直線與橢圓的位置關(guān)系--中點(diǎn)弦問題

1、中點(diǎn)弦問題中點(diǎn)弦問題例例2：經(jīng)過橢圓：經(jīng)過橢圓 的左焦點(diǎn)作直線的左焦點(diǎn)作直線l，直線，直線l交交橢圓于橢圓于A，B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，當(dāng)直線當(dāng)直線l l傾斜角為傾斜角為9090時(shí)，求時(shí)，求ABAB的長；的長；222:2,1,1.abc解 由橢圓方程知.則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為-122xy 將 =-1代入橢圓方程得：2AB1y222x通通徑徑22baAB 一般地：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程下通徑弦長公式弦長公式例例2：經(jīng)過橢圓：經(jīng)過橢圓 的左焦點(diǎn)作直線的左焦點(diǎn)作直線l，直線，直線l交交橢圓于橢圓于A，B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，當(dāng)直線當(dāng)直線l l傾斜角為傾斜角為6060時(shí)，求時(shí)，求ABAB的長；的長；222:2,1,1.abc解 由

2、橢圓方程知( 1,0).F 左焦點(diǎn):31 .lyx直線 方程為（）223112yxxy（）2712400yxx 消 得：此時(shí)1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)1212124,77xxxx 22212121211()4ABkxxkxxxx8 271y222x弦長公式弦長公式總結(jié)：總結(jié)：聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組消去其中一個(gè)未知消去其中一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程數(shù)得一元二次方程韋達(dá)定理韋達(dá)定理弦長公式弦長公式弦長公式：弦長公式：221|1|1|ABABABkxxyyk22416M(2,1) .xy例題：在橢圓中，求過點(diǎn)且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線 方程法一：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，法一：當(dāng)直線斜率不

3、存在時(shí)，M不可能為不可能為弦中點(diǎn)，所以弦中點(diǎn)，所以直線斜率存在直線斜率存在，設(shè)直線方程，設(shè)直線方程為為y=k(x-2)+1,代入橢圓方程，消去代入橢圓方程，消去y得得0121616)816()41 (2222kkxkkxk0)3412(16, 04122kkk21, 4418162221kkkkxx得由故直線方程為故直線方程為x+2y-4=022416M(2,1) .xy例題：在橢圓中，求過點(diǎn)且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線 方程11122212( ,),(,),P x yP xyP P解：法二：設(shè)弦兩端點(diǎn)為在橢圓上)4( 14)3( 14)2( 2) 1 ( 4222221212121yxyxyy

4、xx0)(4)()4()3(21212121yyyyxxxx得0)(8)4)2)(1 (2121yyxx（代入上式得在將21,212121xxyykxx所以方程為所以方程為x+2y-4=0中點(diǎn)問題 小結(jié)：小結(jié)：解決中點(diǎn)弦的問題解決中點(diǎn)弦的問題兩種方法兩種方法（1）聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系）聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）進(jìn)行設(shè)而不求，從而簡化運(yùn)算（韋達(dá)定理）進(jìn)行設(shè)而不求，從而簡化運(yùn)算.(2)利用利用“點(diǎn)差法點(diǎn)差法”即即即 P(x0，y0)是弦 AB 的中點(diǎn)，A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上， 將 A、B 坐標(biāo)代入橢圓方程兩式相減，然后結(jié)合 x1x22x0，

5、y1y22y0，及y2y1x2x1k 求解 2注意“設(shè)而不求，整體代換”方法的應(yīng)用 中點(diǎn)弦問題有兩種方法解答常用判別式法，選擇填空常用“點(diǎn)差法”求解，例例1焦點(diǎn)分別為焦點(diǎn)分別為 和和 的的橢圓截直線橢圓截直線y=3x-2所得橢圓的弦的中點(diǎn)所得橢圓的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為0.5，求此橢圓方程。，求此橢圓方程。)25 , 0()25, 0( 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：法法1：設(shè)橢圓的方程：設(shè)橢圓的方程聯(lián)立橢圓與直線方程聯(lián)立橢圓與直線方程利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不解利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不解由中點(diǎn)列出方程由中點(diǎn)列出方程焦點(diǎn)已知焦點(diǎn)已知求出方程求出方程法法2：由：由“點(diǎn)差法點(diǎn)差法”求解求解. 解：法一：解：法一：) 1 ( 50)25(),0( 12222222babaaybx且設(shè)2312222xyaybx由0412)9(2222222babxbxba2196,21222221babxx0(2), 322此時(shí)ba17525,25,75: )2)(1 (2222yxba由法二法二:)0( 12222babxay設(shè)橢圓方程為 (2) 1 (1) 1),(),A(2222222212212211bxaybxayyxByx則直線直線y=3x-2與橢圓交與與橢圓交與A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn).21,21),(, 30000yxyxABkAB中點(diǎn)12121212222121221212()()()()(