指數(shù)函數(shù)講義經(jīng)典整理(含答案)

1、指數(shù)函數(shù)講義經(jīng)典整理（含答案）、同步知識梳理知識點(diǎn)1:指數(shù)函數(shù)函數(shù)y ax（a 。且a D叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R知識點(diǎn)2:指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)yar10<a< 1S戶-W內(nèi)象I-*u定義域R值域(0 t +8)隹JBa）過定點(diǎn)£礪總(2)當(dāng)j>0時(shí)讓L i<o 時(shí) 4Hgy<&.C2）當(dāng)邕>0時(shí)才r<0 時(shí) Q1Q）在（-g, +s）上 抵噌西%C3）在M'+x）上是 糠蹙效知識點(diǎn)3:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像的關(guān)系指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖像的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系圖所示，則0 c d 1 a b,在

2、y軸右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)也由小變大, 在y軸左側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)也由小變大 即無論在y軸左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針方向變大 在第一象限內(nèi)，“底大圖高”知識點(diǎn)4：指數(shù)式、指數(shù)函數(shù)的理解分?jǐn)?shù)指數(shù)哥與根式或以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥進(jìn)行根式的運(yùn)算 根式的運(yùn)算、變形、求值、化簡及等式證明在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函 數(shù)的基礎(chǔ)，應(yīng)引起重視 在有關(guān)根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的變形、求值過程中，要注意運(yùn)用方程的觀點(diǎn)處理問題，通過解方程或 方程組來求值 在理解指數(shù)函數(shù)的概念時(shí)，應(yīng)抓住定義的“形式”1像 y 2 3x,y 丘 v -V 2x 1 等函數(shù)均不符合形式y(tǒng) ax a 0且a 1

3、,因此,它們都不是指數(shù)函數(shù)畫指數(shù)函數(shù)yxa的圖像，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn):11,a , 0,1 ,1, a二、同步題型分析題型1 ：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域f (x)=例1:已知函數(shù)(1)求m的值;(2)判定f (x)的奇偶性；(3)判斷f (x)在(0, +8)上的單調(diào)性，并給予證明.考點(diǎn): 指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明.專題：計(jì)算題.分析：7(1)欲求m的值，只須根據(jù)f (4) =£的值，當(dāng)x=4時(shí)代入f (x)解一個指數(shù)方程即可；(2)求出函數(shù)的定義域 x|x W0利用奇偶性的定義判斷 f (x)與f ( - x)的關(guān)系，即可得到答案;(3

4、)利用單調(diào)性的定義證明即可.任取0vx1vx2,只要證明f (x1) >f (x2),即可.解答：f二工4皿解：(1)因?yàn)?,所以 4 2,所以m=1 .(2)因?yàn)閒 (x)的定義域?yàn)閤|x W0又所以f (x)是奇函數(shù).(3) 任 取 x1 > x2 >0, 則一土(算2)二了 一 (XA-3 -(1+-)1上 L才 己 KgI *1芯2因?yàn)閤1 >x2 > 0,所以,所以 f (x1) > f (x2),所以f (x)在(0, +8)上為單調(diào)增函數(shù).點(diǎn)評: 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷、函數(shù)奇偶性的判斷，與證明及指數(shù)方程的解法.在判定函數(shù)奇偶 性時(shí)，一

5、定注意函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，屬于基礎(chǔ)題.f (r)例2:已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的奇偶性;(2)證明：f (x) >0.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì).專題：計(jì)算題.分析：Q - 12_ 12(1)由2x - 1 w o解得義域?yàn)閤|x w 0關(guān)于原點(diǎn)對稱.f(x) = (21)(-x)=(d 1)x=f (x),故該函數(shù)為偶函數(shù).-4>o(2 )任取 xC x|x w0當(dāng) x > 0 時(shí)，2x > 20=1 且 x>0,故 21，從而f (x) - (-+) X2* 1.當(dāng)xv 0時(shí)，-x>0,故f (-x

