(完整word)高二數(shù)學(xué)(人教B版)選修2-1全冊同步練習(xí)：3-2-3直線與平面的夾角,推薦文檔

1、21 6 323 直線與平面的夾角 、選擇題 1. 已知平面 a內(nèi)的角/ APB = 60 射線 PC 與PA、PB 所成角均為 135 貝 U PC 與平 面a所成角的余弦值是（） A 遠(yuǎn) B 遠(yuǎn) A. 3 3 C 亞 C. 3 DY 答案 B 解析 由三余弦公式知 COS45 COSaCOS30 ； COS a= 2. 三棱錐 P ABC 的底面是以 AC 為斜邊的直角三角形，頂點 P 在底面的射影恰好是 ABC 的外心，PA= AB= 1 , BC = 2,貝 U PB 與底面 ABC 所成角為（ ） A. 60 B. 30 C. 45 D. 90 答案B 解析由 AB = 1, BC

2、=靈，知 AC = V3, OA普 / 1 X1 又 PA = 1, PQ 丄 AC, PO = , 0 OB= OA =于，. tanBuf. 應(yīng)選 B. 3. 正方體 ABCD A1B1C1D1中，直線 BC1與平面 A1BD 所成角的正弦值是（ BF 1 4. 在三棱錐 PABC 中，AB 丄 BC, AB= BC = 2 啓，點 O、D 分別是 AC、PC 的中點, OP 丄底面 ABC，則直線 OD 與平面 PBC 所成角的正弦值為（ ） 答案 C 解析 由計算得 sin 0= 32故選 C. C.中 D. A. 21 6 A. B. 8*3 3 答案 cos(OD, n) = OD

3、 OD n _1 |OD| n| 設(shè) OD 與面 PBC 的角為0,貝 U sin 0= 300，故選 線 a 所成角的取值范圍是（ ） n D. 3， 答案D 2i0 D.r 解析 以 0 為原點，射線 OA、OB、OP 為 x、y、z 軸建立空間 直角坐標(biāo)系, 女口圖，設(shè) AB = a,貝 U OP = 可求得平面 PBC 的法向量為 n = ( 1, - 1, ,OD = ( 42a,0, -a), n 5.若直線 I與平面a所成角為 3，直線 a 在平面 a內(nèi)，且與直線 I異面，則直線 I與直 6如果平面的一條斜線段長是它在這個平面上的射影長的 3 倍, 那么斜線段與平面所 成角的余弦

4、值為（ ） 1 A3 答案A 7.如圖，正方體 ACi中，BCi與對角面 BBiDiD 所成的角是（ CiBBi CiBD C. CiBDi CiBO 答案D 解析由三垂線定理得，OB 為 BCi在平面 BBiDiD 上的射影. 故選 D. &在棱長為 i 的正方體 ABCD AiBiCiDi中，E 為 CCi的中點, 則直線 AiB 與平面 BDE 所成的角為（ ） D. 2n A 0，亍 n B 3, 2n 3 n A. 6 n B.3 嚴(yán) - /1 |n 5 C.J D n 6 v 答案B 解析以 D 為原點建立空間直角坐標(biāo)系，平面 BDE 的法向量 n = (1 , - 1,2

5、), 而 BAi= (0, - 1,1), 直線 A1B 與平面 BDE 成 60。角. 9. 正方形紙片 ABCD，沿對角線 AC 折起，使點 D 在面 ABCD 外，這時DB 與平面 ABC 所成角一定不等于( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 答案D 解析當(dāng)沿對角線 AC 折起時，BD 在面 ABC 上的射影始終在原對角線上， 若 BD 丄面 ABC,則此時 B、D 重合為一點，這是不成立的，故選 D. 10. 已知等腰直角 ABC 的一條直角邊 BC 平行于平面 a點 A a,斜邊 AB= 2, AB 與平面a所成的角為 30則 AC 與平面a所成的角為( ) A.

6、30 B. 45 C. 60 D. 90 答案B 解析過 B、C 作 BB丄a于 B , CC丄a于 C , 則 BB = CC = 1, - sin 0= ? , - 0= 45 .故選 B. 、填空題 11. 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱長都相等， 則 AC1與平面 BB1C1C 的夾角的余弦值 為 _ . 答案V 解析設(shè)三棱柱的棱長為 1，以 B 為原點，建立坐標(biāo)系如圖，則 V3 1 丄 込 1 C1(0,1,1), A , 2，0，AC1= , 2，1，cos 0= 1+2=並 2 . 3 2 0= 30 . 3 . 又平面 BBiCiC 的一個法向量 n= (1,0,0),

7、 設(shè) ACi與平面 BBiCiC 的夾角為Q sin e= |cos |=害= lACiini 12. 正四棱錐 S ABCD 中，O 為頂點 S 在底面內(nèi)的射影，P 為側(cè)棱 SD 的中點，且 SO =OD，則直線 BC 與平面 PAC 所成的角是 _ . 答案30 13. AB/ a, AA丄a, A 是垂足，BB 是a的一條斜線段，B 為斜足，若 AA = 9, BB = 6 雨，則直線 BB與平面a所成角的大小為 _ . 答案60 14. 正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F 分別為 AAi、A1D1的中點，貝U EF 與面 AiCi所 成的角為 _ . 答案45 三、解答題 1

