理數(shù)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案：解答題應(yīng)試技巧必備

1、應(yīng)試技巧必備活用4招巧解“中高檔”解答題髙考數(shù)學(xué)解答題的答題方式不同于選擇題和填空題，解答題既要結(jié)果又要過(guò) 程，考生必須嚴(yán)格按照推理的方式按部就班地進(jìn)行解答和表述.因此對(duì)于基礎(chǔ)性 的解答題要做到'對(duì)而全”，防止被扣“步驟分”；對(duì)于中高檔題目要學(xué)會(huì)“踩 點(diǎn)得分”，也就是我們常說(shuō)的“缺步解答、跳步解答、逆向解答和退步解答” 妙招1缺步解答化繁為簡(jiǎn)，能解多少算多少如果遇到一個(gè)很困難的問(wèn)題，確實(shí)啃不動(dòng)，一個(gè)聰明的解題策略是，將它們 分解為一系列的步驟，或者是一個(gè)個(gè)小問(wèn)題，先解決問(wèn)題的一部分，能解決多少 就解決多少，能演算幾步就寫(xiě)幾步，尚未成功不等于失敗.特別是那些解題層次明 顯的題目，或者是已

2、經(jīng)程序化了的方法，每進(jìn)行一步得分點(diǎn)的演算都可以得分， 最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過(guò)半，這叫“大題巧拿分”.結(jié)合示例：本例第(1)問(wèn)是橢圓離心率的求解問(wèn)題，難度較小，而第(2)問(wèn)有一 定難度，如果不能拿全分，可采用缺步解答，盡量多得分.首先，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，若需要設(shè)直線方程，應(yīng)考慮 直線的斜率是否存在，因此當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 (0, 2羋j,這是每位考生都應(yīng)該能做到的.其次，聯(lián)立直線方程與橢圓方程并設(shè) 出M N,。的坐標(biāo)通過(guò)嚴(yán)需+爲(wèi)得到芻=£+占+罌1 Q 然后由X1+X2及XX2聯(lián)想一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將問(wèn)題解決到壬=血_3 是完

3、全可以做到的，到此已經(jīng)可以得到9分.另外，考慮到點(diǎn)Q在直線/上，將點(diǎn) 0坐標(biāo)代入所設(shè)直線方程就能得到100，2)23W=18,到此便可以得到10分.到 此不能繼續(xù)往下解時(shí)，我們也已經(jīng)得到絕大部分分?jǐn)?shù)了.同學(xué)們可以根據(jù)此法求解 下面的例題.典例1 (12分)已知橢圓C：%+恭=l(Qb>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(-l,0), F2(l,0),且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)厝,尋.(1) 求橢圓C的離心率；(2) 設(shè)過(guò)點(diǎn)4(0,2)的直線/與橢圓C交于M, N兩點(diǎn)，點(diǎn)。是線段MN上的點(diǎn),2 1 1MlAQ|2 = L4M|2 + l4N|2,求點(diǎn)。的軌跡方程規(guī)范解答(1)由橢圓定狡知，2a = PFii +

4、 PF2 = Aj(|+1+所以a=2又由已知，c=l,所以橢圓C的離心率_£122 由知，橢圓C的方程為y+r=l.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(心)力 當(dāng)直線/與X軸垂直時(shí)，直線/與橢圓C交于(0,1), (0, 一1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0, 2書(shū)6分 當(dāng)直線/與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=kx+2.因?yàn)镸, N在直線/上，可設(shè)點(diǎn)M, N的坐標(biāo)分別為(Q, hi+2), (x2,2),則 L4MI2=(1+Zt)xt, L4M2 = (1+)A又 L4(2I2=x2+0'-2)2 = (1+2)x2.2 _ 1 1田AQ2AM-AN2i 付即#卄茹吐4*分將尸尬+2代入y+

5、/= 1中，得(2疋+1)/+8匕+6=0.由=(8燈2_4X(2Q+l)X6>0,得.z- _8£ 6 由可知，兀1十兀2 = 2疋+XlX2=2k2+9代入中并化簡(jiǎn)，得 v2=lofe-因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=Ax+2上，所以比=口，代入中并化簡(jiǎn),10分得 10(y-2)2-3x2=18 _33由及疋，可知0 v/v, 即用(一誓,o)u(o,豹 又(0, 2羋)滿足 10(-2)2-3x2=18, 故半,f由題意，Qx, y)在橢圓C內(nèi)，所以一 lWyWl,9 9 又由 10©2)2=18 + 3/ 有©2)2丘j所以點(diǎn)0的軌跡方程為10（¥-2）

