2015年考研數(shù)學(xué)一試題及完全解析(Word版)

1、2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1、設(shè)函數(shù)在連續(xù)，其2階導(dǎo)函數(shù)的圖形如下圖所示，則曲線的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）（a）0 （b）1（c）2 （d）3【答案】(c)【考點(diǎn)】拐點(diǎn)的定義【難易度】【詳解】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上，并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，因此，由的圖形可知，曲線存在兩個(gè)拐點(diǎn)，故選(c).2、設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，則（）（a） （b）（c） （d）【答案】(a)【考點(diǎn)】常系數(shù)非齊次線性

2、微分方程的解法【難易度】【詳解】為齊次方程的解，所以2、1為特征方程的根，從而再將特解代入方程得：3、若級(jí)數(shù)條件收斂，則與依次為冪級(jí)數(shù)的：（a）收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn) （b）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn) （c）發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn) （d）發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】(b)【考點(diǎn)】級(jí)數(shù)的斂散性【難易度】【詳解】因?yàn)闂l件收斂，故為冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)，進(jìn)而得的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為，又由于冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間仍為，因而與依次為冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn).4、設(shè)d是第一象限中曲線與直線圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在d上連續(xù)，則（a） （b） （c） （d）【答案】(d)【考點(diǎn)】二重積分的極坐標(biāo)變換【難易度】【詳解】由得，；

3、由得，由得，由得，所以5、設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多個(gè)解的充分必要條件為（a） （b）（c） （d）【答案】(d)【考點(diǎn)】非齊次線性方程組的解法【難易度】【詳解】有無窮多解或且或6、設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為（a） （b）（c） （d）【答案】(a)【考點(diǎn)】二次型【難易度】【詳解】由，故且：所以，故選(a)7、若為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則（a） （b）（c） （d）【答案】(c)【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】故選8、設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且則（a）-3 （b）3 （c）-5 （d）5【答案】(d)【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】二、填空題：914小題,每小題4分

4、,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.9、【答案】【考點(diǎn)】極限的計(jì)算【難易度】【詳解】10、【答案】【考點(diǎn)】積分的計(jì)算【難易度】【詳解】11、若函數(shù)由方程確定，則.【答案】【考點(diǎn)】隱函數(shù)求導(dǎo)【難易度】【詳解】令，則，又當(dāng)時(shí)，所以，因而12、設(shè)是由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則【答案】【考點(diǎn)】三重積分的計(jì)算【難易度】【詳解】由輪換對稱性，得其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以13、n階行列式【答案】【考點(diǎn)】行列式的計(jì)算【難易度】【詳解】按第一行展開得14、設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則.【答案】【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】，且獨(dú)立，三、解答題：1523小題,共94分.請將解答

5、寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，若與在是等價(jià)無窮小，求，值?！究键c(diǎn)】等價(jià)無窮小量，極限的計(jì)算【難易度】【詳解】是等價(jià)無窮小16、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的，曲線在點(diǎn)處的切線與直線及x軸所圍成的區(qū)域的面積為4，且，求的表達(dá)式.【考點(diǎn)】微分方程【難易度】【詳解】如下圖：處的切線方程為：與軸的交點(diǎn)為：時(shí)，則，因此，.即滿足微分方程：，解得：.又因，所以，故.17、（本題滿分10分）已知函數(shù)，曲線，求在曲線上的最大方向?qū)?shù).【考點(diǎn)】方向?qū)?shù)，條件極值【難易度】【詳解】根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系可知，方向?qū)?shù)沿著

6、梯度方向可取到最大值且為梯度的模.，故故在曲線上的最大方向?qū)?shù)為，其中滿足，即就求函數(shù)在約束條件下的最值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)令可得其中綜上根據(jù)題意可知在曲線上的最大方向?qū)?shù)為.18、（本題滿分10分）()設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明()設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，寫出的求導(dǎo)公式.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義【難易度】【詳解】19、（本題滿分10分）已知曲線的方程為起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分【考點(diǎn)】曲線積分的計(jì)算【難易度】【詳解】曲線的參數(shù)方程為從到20、（本題滿分11分）設(shè)向量組是3維向量空間的一個(gè)基，。（）證明向量組是的一個(gè)基；（）當(dāng)k為何值時(shí)，存在非零向量在基與基下的坐標(biāo)相同，并求出所有的?！究键c(diǎn)】線性無關(guān)，基下的坐標(biāo)【難易度】【詳解】（）因?yàn)?，所以線性無關(guān)，是的一個(gè)基。（）設(shè)，為從基到基的過渡矩陣，又設(shè)在基下的坐標(biāo)為，則在基下的坐標(biāo)為，由，得，即由，得，并解得為任意常數(shù)。從而為任意常數(shù)。21、（本題滿分11分）設(shè)矩陣相似于矩陣.（）求的值.（）求可逆矩陣，使得為對角陣.【考點(diǎn)】相似矩陣，相似對角化【難易度】【詳解】由相似于則解得當(dāng)特征向量當(dāng)則特征向量所以得22、（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為對進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，直到第2個(gè)大于3的觀測值出現(xiàn)時(shí)停止，記為觀測次數(shù).（）求的概率分布；（）求.【考點(diǎn)】【難易度