直線的傾斜角和斜

1、教 學(xué) 設(shè) 計直線的傾斜角和斜率 西安高級中學(xué)高 一 數(shù) 學(xué)李 秋 俠普通高中課程標(biāo)準實驗教科書（北京師范大學(xué)出版社）數(shù)學(xué)2（必修）第二章解析幾何初步§1.1直線的傾斜角和斜率（教學(xué)設(shè)計 ） 西安高級中學(xué)李秋俠一、設(shè)計思想：學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)過函數(shù)的圖像，了解在坐標(biāo)系中點與實數(shù)對的對應(yīng)，這正是解析幾何的研究方法，而直線是解析幾何中最基本最簡單的研究對象，它既能為進一步的學(xué)習(xí)做好知識上的準備，又能為后面靈活運用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎(chǔ)。所以本節(jié)課在設(shè)計時特別重視知識的形成，過程的感悟，概念的辨析，引導(dǎo)學(xué)生注重傾斜角、斜率的相互關(guān)系，掌握過兩已知點的直線的斜率公式，并能根據(jù)

2、直線的斜率求傾斜角，利用斜率判定三點共線；充分利用多媒體形象展示，使學(xué)生全面地、多角度、多層次地認知新概念，特別是利用幾何畫板的動態(tài)演示，透徹理解傾斜角、斜率的概念、取值范圍、及變化規(guī)律，強化“數(shù)”與“形”的結(jié)合與轉(zhuǎn)化；另外斜率公式的推導(dǎo)采取逐步遞進，發(fā)展到用直線上的兩點的坐標(biāo)表示斜率，體現(xiàn)新課標(biāo)的遞進、螺旋式認知理念；通過圖片展示使學(xué)生了解解析幾何及其在生活科學(xué)等方面的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引導(dǎo)學(xué)生樹立遠大理想，崇尚科學(xué)。在引導(dǎo)學(xué)生用傾斜角的正切值表示直線的斜率時，由于學(xué)生毫無三角函數(shù)基礎(chǔ)，只要求給出會用即可，不能用知識的聯(lián)系性、思維的連貫性的傳統(tǒng)理念，去增加補充三角函數(shù)知識，否則就與新

3、課程理念相背離了。 二三維目標(biāo)1.通過具體圖形理解確定直線的幾何要素，理解直線傾斜角、斜率的概念，感受直線的方向與傾斜角及斜率之間的對應(yīng)關(guān)系。掌握過兩點的直線斜率的計算公式，初步感受解析幾何的本質(zhì)，用代數(shù)的方法解決幾何的問題，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。2.培養(yǎng)和提高學(xué)生聯(lián)系、對應(yīng)、轉(zhuǎn)化等辨證思維能力，形成嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。3.營造輕松、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、合作意識及語言表述能力。三、內(nèi)容和內(nèi)容分析本課是北師大版數(shù)學(xué)必修2第一節(jié)直線的傾斜角與斜率的第一課時，是高中解析幾何第一節(jié)課,主要知識點是直線傾斜角和斜率，它是解析幾何的最基本的、也是重要的概念之一，也是刻畫直線傾斜程

4、度的幾何要素，是用坐標(biāo)法研究幾何圖形的解析方法的初次體現(xiàn)。通過本節(jié)課對直線傾斜角與斜率的研究能夠使學(xué)生初步感受到解析幾何的本質(zhì)，步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。因而本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想和方法尤顯重要四教學(xué)重點：直線的傾斜角和斜率的概念，用代數(shù)的方法刻畫直線斜率的過程及過兩點的直線的斜率公式；教學(xué)難點：斜率概念的理解和斜率公式的推導(dǎo)。教學(xué)方法：通過實例創(chuàng)設(shè)教學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生感悟到知識的生成。五學(xué)情分析初中學(xué)生已在平面坐標(biāo)系中對一次函數(shù)借助幾何圖形研究了性質(zhì)，圖形非常熟悉。學(xué)生對三角函數(shù)的認識相對淺得多，對斜率用傾斜角的正切值表示困難較大，但也要求學(xué)生掌握特殊角度正切值。六現(xiàn)代信息技術(shù)使用為了有