6、) >0,由函數(shù)為偶函數(shù)，能證明 f(x) > 0在定義域上恒成立.解答：解：(1)該函數(shù)為偶函數(shù).由2x- 1W0解得xwo即義域?yàn)閤|x W原于原點(diǎn)對稱 (2分)O-K-1 21 - 2 ?f (- x)=(上 1) (- x) =- ( 1 士 +乙)x/ _j_ 那-i+i 211=(2 -1，)x=(2" l ')x=(2' l ') x=f (x) (6分)故該函數(shù)為偶函數(shù).(7分)(2)證明：任取 xCx|x W0當(dāng) x>0 時(shí)，2x>20=1 且 x>0, 2x- 1>0,F (S)=x >0從而2(1

7、1分)當(dāng) xv 0 時(shí)，x>0,Cf ( - x) >0,(12 分)又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，C f (x) =f (- x) > 0,(13 分)Cf (x) > 0在定義域上恒成立.(14分)點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明f(x) >0.解題時(shí)要認(rèn)真審題， 注意指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.例3:已知函數(shù)y=ax (a> 0且awl)在1, 2上的最大值與最小值之和為20,記小+ 2 .(1)求a的值；(2)求 f (x) +f (1 x)的值;(3)(1)+F (2) +.n n的值.考點(diǎn):指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域.專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及

8、應(yīng)用.分析：(1)由y=ax單調(diào)得a+a2=20,由此可求 a;(2)寫出f (x),代入運(yùn)算可得；(3)借助(2)問結(jié)論分n為奇數(shù)、偶數(shù)討論可求;解：(1) £ 函數(shù) y=ax (a>0 且 aw。在1 ,C a+a2=2Q 4導(dǎo) a=4,或 a= 5 (舍去)；f (I) =-f-(2)由(1)知q'+z,f (x) +f Cl-x)=二一十/£產(chǎn)+2 4 +立4。 44” £"十2 "二+。，2 4%2=1；(3)由(2)知 f (x) +f (1 x) =1,得f (-) +f (-) +f (-n為奇數(shù)時(shí)，n口f d)

9、+f (2) + +f (-n為偶數(shù)時(shí)，nnf +f (2) +f () 綜上，nnn2上的最大值與最小值之和為 20,且y=ax單調(diào),4q工4X十24kl1)n - 1 n _ 1=二 X 1= ?；宜-21 n- 2 1 ti - 1口=2+f(£)=22=2；母.解答：點(diǎn)評:本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識，屬中檔題題型 2 ：指數(shù)函數(shù)的圖像變換例1:已知函數(shù)y=|2x - 2|（ 1）作出其圖象；（ 2）由圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ 3）由圖象指出當(dāng) x 取何值時(shí)，函數(shù)有最值，并求出最值考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像變換專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）函數(shù)y=|2x-2|

10、圖象是由y=2x的圖象向下平移2個單位，再將x軸下方的部分翻著到x軸上方得到（ 2）結(jié)合函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的減區(qū)間和增區(qū)間（ 3）數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng) x=1 時(shí)， ymiin=0 解答：解：（1）函數(shù)y=|2x-2|圖象是由y=2x的圖象向下平移2個單位，再將x軸下方的部分翻著到x軸上方得到，如圖所示：（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的減區(qū)間為（-8, 1,增區(qū)間為（1, +8）.（ 3）數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng) x=1 時(shí)， ymiin=0 點(diǎn)評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.題型3:指數(shù)函數(shù)單調(diào)性例1:已知函數(shù)f (x) =a?2x+b?3x,其中常數(shù)

11、a, b滿足a?bwo(1)若a?b>0,判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(2)若a=- 3b,求f (x+1) > f (x)時(shí)的x的取值范圍.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：(1)分a>0, b>0和a<0, b<0兩種情況討論，運(yùn)用單調(diào)性的定義可作出判斷；(2)當(dāng) a=-3b 時(shí)，f (x) = - 3b?2x+b?3x=b (3x-3?2x),分 b>0, b<0 兩種情況進(jìn)行討論，整理可得指數(shù)不等式解出即可；解答： 解：（1）當(dāng) a>0, b> 0 時(shí),任意