6、23=18,12分其中列一爭(zhēng)，尊y胡,2一學(xué)妙招2跳步解答左右逢源，會(huì)做哪問(wèn)做哪問(wèn)對(duì)設(shè)有多問(wèn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若前一問(wèn)不會(huì)解，而后面的幾問(wèn)又是自己容易解的, 或是可用前一問(wèn)的結(jié)論來(lái)求解的，此時(shí)應(yīng)放棄前一問(wèn)的求解，著重攻后面的幾問(wèn), 并將前一問(wèn)的結(jié)論作為后幾問(wèn)的條件使用，巧妙地配合題設(shè)條件或有關(guān)定理來(lái)解 答后面的問(wèn)題.這種利用自己根本不懂或不會(huì)證明的問(wèn)題作條件來(lái)解后幾問(wèn)的做 法，就是數(shù)學(xué)解題中的“跳步解答”，即：前問(wèn)難做后問(wèn)易，棄前攻后為上計(jì).結(jié)合示例：本例第(1)問(wèn)可利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理較簡(jiǎn)單解決， 但第(2)問(wèn)較麻煩，很多同學(xué)不會(huì)做或耽誤較長(zhǎng)時(shí)間，從而延誤了第(3)問(wèn)的解答. 事實(shí)上，

7、由題意可知，第(3)問(wèn)的解答與第(2)問(wèn)沒(méi)有任何關(guān)系，但與第(1)問(wèn)是相關(guān) 的，且非常容易解答，因此我們可跨過(guò)第(2)問(wèn)，先解決第(3)問(wèn)，從而增大了本題 的得分率，這是解決此類題的上策之舉.同學(xué)們可利用此法求解此題.典例2(12分)設(shè)函數(shù)辦(力=0+加+"“丘1<, b, cWR).(1) 設(shè)b=l, c= l,證明：力心)在區(qū)間£ 1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；(2) 15/7 = 2,若對(duì)任意勸,x2e-l,l,有如)一朋2)IW4,求b的取值范圍;(3) 在(1)的條件下，設(shè)知是加(x)在百，1)內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列X2, X3,，勸 的增減性.規(guī)范解答證明:b=f c=

8、-l,心2 時(shí)，fn(x)=x,+x-.又當(dāng)1)時(shí)，幾(勸=必円+ 1>0,J；心)在G，1)上是單調(diào)遞增的./心)在區(qū)間豬，1)內(nèi)存在唯一睿點(diǎn).(2)當(dāng) n=2 時(shí),f2(x)=jr+bx+c.對(duì)任意M,恐W T, 1 都有臨(衛(wèi))一應(yīng))1 W 4,等價(jià)于應(yīng)(力在一1,1上的最大值與最小值之差MW4. 攜此分類討論如下：當(dāng)亍>1,即1/?1>2時(shí),M=!/i(l)-/i(-l)l=2lbl>4,與題設(shè)矛盾.當(dāng)一 1W-號(hào)V0,即0VbW2時(shí),MF1W4恒成立. 當(dāng) 0即一2WbW0 吋,W4恒成立.綜上可知，一2WbW2故b的取值范圍為一2,2fnXn） = A?r

9、4" Xn 1=0,(3) 法:設(shè)Xn是辦(X)在豬，厶+1仇+1)=或：1+ 勿+i 1=0,于是有 Jn（Xn） = 0 =后+1（A7i +1）=£： I + Xn+1 1 V 兄;+1 + Xh+ 1 11）又由（1）知&（X）在G，1）上是單調(diào)遞增的，故 xnxn+i(n2)t所以數(shù)列也，X3, , A/J,是遞增數(shù)列.12分法二：設(shè)心是加(X)在E，1)內(nèi)的唯一零點(diǎn)，fn+)=(兄;J + 一 1)(1" ' +1 1)=x!n 1 +勸一 1 V 乂;+x“ 1 =0,則fn + (X)的零點(diǎn)Xn+1在(巫1)內(nèi),故心Xn+1(&qu

10、ot; 22),所以數(shù)列X2, X3, An,是遞增數(shù)列.12分妙招3逆向解答逆水行舟，往往也能解決問(wèn)題有些數(shù)學(xué)命題的求解，開(kāi)始入手還較為順暢，但一到最后就難以繼續(xù)進(jìn)行了. 此時(shí)若知悉它的大致趨勢(shì)和結(jié)果，可以從所求結(jié)論的形式、特點(diǎn)，進(jìn)行反推、湊 形，直到得出大致與所要達(dá)到的目標(biāo)相當(dāng)、相同或相似的式子，再來(lái)巧妙地進(jìn)行 溝通也是可行的.對(duì)于這一步雖然是自己做不到的，但這樣寫(xiě)了幾下，卻可能全都 是對(duì)的也就是說(shuō)，對(duì)一個(gè)問(wèn)題正面思考發(fā)生思維受阻時(shí)，用逆向思維的方法去探 求新的解題途徑，往往能得到突破性的進(jìn)展，順向推有困難就逆推，直接證有困 難就反證.即：解題結(jié)論路難行，倒推湊形亦為徑.1 2結(jié)合示例：解