5、效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，考慮到學(xué)生的知識水平和理解能力，借助計算機工具和現(xiàn)實生活中的相關(guān)實物圖片，從激勵學(xué)生探究入手，講練結(jié)合，直觀演示能使教學(xué)更富趣味性和生動性。1.利用圖片介紹解析幾何。2.幻燈展示設(shè)問問題、例題、引入中的課件（一，二），利用幾何畫板演示傾斜角的大小與直線斜率的關(guān)系；3. 幻燈展示課堂小結(jié)、課后作業(yè)及探究。4.新知識學(xué)習(xí)過程中的探究設(shè)問：七導(dǎo)學(xué)流程1.利用圖片介紹解析幾何。2.幻燈展示設(shè)問問題、例題、引入中的課件（一，二），利用幾何畫板演示傾斜角的大小與直線斜率的關(guān)系；3. 利用課件演示，引出直線斜率公式4.新知應(yīng)用5.知識延伸6.幻燈展示課堂小結(jié)、課后作業(yè)及探究。八.新知識學(xué)習(xí)過

6、程中的探究設(shè)問：確定一條直線的位置需要什么條件？用什么量描述直線的傾斜程度呢？傾斜角概念中的要點有哪些？傾斜角的取值范圍？能為任何直線都有傾斜角嗎？唯一嗎？除了傾斜角還有什么能表示直線的“傾斜程度”？任何直線都有斜率嗎？不與軸垂直的直線的斜率除了用外，用直線上的兩點的坐標(biāo)怎樣表示呢？用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意什么？三點共線的實質(zhì)是什么?九教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動技術(shù)支持導(dǎo)入本章內(nèi)容導(dǎo)入本節(jié)內(nèi)容直線的傾斜角概念引出直線的斜率斜率公式一斜率與傾斜角的關(guān)系斜率公式二新知應(yīng)用知識目標(biāo)檢測能力目標(biāo)檢測在初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)時，我們建立了坐標(biāo)系，使平面內(nèi)的點和實數(shù)對(x,y)建立起了一

7、一對應(yīng)的關(guān)系。初步學(xué)會用代數(shù)方法描述幾何問題（直線、拋物線），把幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題并研究它的性質(zhì)。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。從而形成了數(shù)學(xué)的一個分支-解析幾何。高中主要學(xué)習(xí)平面解析幾何。平面解析幾何除了研究直線及直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。它不僅是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在生產(chǎn)或生活中也被廣泛應(yīng)用。如行星運動軌跡。比如探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的。 在科技迅猛發(fā)展的今天，有多少發(fā)明創(chuàng)造有待我們?nèi)ネ瓿?？！今天我們就開始進入平面解析幾何這個新領(lǐng)域。研究非常重要的，又非?；A(chǔ)的直

8、線的有關(guān)概念-直線的傾斜角和斜率。在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，大家知道它的圖像是一條直線。一確定一條直線位置的幾何要素：問：觀察所給直線，如何確定直線的位置呢？答：“兩點定一線”。問：除此之外還可以用什么來確定呢？學(xué)生思考.若為已知常數(shù)，為變化值，則直線可視為由平移而來的一系列平行直線，直線的方向是相同的；（課件一）若為已知常數(shù)，為變化值，則直線可視為過定點的一系列直線，直線的方向是變化的；由上述情形可看出：確定一條直線的位置還有一個方法：一個點和一個方向；二傾斜角由（課件二）可看出：直線的方向與直線的傾斜程度有關(guān)，直線的傾斜程度和直線與軸所成的角度有關(guān)，對于任意一條與軸相交的直線，把這個角的頂點放