12、 x1 , x2 C R ,且 x1 v x2 ,貝U f (x1) - f (x2) =a戈 父TX .(2-2-)+b(3-3,a>0, b>0,)v 0, b (< 0,£ f (x1) f (x2) < 0,即 f (x1) v f(x2),故函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù);當(dāng)av 0, b<0時(shí)，同理，可判斷函數(shù) f(x)在R上是減函數(shù);(2)當(dāng) a=-3b 時(shí)，f (x) = - 3b?2x+b?3x=b ( 3x - 3?2x),則 f (x+1) >f (x)即化為 b (3x+1 - 3?2x+1) > b (3x-3?2x)

13、,若b>0,則有3x+1 3?2x+1 >3x- 3?2x,整理得,解得x>1;若b<0,則有3x+1 - 3?2x+1 <3x- 3?2x,整理得故b > 0時(shí)，x的范圍是x>1;當(dāng)b<0時(shí)，x的范圍是x< 1.點(diǎn)評:本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論思想，屬基礎(chǔ)題.例2：已知定義在1,1)上的奇函數(shù) f (x).在 xC ( - 1, 0)時(shí)，f (x) =2x+211)試求 f (x)(2)用定義證明f (x)在(-1, 0)上是減函數(shù);(3)若對于xC(0, 1)上的每一個值，不等式 t?2x?f(x)

14、V4x-1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.考點(diǎn): 指數(shù)函數(shù)綜合題；奇偶性與單調(diào)性的綜合.計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：(1)由 f (x)是定義在(-1, 1)上的奇函數(shù)可得 f (0) =0, xC (0, 1)時(shí)，f (x) =-f (-x)=-(2x+2-x);從而寫出f (x)的表達(dá)式；(2)取值，作差，化簡，判號，下結(jié)論五步；(3)對于xC (0, 1)上的每一個值，不等式 t?2x?f (x) v 4x - 1恒成立轉(zhuǎn)化為對于 xC (0, 1)上的1每一個值，不等式t>- 4克+1恒成立，從而可得.解答: 解：(1) Cf(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),e f (0)

15、=0,設(shè) e(0, 1),貝U xe ( 1, 0),貝Uf (x) = - f ( - x)=-(2x+2 - x),2，+2 算£ t - 1, 0)Q, k=O故 f(x) =*2+2)，(0, 1)；(2)任取 x1 , x2C (-1, 0),且 x1 vx2,貝U f (x1) f (x2) =21 - (2 Z + 2)V裝 A宴 宜(2-2 衿找 底尸= x1v x2 V 0,e2 <2 J。，0<2 12 ",故 f (x1 ) - f (x2) > 0,故f (x)在(-1, 0)上是減函數(shù);(3)由題意，t?2x?f (x) <

16、 4x- 1可化為t?2x? ( ( 2x+2 x) v 4x 1,化簡可得，t>- H+l ,F長令 g (x) = - 4 + 1 = i+4 +1,e xe(o, 1),2e g (x) v - 1+40+=0,故對于xC (0, 1)上的每一個值，不等式 t?2x?f (x) V4x-1恒成立可化為t >0點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于難題.例 3:已知函數(shù) f (x) =|2x - 1 - 1|, (xCR).(1)證明：函數(shù)f (x)在區(qū)間(1 , +8)上為增函數(shù)，并指出函數(shù) f (x)在區(qū)間(-8, 1)上的單 調(diào)性；(2)若函數(shù)f

17、 (x)的圖象與直線 y=t有兩個不同的交點(diǎn) A (m, t), B (n, t),其中m<n,求m+n 的取值范圍.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題.專題：計(jì)算題；證明題.分析：(1)函數(shù)單調(diào)性的證明，通常依據(jù)定義，步驟為：取值，作差，變形，定號，下結(jié)論，由于與指數(shù) 函數(shù)有關(guān)，求解時(shí)要利用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(2)由(1)可知，函數(shù)的值域?yàn)?0, 1),要使函數(shù)f (x)的圖象與直線 y=t有兩個不同的交點(diǎn)， 故有t C (0, 1)又函數(shù)f (x)的圖象與直線y=t有兩個不同的交點(diǎn)，所以 A (m, t), B (n, t)分別 位于直線x=1的兩側(cè)，由mvn,得mvlvn,故可以求出 m+n,

