin(x)cos xsin x4分2sin(x)，6分于是T2.7分(2)由已知得g(x)f(x)2sin(x)，9分x0，x，sin(x)，1，11分g(x)

13、2sin(x)1,212分故函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最大值為2，最小值為1.14分解決三角函數(shù)圖象與性質的綜合問題的一般步驟：第一步：(化簡)將f(x)化為asin xbcos x的形式第二步：(用輔助角公式)構造f(x)·(sin x·cos x·)第三步：(求性質)利用f(x)sin(x)研究三角函數(shù)的性質第四步：(反思)反思回顧，查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范溫馨提醒(1)在第(1)問的解法中，使用輔助角公式asin bcos sin()(其中tan )，或asin bcos cos()(其中tan )，在歷年高考中使用頻率是相當高的，幾乎年年使用到、考查到

14、，應特別加以關注(2)求g(x)的最值一定要重視定義域，可以結合三角函數(shù)圖象進行求解.方法與技巧1五點法作圖及圖象變換問題(1)五點法作簡圖要取好五個關鍵點，注意曲線凸凹方向；(2)圖象變換時的伸縮、平移總是針對自變量x而言，而不是看角x的變化2由圖象確定函數(shù)解析式由函數(shù)yAsin(x)的圖象確定A、的題型，常常以“五點法”中的第一個零點作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置要善于抓住特殊量和特殊點3對稱問題函數(shù)yAsin(x)的圖象與x軸的每一個交點均為其對稱中心，經(jīng)過該圖象上坐標為(x，±A)的點與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對稱軸，這樣的最近兩點間橫坐標的差的絕

15、對值是半個周期(或兩個相鄰對稱中心的距離)失誤與防范1由函數(shù)ysin x的圖象經(jīng)過變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象，如：先伸縮，再平移時，要把x前面的系數(shù)提取出來2復合形式的三角函數(shù)的單調區(qū)間的求法函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的單調區(qū)間的確定，基本思想是把x看做一個整體若<0，要先根據(jù)誘導公式進行轉化3函數(shù)yAsin(x)在xm，n上的最值可先求tx的范圍，再結合圖象得出yAsin t的值域.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)1(2013·山東改編)將函數(shù)ysin(2x)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的取值為_答案k，kZ解析把函數(shù)ys

16、in(2x)沿x軸向左平移個單位后得到函數(shù)ysin 2sin為偶函數(shù)，則k，kZ，k，kZ.2(2013·浙江改編)函數(shù)f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分別是_答案，1解析f(x)sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin.所以最小正周期為，振幅為1.3已知函數(shù)f(x)2sin(x)(>0，且|<)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是_答案k，k，kZ解析由函數(shù)的圖象可得T，T，則2.又圖象過點(，2)，2sin(2×)2，2k，kZ，|<.取k0，即得f(x)2sin(2x)，其單調遞增區(qū)間為k

17、，k，kZ.4.電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數(shù)IAsin(t)(A>0，>0,0<<)的圖象如右圖所示，則當t秒時，電流強度是_安答案5解析由圖象知A10，100.I10sin(100t)圖象過點，10 sin(100×)10，sin()1，2k，kZ，2k，kZ，又0<<，.I10sin，當t秒時，I5安5已知函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間，上的最小值為2，則的取值范圍是_答案(，2，)解析當>0時，x，由題意知，即；當<0時，x，由題意知，2.綜上可知，的取值范圍是(，2，)6.設偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0

18、，>0,0<<)的部分圖象如圖所示，KLM為等腰直角三角形，KML90°，KL1，則f()的值為_答案解析取K，L中點N，則MN，因此A.由T2得.函數(shù)為偶函數(shù)，0<<，f(x)cos x，f()cos .7某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數(shù)yaAcos (x1,2,3，12，A>0)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28，12月份的月平均氣溫最低，為18，則10月份的平均氣溫值為_.答案20.5解析由題意得y235cos，當x10時，y235×20.5.8已知函數(shù)f(x)cos xsin x(xR)，給出下

19、列四個命題：若f(x1)f(x2)，則x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在區(qū)間，上是增函數(shù)；f(x)的圖象關于直線x對稱其中真命題是_答案解析f(x)sin 2x，當x10，x2時，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命題；f(x)的最小正周期為，故是假命題；當x，時，2x，故是真命題；因為f()sin ，故f(x)的圖象關于直線x對稱，故是真命題9已知函數(shù)f(x)cos x·cos(x)(1)求f()的值；(2)求使f(x)<成立的x的取值集合解(1)f()cos·coscos·cos()2.(2)f(x)cos xcos(x)cos x&#

20、183;(cos xsin x)cos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos(2x).f(x)<等價于cos(2x)<，即cos(2x)<0，于是2k<2x<2k，kZ.解得k<x<k，kZ.故使f(x)<成立的x的取值集合為x|k<x<k，kZ10(2014·福建)已知函數(shù)f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0<<，且sin ，求f()的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間解方法一(1)因為0<<，sin ，所以cos .所以f()×()

21、.(2)因為f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的單調遞增區(qū)間為k，k，kZ.方法二f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)(1)因為0<<，sin ，所以，從而f()sin(2)sin.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的單調遞增區(qū)間為k，k，kZ.B組專項能力提升(時間：25分鐘)1將函數(shù)ysin(x)的圖象F向左平移個單位長度后得到圖象F，若F的一個對稱中心為(，0)則的一個可能取值是_答案2

22、已知A，B，C，D是函數(shù)ysin(x)(>0,0<<)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，A(，0)，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則，的值分別為_答案2，解析因為在x軸上的投影為，又點A(，0)，所以函數(shù)的四分之一個最小正周期為.即函數(shù)的最小正周期為，故2.又點A(，0)是處于遞增區(qū)間上的零點，所以2×()2k(kZ)，則2k(kZ)又因為0<<，所以.3函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的部分圖象如圖所示，若x1，x2(，)，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_.答案解析由f(x)的圖象可得A1，T()，所以最小正周期T2.又f()sin()0，|<，所以.又x1，x2(，)，且f(x1)f(x2)，所以x1x2，所以f(x1x2)sin(2×).4(2014·湖北)某實驗室一天的溫度(單位：)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求實驗室這一