直線平面簡(jiǎn)單幾何體(B)(第29課)多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)(一)

1、精品資源歡下載課題：9. 10研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn) （一）教學(xué)目的:1 . 了解多面體與簡(jiǎn)單多面體的概念、發(fā)現(xiàn)歐拉公式.2 .培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、歸納總結(jié)能力.教學(xué)重點(diǎn)：歐拉公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：歐拉定義及其證明.授課類型：新授課.課時(shí)安排：1課時(shí).教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 .內(nèi)容分析：本節(jié)為研究性課題.通過(guò)研究歐拉定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，讓學(xué)生了解歐拉公式及 其簡(jiǎn)單應(yīng)用，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .歐拉生平事跡簡(jiǎn)說(shuō)： 歐拉（Euler），瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家.1707年4月15 日出生于瑞士巴塞爾的一個(gè)牧師家庭，自幼受父親的教育

2、，13歲入讀巴塞爾大學(xué)15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位，1783年9月18日于俄國(guó)彼得堡去逝. （詳 細(xì)資料附后）.2 .多面體的概念：由若干個(gè)多邊形圍成的空間圖形叫 多面體；每個(gè)多邊形叫多 面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫多面體的 棱，棱和棱的公共點(diǎn)叫多面體的 頂點(diǎn)， 連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫多面體的 對(duì)角線.3 .凸多面體：把多面體的任一個(gè)面展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的 同一側(cè)，這樣的多面體叫凸多面體.如圖的多面體則不是凸多面體4 .凸多面體的分類： 多面體至少有四個(gè)面，按照它的面數(shù)分別叫四面體、五面 體、六面體等.二、講解新課：1.簡(jiǎn)單多面體：考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，

3、假定它的面是用橡膠薄膜做 成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面.如圖：象這樣，表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體.說(shuō)明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體2.五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù):正多囿體頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E正四向體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體122030V、面數(shù)F、和棱數(shù)E,并計(jì)算V、面數(shù)F、和棱數(shù)E,并驗(yàn)證上面公式是否還成發(fā)現(xiàn)：它們的頂點(diǎn)數(shù) V、面數(shù)F及棱數(shù)E有共同的關(guān)系 式：V 十F -E =2.上述關(guān)系式對(duì)簡(jiǎn)單多面體都成立3.歐拉公式的探究1 .請(qǐng)查出圖的頂點(diǎn)數(shù)V+ F-

4、E= 6+6-10=22 .查出圖中的頂點(diǎn)數(shù) 立？3 .假如圖一圖的多面體表面是像皮膜，向內(nèi)充氣則將變成一個(gè) 球面，圖將變成兩個(gè)緊貼的球面，圖將變成一個(gè)環(huán)面。 10可以驗(yàn)證：只有像這樣，經(jīng)過(guò)連續(xù)變形，表面能變?yōu)橐粋€(gè)球面的多面體才滿足公式 V+ F- E= 2。這個(gè)公式稱為 歐拉公式，這樣的多面體稱為 簡(jiǎn)單多 面體。4.歐拉定理(歐拉公式)：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù) V、面數(shù)F及棱數(shù)E有關(guān)系式：V +F -E =2 .證明：(方法一)如圖(10):將多面體的底面ABCD耍掉，抻成平面圖形，其頂點(diǎn)、棱數(shù)，面數(shù)(剪掉面用右圖中 ABCD豉示)均沒(méi)有變，故所有面的內(nèi)角總和不變。設(shè)左圖中共有F個(gè)面，分別是n1

5、,n2,|,nF邊形，頂點(diǎn)數(shù)為V,棱數(shù)為E, 則 n1 n2 | H nF = 2E .左圖中，所有面的內(nèi)角總和為(n1 -2)180 (n2 -2)180 (nF -2)180=(n1 +n2 +nF 2F)180口=(2E -2F)180二(E - F )360右圖中，所有面的內(nèi)角總和為V上360斗(V下一2)180葉(V下一2)180口(剪掉的底面內(nèi)角和)=(V± + V±一2)360° = (V -2)3600(E -F)360° = (V -2)3600整理得V F - E =2.(方法二)以四面體 ABCD為例來(lái)說(shuō)明：將它的一個(gè)面 BCD去掉