18、進(jìn)而由tC (0, 1),可求m+n的取 值范圍.解答：解：(1 )證明：任取 x1 ( 1 , +°° ) , x2 ( 1 , +°° ),且 x1 < x2 , F (町)-f (七盧 1-1|一1* 二(廣 1 - I) 一(產(chǎn) 1-1)=2K1 1 - 2*R(2盯-2叼)廣Y產(chǎn)上,Cx1vx2, y,e 2 1 2 «Q, e f(x1)< f(x2).所以f (x)在區(qū)間(1, +8)上為增函數(shù).(5分)函數(shù)f (x)在區(qū)間(-8, 1)上為減函數(shù).(6分)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在區(qū)間(1, +8)上為增函數(shù)，相應(yīng)的

19、函數(shù)值為(0, +8),在區(qū)間(-8, 1) 上為減函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為(0, 1),由題意函數(shù)f (x)的圖象與直線 y=t有兩個不同的交點(diǎn)，故有 t C (0,1), (8 分)易知A (m, t), B (n, t)分別位于直線 x=1的兩側(cè)，由 mvn,得 mv1vn,故2m-1-1v0, 2n -1 - 1 >0,又 A , B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程 t=|2x - 1 - 1|,故得 t=1 - 2m - 1, t=2n - 1 - 1,即 m=log2 (2-2t), n=log2 (2+2t), (12分)故 m+n=log2 (22t) +log2 (2+2t) =log

20、2 (4 4t2),當(dāng) 0Vt<1 時(shí)，0V4 4t2<4, - oo< 10g2 (4 4t2) V 2.因此，m+n的取值范圍為(- 8, 2). (17分)點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)綜合問題，主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查函數(shù)圖形的性質(zhì)，有較強(qiáng)的綜合 性.依據(jù)定義，證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟通常為：取值，作差，變形，定號，下結(jié)論、課堂達(dá)標(biāo)檢測X 一 "ze e檢測題1：已知函數(shù)f (x) = eK+ e冥(其中e=2.71828是一個無理數(shù))(1)求函數(shù)f (x)的定義域；(2)判斷奇偶性并證明之；(3)判斷單調(diào)性并證明之.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值

21、域；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷.專題：計(jì)算題；證明題.分析：(1)把分子整理變化成和分母相同的一部分，進(jìn)行分子常數(shù)化，則變量只在分母上出現(xiàn)，根據(jù)分母 是一個指數(shù)形式，恒大于零，得到函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).(2)根據(jù)上一問值函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，從 f ( - x)入手整理，把負(fù)指數(shù)變化為正指數(shù)，就 得到結(jié)果，判斷函數(shù)是一個奇函數(shù).(3)根據(jù)判斷函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)出兩個任意的自變量，把兩個自變量的函數(shù)值做差，化成分子 和分母都是因式乘積的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷差和零的關(guān)系.解答：解：f (x)=已+1 =1 已十1(1) Ce2x+1恒大于零,C x C R(2)函數(shù)

22、是奇函數(shù)l-e2x又由上一問知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,e f (x)為奇函數(shù)(3)是一個單調(diào)遞增函數(shù)設(shè) x1 , x2 e R 且 x1 V x2貝U f (x1 ) - f (x2) =1 一C xlv x2 e f(xi)- f(x2)< 0即 f (x1 ) vf (x2)e f (x)在r是單調(diào)增函數(shù)點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的奇偶性的判斷及證明.考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，考查解決 問題的能力，是一個綜合題目.檢測題2：已知函數(shù)f (x) =2ax+2 (a為常數(shù))(1)求函數(shù)f (x)的定義域.(2)若a=1, xC (1, 2,求函數(shù)f (x)的值域.(3)若f (x)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).專題：常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想.分析：(1)利用指數(shù)函數(shù)的定義域來考慮.(2)利用函數(shù)f (x)在(1, 2上的單調(diào)性求函數(shù)的值域.(3)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)u=ax+2必須為減函數(shù).解答：解：(1)函數(shù)y=2ax+2對任意實(shí)數(shù)都有意義，所以定義域