9、在交點處，規(guī)定角的方向為逆時針，即可產(chǎn)生一個能夠描述直線傾斜程度的角叫傾斜角。1.傾斜角的定義：對于任意一條與軸相交的直線，把軸（正方向）按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所成的角，叫作直線的傾斜角。記為，則；特殊地：當(dāng)直線與軸平行或重合時，規(guī)定直線的傾斜角為；2. 傾斜角的取值范圍：；三直線的斜率：問：直線的傾斜角可以刻畫直線的傾斜程度，除此之外生活中，還可以用什么來刻畫直線的“傾斜程度”呢？教師通過圖例引導(dǎo)：還可以用“坡度”來刻畫道路、樓梯的“傾斜程度”，相當(dāng)于在水平方向移動一個單位，在鉛直方向上升或下降的數(shù)值；類似地定義可以得到直線的斜率的概念，不妨先設(shè)直線過原點，（1）當(dāng)時，當(dāng)點從

10、O到P時，橫坐標(biāo)增加一個單位，縱坐標(biāo)從0增加到，稱為這條直線的斜率; ,直線的斜率也可用來計算。公式1：由于三角函數(shù)的知識還不到位，此公式暫屬了解階段，但也應(yīng)熟記特殊角的正切值：（2）當(dāng)時，當(dāng)點從O到P時，橫坐標(biāo)增加一個單位，縱坐標(biāo)從0減少了，稱為這條直線的斜率; （3）當(dāng)時，這條直線的斜率不存在; 問：若直線不過原點怎么辦呢？答：若直線不過原點，則總可以過原點做一條與此直線平行的直線，這兩直線的傾斜角是相等的，斜率即可用過原點的這條直線的斜率來表示，方法同上；可以看出：當(dāng)時，直線的斜率是0;當(dāng)時，直線的斜率是正的; 傾斜角越大，直線的斜率就越大；當(dāng)時，直線的斜率不存在；當(dāng)時，直線的斜率是負的

11、; 傾斜角越大，直線的斜率就越大；問：用傾斜角的正切值可以表示直線的斜率，用直線上點的坐標(biāo)能表示斜率嗎？觀察：過原點的直線上的點（1，k）的縱坐標(biāo)k就是直線的斜率，任取異于原點的點，則其斜率可以用其縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比表示。問：看下圖，直線的斜率是多少呢？答：直線的斜率是；問：直線不過原點時，斜率是否還能用直線上點的坐標(biāo)表示呢？四斜率公式在直線上任取兩點，設(shè)，則： 問：這個公式是不是任何時候都成立呢？問：任何直線都有斜率嗎？問：公式的特點有哪些1. 時公式才成立，時不能用此公式，此時直線的斜率不存在。2. 當(dāng)時，直線與軸垂直，斜率不存在。3.是直線上的任意兩點；3. 公式中的分子分母的下標(biāo)應(yīng)是一

12、致的； 4斜率與的順序無關(guān)；5.當(dāng)直線與平行時，公式依然成立，此時；五應(yīng)用示例：例1：已知直線的傾斜角，求斜率。解：（1）不存在；例2下圖中能表示直線傾斜角的是 （1）（3） ;例3：求過已知兩點的直線斜率解：（1）直線的斜率為：；（2）直線AB的斜率為；例4.在平面直角坐標(biāo)系中畫出經(jīng)過原點且斜率為的直線。解：只須找出點，然后分別與原點連成直線即可。例5.直線的傾斜角為直線與垂直，求的斜率。解：如圖：的傾斜角為的斜率分別為：例6.已知點，當(dāng) 時，直線MN的傾斜角為銳角；當(dāng) 時，直線MN的傾斜角為直角；當(dāng) 時，直線MN的傾斜角為鈍角；解：當(dāng)即時，直線MN與軸平行，傾斜角為直角；當(dāng)即時，若即時，直

13、線MN的傾斜角為銳角；或時，直線MN的傾斜角為鈍角；例7.已知三點在同一條直線上，求的值。解：三點共線，或六知識小結(jié)：一本節(jié)課所學(xué)基本知識點有：1.確定直線的要素：由兩點或一點和方向確定。2.直線的傾斜角和傾斜角的取值范圍；3.直線的斜率的概念，求斜率的三種途徑； 1)用截直線所得的縱坐標(biāo)；2）；3）公式 二感受到的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法： 數(shù)形結(jié)合三情感態(tài)度熱愛生活，善于發(fā)現(xiàn)，用于研究和探討。七作業(yè)1.課后探究：（分組討論）1）經(jīng)過兩點的直線的斜率和傾斜角的變化。2）2；2.書面作業(yè)：習(xí)題2-1A組1，2，3，4；練習(xí)：1，3，4，5；學(xué)生觀察圖片，了解解析幾何的起源以學(xué)生觀察圖片，了解平面解析