6、，并使其變?yōu)槠矫鎴D形，四面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)(F -1)變形后都沒(méi)有變.因此，要研究V、E和F的關(guān)系，只要去掉一個(gè)面，將它變形為平面圖形即可對(duì)平面圖形，我們來(lái)研究：(1)去掉一條棱，就減少一個(gè)面 ,例如去掉BC ,就減少一個(gè)面 ABC . 同理，去掉棱 CD、BD ,也就各減少一個(gè)面 ACD、ABD .所以(F1)一E、V的值都不變，因此 V十(F 1)E的值也不變.(2)再?gòu)氖Ｏ碌臉?shù)枝形中，去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn).例如去掉CA ,就減少一個(gè)頂點(diǎn)C.同理，去掉 DA就減少一個(gè)頂點(diǎn) D ,最后剩下AB (如圖).在此過(guò)程中V -E的值不變，但這時(shí)面數(shù) F是0 ,所以V +(f

7、-1)-E的值也不變.由于最后只剩下 AB ,所以V +(F -1)-E =2 + 01 =1 ,最后加上去掉的一個(gè)面，就得到V +F - E = 2.4.歐拉示性數(shù)：在歐拉公式中令 f(p)=V+FE, f(p)叫歐拉示性數(shù).說(shuō)明：(1)簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)f ( P) = 2 .(2)帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)f(p)=0.例如：長(zhǎng)方體挖去一個(gè)洞連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體f(p)=16+16 32=0.三、講解范例：例1 .一個(gè)n面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，求n.解：V + F E = 2, . F = E +2V = 5, . n =5.例2. 一個(gè)正n面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共

8、有三條棱，求 n,一 8 3解：V =8, E =8=12 ,2F = E +2 -V =6,''' n = 6 .四、小結(jié)：歐拉定理及其證明；歐拉示性數(shù).五、課后作業(yè)： 六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）.七、歐拉(Euler Lonhard , 17071783)歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家.在1707年4月15日出生于瑞士的巴 塞爾,1783年9月18日于俄國(guó)的彼得堡去逝.歐拉出生于牧師家庭，自 幼已受到父親的教育.13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲 得碩士學(xué)位.歐拉的父親希望他學(xué)習(xí)神學(xué)，但他最感興趣的是數(shù)學(xué) .在上大學(xué)時(shí)， 他已受到約翰第一.伯努利的特別指導(dǎo)，專心

9、研究數(shù)學(xué)，直至18歲，他徹底的放棄當(dāng)牧師的想法而專攻數(shù)學(xué)，于 19歲時(shí)（ 1726年）開(kāi)始創(chuàng)作 文章，并獲得巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)金.1727年，在丹尼爾伯努利的推薦下，到俄國(guó)的彼得堡科學(xué)院從事研究工作.并在1731年接替丹尼爾第一 伯努利，成為物理學(xué)教授.在俄國(guó)的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析學(xué)、數(shù)論及力學(xué)方面均有出色的表現(xiàn)匕外，歐拉還應(yīng)俄國(guó)政府的要求，解決了不少如地圖學(xué)、造船業(yè)等的實(shí)際問(wèn)題，1735年,他因工作過(guò)度以致右眼失明.在1741年，他受到普魯士 腓特烈大帝的邀請(qǐng)到德國(guó)科學(xué)院擔(dān)任 物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)一職.他在柏林期間，大大的擴(kuò)展了研究的內(nèi)容，如行星運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)等

10、，這些工作與他的數(shù)學(xué)研究互相推動(dòng)著,與此同時(shí)，他在微分方程、曲面微分幾何及其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域均有開(kāi)創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn) .1766年，他應(yīng)俄國(guó)沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡 .在1771年，一場(chǎng)重病使他的左眼亦 完全失明.但他以其驚人的記憶力和心算技巧繼續(xù)從事科學(xué)創(chuàng)作.他通過(guò)與助手們的討論以 及直接口授等方式完成了大量的科學(xué)著作，直至生命的最后一刻.歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾 乎整個(gè)物理的領(lǐng)域.此外，他 是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫(xiě)了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何 學(xué)、變分法的課本，無(wú)窮小分析引論（1748）,微分學(xué)原理（1755）,以及積分學(xué)原理（1768-1770