8、5. 如圖所示，ABCD 是直角梯形，/ ABC= 90 , SA 丄平面 ABCD , 1 SA= AB= BC = 1，AD = 2，求 SC 與平面 ABCD 所成的角. 解析解法 1 :如圖所示，設(shè) n是平面a的法向量，AB 是平面a的一條斜線，A a, AB 與平面a所成的角為 扌一 arccosAB列; |AB| n AS 是平面ABCD的法向量，設(shè) CS 與 AS 的夾角為a / CS =CB + BA+ As, ASCS= AS(CB + BA+AS) = AS AS= i. |AS|= 1 , |CS|= .(CB + BA + AS)2 = jCB l2 + |BA 2 +

9、 |AS |2= .3, AS| |CS|cos e= J - sin2時計 cos= AS CS 片 arccos 中 3 - n 從而 CS 與平面 ABCD 所成的角為 2-arcco 解法 2 :連結(jié) AC,顯然/ SCA 即為 SC 與平面 ABCD 所成的角.計算得： AC= ；2, tan / SCA 晉 16. 如圖，在直三棱柱 ABO A B O 中，00 = 4, 0B= 3, / AOB = 901D 是線段 A B的中點，P 是側(cè)棱 BB 上的一點.若 0P 丄 BD，試求： (1)0P 與底面 AOB 所成的角的大小; (2)BD 與側(cè)面 A00 A所成的角的大小.

10、解析如圖，以 0 為原點建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，有 設(shè) P(3,0 , z),則 BD = 2，2, 4 , 0P= (3,0 , z). BDOP一 2 + 4z= 0, z= 9 -P 3, 0, 9 . (1) / BB丄 平面 AOB , / POB 是 OP 與底面 AOB 所成的角. 9 8 3 3 tan/ POB = = 3, ./ POB = arctanz. 3 8 8 3 故 OP 與底面 AOB 所成角的大小是 arcta (2) / OB = (3,0,0)，且 OB 丄平面 A00 A, 平面 A00 A的法向量為OB = (3,0,0). T 3 3 又 DB

11、 = (3,0,0) , 2, 4 = 2, 2, 4 , 3 9 OB DB = 3X + ( 2) X 0+ ( 4)X 0= 又 |0B|= 3,故 SC 與平面 ABCD 所成角為 arcta B(3,0,0) , D 3, 2, 4 , / BD 丄 OP , |DB|= . 2 2+( 2)2+( 4)2=啰, T T 9 OB DB _ 2 _3 |OB|DB| = =莎 n T T n 3 BD 與側(cè)面 AOO A所成的角的大小為 - =-arcco 馬転(或?qū)懗?3 arcsin) 17. 如圖，正方體 ABCD AiBiCiDi中，E 是 CCi的中點，求 BE 與平面 B

12、iBD 所成角的正弦值. 解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為 2，則 B(2,2,0), Bi(2,2,2), E(0,2,1), BD = ( 2, 2,0), BBi= (0,0,2), BE= ( 2,0,1). 設(shè)平面 BiBD 的法向量為 n = (x, y, z), Tn 丄 BD , n 丄 BBi n BD = 2x 2y= 0 n BBi = 2z= 0 x= y 令 y = i 時，貝 U n = ( i,i,0), i8. (2009北京)如圖， 在三棱錐 P ABC中， PA丄底面 ABC, PA = AB,/ ABC = 60 / BCA = 90 點 D

13、, E 分別在棱 PB, PC 上，且 DE / BC. (1) 求證：BC 丄平面 FAC; (2) 當(dāng) D 為 PB 的中點時，求 AD 與平面 PAC 所成的角的大小; 解析考查線面垂直，直線與平面所成角，以及二面角等內(nèi)cos = n BE |n|E| 即 BE 與平面 BiBD 所成的角的正弦值為 i0 cos 容，可以用直接法實現(xiàn)，也可用向量法. 解法一： / PA 丄底面 ABC, PA 丄 BC. 又/ BCA= 90 AC 丄 BC. BC 丄平面 PAC. 1 (2) / D 為 PB 的中點，DE / BC, DE = qBC. 又由知，BC 丄平面 RAC, DE 丄平面

14、 PAC,垂足為點 E. / DAE 是 AD 與平面 PAC 所成的角. / FA 丄底面 ABC, PA 丄 AB, 又 FA= AB, ABF 為等腰直角三角形, 1 AD = AB. V2 1 在 Rt ABC 中，Z ABC = 60 BC = qAB. 在 Rt ADE 中，sin Z DAE =匪= -BC= AD 2AD 4 解法二：(1)如圖，以 A 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz. (1) / AP= (0,0, a), BC= 2a, 0, 0 , BC 丄 AP. 又 TZ BCA = 90 BC 丄 AC. BC 丄平面 PAC. AD 與平面 FAC 所成的角的大小為 arcsi2. 設(shè) PA= a，由已知可得 A(0,0,0), B 器,23a, 0 , C 0, 0 ,