14、幾何研究的內(nèi)容和重要性。學(xué)生觀察圖片，感悟生活中的數(shù)學(xué)美。激發(fā)學(xué)生求知欲，培養(yǎng)學(xué)生愛科學(xué)的態(tài)度。引導(dǎo)學(xué)生在直角坐標(biāo)系中研究直線。探究確定直線位置的幾個要素。學(xué)生觀察得出：直線的傾斜程度與斜線和軸所成的角度有關(guān)讀教材，明確傾斜角的定義。準確理解概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)量。培養(yǎng)學(xué)生分類討論的能力學(xué)生互相議論，探討。引導(dǎo)學(xué)生討論得出：過原點的直線的斜率可以用傾斜角的正切值來表示由于三角函數(shù)的知識還不到位，這種情況下的斜率直接給出，有待以后解決。引導(dǎo)學(xué)生得出：斜率的正負及大小與傾斜角的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分類討論能力。學(xué)生討論得出結(jié)論：過原點的直線的斜率可以用其上一點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比表示。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)思想討論得出任

15、意直線的斜率可以用其上兩點的坐標(biāo)表示。 思考這個公式成立的條件，分析不成立的直線位置。培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維?？诖?。熟記特殊角的正切值?？疾鞂W(xué)生新知識掌握能力及公式的正確性?？疾鞂W(xué)生應(yīng)用知識的靈活性。指導(dǎo)學(xué)生積極研究，互相合作，培養(yǎng)積極的學(xué)習(xí)熱情好探究能力。 獨立思考，知識拓展、鞏固。知識延伸，考察學(xué)生綜合能力。利用powerpoint放圖片利用powerpoint演示，教師講解，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的美妙曲線。利用幾何畫板，演示平面直角坐標(biāo)系中的不同位置的直線。培養(yǎng)學(xué)生研究歸納能力。展示道路、樓梯的圖片，觀察傾斜程度培養(yǎng)學(xué)生歸納，提煉知識的能力。幾何畫板演示，觀察斜率的正負及大小與傾斜角的關(guān)系板演

16、：推到斜率公式，分析成立條件，揭示不成立的時的位置特征，學(xué)生作筆記。老師板演，學(xué)生口述。學(xué)生板演感受數(shù)學(xué)豐富內(nèi)涵。十.課后反思：本節(jié)課設(shè)計的教學(xué)目標(biāo)在同學(xué)們的配合下完成的很好。這節(jié)課在以下幾個方面比較成功：1）利用多媒體形象展示，使學(xué)生真切感受到生活中的數(shù)學(xué)模型，達到了全面地、多角度、多層次地認知新概念的目的；激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探知欲望，培養(yǎng)了學(xué)生熱愛生活、熱愛科學(xué)的情感，很好地體現(xiàn)了新課標(biāo)的三維目標(biāo)，注重知識的形成，過程的感悟，情感價值觀的培養(yǎng)；2)新知導(dǎo)學(xué)設(shè)問很好，問題設(shè)置合理有層次，使整個教學(xué)既有層次感，又流暢自然，學(xué)生清楚自己每個階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，對所要學(xué)習(xí)的新知識關(guān)注點相對集中，目的性強；3）直線傾斜角、斜率的相互關(guān)系及變化規(guī)律，一直以來都是學(xué)生的難點和易錯點，又是本節(jié)課的難點，即便是學(xué)習(xí)了三角函數(shù)知識，這個難點總是很難突破，何況新教材中的三角函數(shù)現(xiàn)在還沒有學(xué)，我利用直線與直線交點的縱坐標(biāo)的值的變化使其得到很好的化解和突破，并且非常有利于學(xué)生理解和記憶；特別是對水平與豎直兩種特殊位置的直線的斜