11、 ）都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作*歐拉最大的功績(jī)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域，為微分幾何及分析學(xué)的一些重要分支（如無(wú)窮 級(jí)數(shù)、微分方程等）的產(chǎn)生與發(fā)展奠定了基礎(chǔ).歐拉把無(wú)窮級(jí)數(shù)由一般的運(yùn)算工具轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)重要的研究科目.他計(jì)算出E函數(shù)在偶數(shù)點(diǎn)的值.他證明了 a2k是有理數(shù)，而且可以伯努利數(shù)來(lái)表示 .此外，他對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)亦有所研究，并相當(dāng)精確的計(jì)算出歐拉常數(shù)丫的值，其值近似為0.57721566490153286060651209在18世紀(jì)中葉，歐拉和其它數(shù)學(xué)家在解決物理方面的問(wèn)過(guò)程中，創(chuàng)立了微分方程學(xué).當(dāng)中，在常微分方程方面，他 完整地解決了 n階常系數(shù)線性齊次方程的問(wèn)題，對(duì)于非齊次方程，他提出了一種降低方程階

12、的解法；而在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動(dòng)的問(wèn)題，歸結(jié)出了一、二、三維波動(dòng)方程的解法.歐拉所寫(xiě)的方程的積分法研究更是 偏微分方程在純數(shù)學(xué)研究中的第一篇論文.在微分幾何方面（微分幾何是研究曲線、曲面逐點(diǎn)變化性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支），歐拉引入了 空間曲線的參數(shù)方程， 給出了空間曲線曲率半徑的解析表達(dá)方式.在1766年，他出版了關(guān)于曲面上曲線的研究，這是歐拉對(duì)微分幾何最重要的貢獻(xiàn)，更是微分幾何發(fā)展史上一個(gè)里程碑.他將曲面表為z=f（x,y），并引入一系列標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)以表示z對(duì)x, y的偏導(dǎo)數(shù)，這些符號(hào)至今仍通用匕外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式.歐拉在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)不勝枚舉，如他引入

13、了 G函數(shù)和B函數(shù)，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等.在代數(shù)學(xué)方面，他發(fā)現(xiàn)了每個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式必分解為一次或二次因子之積， 即a+bi的形式.歐拉還給出了費(fèi)馬小定 理的三個(gè)證明，并引入了 數(shù)論中重要的歐拉函數(shù) 小（n）,他研究數(shù)論的一系列成果奠定了數(shù)論成為數(shù)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立 分支歐拉又用解析方法討論數(shù)論問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了 E函數(shù)所滿足的函數(shù)方程，并引入歐拉乘積 . 而且還解決了著名的柯尼斯堡七橋問(wèn)題.歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家,從19歲起和歐拉通信、討論等周問(wèn)題的一般解法， 從而引起了變分法的誕生.等周問(wèn)題是歐拉多年來(lái)苦心考慮的問(wèn)題，拉格朗日的解法，博得了歐拉

14、的熱烈贊揚(yáng)，1759年10月2日歐拉在回信中盛贊拉格朗日的成就，并謙恭地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發(fā)表，使年輕的拉格朗日的著作得以發(fā) 表和流傳，贏得巨大聲譽(yù).1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計(jì)算氣球上升定律的成功，請(qǐng)朋友們吃飯.那時(shí)天王星剛發(fā)現(xiàn)不久，歐拉寫(xiě)出計(jì)算天王星軌道的要領(lǐng)，還和他的孫子逗笑，喝茶后，突然 疾病發(fā)作，煙斗從手中落下歐拉就這樣“停止了生命和計(jì)算”歷史學(xué)家把歐拉和阿基米德、牛頓、高斯并列為有史以來(lái)貢獻(xiàn)最大的四位數(shù)學(xué)家.他 們有一個(gè)值得注意的共同點(diǎn)，就是在創(chuàng)建純粹理論的同時(shí)，還應(yīng)用這些數(shù)學(xué)工具去解決大量 天文、物理、力學(xué)等方面的實(shí)際問(wèn)題.他們的工作常常是跨學(xué)科的，他們不斷地從