11、答本例第(3)問(wèn)利用了逆向解答，把不等式lnx占一土巧妙地轉(zhuǎn)r 2化為xnx>不等式左邊是爪)，右邊看作一個(gè)新的函數(shù)心)，只需說(shuō)明/min> /(A)max即可.同學(xué)們不妨釆用此招求解該題.典例 3(12 分)已知 f(x)=xn x, g(x)=-x1-ax3.求函數(shù)/U)的最小值；(2)對(duì)一切xe(O, +oo),欲r)$g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)"的取值范圉；1 2(3)證明：對(duì)一切xe(o, +8),都有1“>工-忑成立.規(guī)范解答(iyv)= ln卄1，當(dāng) xeo, £時(shí)，/(x)<0, /(X)單調(diào)遞減；當(dāng)皿華，+°°)時(shí)，

12、/3>0,/單調(diào)遞増： 所以/(X)的最小值為yQ)=3(2)Mnxx2+ax39 則 aW21nx+x+二，3設(shè) /z(x) = 21nx+x+-(x>0), I“ z (x+3)(x1)、則”(x)=分,4分 當(dāng)牙丘(0,1)時(shí)，3V0, /心)單調(diào)遞減； 當(dāng)xe(l, +8)時(shí)，/f(x)>0, /7(X)單調(diào)遞增，5分所以 /j(x)min = /l(l) = 4.因?yàn)閷?duì)一切xG(O, +°°),欲x)$g(x)恒成立，所以dW/?(x)min=4,即a的取值范圍為(一8, 4.7分T 2(3)證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明xnx>一-(%e(0, +

13、8)8分e e由(1)可知/(x)=xlnx(xW(O, +°°)的最小值是一丄，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.9分ey 91 x設(shè)心）=-（xe（o, + 8）,則 mx）=易知心）max = W（1）=7.且兩函數(shù)不會(huì)同時(shí)取得一丄T 2、所以有xlnxJ11分1 ?從而對(duì)一切xG(O, 4-oo),都有山/一亍成立.12分e CA-妙招4退步解答以退為進(jìn)，列出相關(guān)內(nèi)容也能得分“以退求進(jìn)”是一個(gè)重要的解題策略.對(duì)于一個(gè)較一般的問(wèn)題，如果你一時(shí)不 能解決所提出的問(wèn)題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜 退到簡(jiǎn)單，從整體退到部分，從參變量退到常量，從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論

14、. 總之，退到一個(gè)你能夠解決的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)“特殊”的思考與解決，啟發(fā)思維, 達(dá)到對(duì)"一般”的解決.結(jié)合示例：求解本例第(2)問(wèn)時(shí)，若不能正確判斷其結(jié)論，也應(yīng)說(shuō)明直線是 否存在，同時(shí)應(yīng)對(duì)直線垂直于x軸這一特殊情況給予說(shuō)明，這就是所說(shuō)的從一 般到特殊，逐步解答.同學(xué)們不妨依據(jù)此招求解本題.典例4 (12分)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線Ci：奇一話=1(如0,加0) 和橢圓C2：缶+器=1("2加0)均過(guò)點(diǎn)彳羊，1),且以Cl的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.(1)求Cl, C2的方程;(2)是否存在直線I,使得/與Ci交于A, 3兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共

15、點(diǎn)，且I西+前1 = 1恥I,證明你的結(jié)論.規(guī)范解答(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知，2° = 2兇1=2. 從而 6/1 = 1, C2=l因?yàn)辄c(diǎn)所以,1在雙曲線X2一話=1上,右=1, 故 員=3.由橢圓的定義知26/2 =+ (1 + 1)2 = 2 羽+(1-1)2+于是 6/2 =V5, bl=alci=2.故Cl, C2的方程分別為2=1,(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.5分若直線/垂直于X軸，因?yàn)?與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線/的方程為X =邁或 x=2.當(dāng) x=y2時(shí)，易知 A(&,萌)，B(g -a/3),所以I阪+旋1 = 2邁，I喬1 = 2羽.此時(shí),OA + OBAB.當(dāng) x=-yj2時(shí)，同理可知，IOA + OBAB.y=kj：+m9由SI若直線/不垂直于x軸，設(shè)/的方程為y=kx+m.得(3Zr)22kmxnr 3 = 0.當(dāng)/與Ci相交于人3兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)A(xh yi), B(x29 y2).則也是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，從而Xl+X2 =2km3心F + 3 皿=疋二？3k23nrlr-3于是 yiyi=k2xxi+k