機(jī)械振動(dòng)2012級(jí)-2

1、1第第六六章章 機(jī)機(jī)械械振振動(dòng)動(dòng)2kxF222d x+ x=0dtcos()xAt1、簡諧振動(dòng)基本規(guī)律：、簡諧振動(dòng)基本規(guī)律：簡諧振動(dòng)方程簡諧振動(dòng)方程一、簡諧振動(dòng)一、簡諧振動(dòng)32cos()22d xaAtdt cos()xAt2、簡諧振動(dòng)的速度和加速度、簡諧振動(dòng)的速度和加速度sin()At dxdtvcos()2mtcos()matmA2maA4二、簡諧振動(dòng)方程二、簡諧振動(dòng)方程2cos()cos()xAtAtT2T1、周期周期kmT2彈簧振子周期彈簧振子周期注意注意mk221T2、頻率頻率對給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期和頻率由對給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期和頻率由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定系統(tǒng)本身性質(zhì)決定522020vxA0

2、0tanxv對給定振動(dòng)系統(tǒng)，振對給定振動(dòng)系統(tǒng)，振幅和初相由初始條件幅和初相由初始條件決定。決定。A3 3、常數(shù)、常數(shù)和和的公式的公式6220dgdtl單擺小角度擺動(dòng)在角位移很小的時(shí)候，單擺的擺動(dòng)是簡諧振動(dòng)。在角位移很小的時(shí)候，單擺的擺動(dòng)是簡諧振動(dòng)。角頻率和振動(dòng)的周期分別為：角頻率和振動(dòng)的周期分別為：結(jié)論gm運(yùn)動(dòng)方程為：運(yùn)動(dòng)方程為：Tgl22lTg0cos()t2022d x xdt 復(fù)擺（物理擺）小角度擺動(dòng)也是簡諧振動(dòng)。簡諧振動(dòng)。713. 單擺做小幅擺動(dòng)的最大擺角為m，擺動(dòng)周期為T，時(shí)處于圖示位置，選單擺平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右方為正向，則振動(dòng)方程為_.cos()mt2cos()mtT0t 0

3、cos02 00v2cos()2mtT2 8例2、已知某簡諧振動(dòng)的、已知某簡諧振動(dòng)的 位移與時(shí)間的關(guān)系曲位移與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。431.431. 715.715. 01)(st)(cmx解解00v cos()xAt振動(dòng)方程為：振動(dòng)方程為：由圖可知：由圖可知：cm4 .31 A cos1/20 sin0vA2 /3 2 /3 sin0? 00:15.7tx 0cos/ 2, xAA / 2,A 9cos(2/3)/ 2AA2/1)3/2cos( 3/3/2 31.4cmA2/ 3 cos()xAt? 431.431. 715.715. 01)(s

4、t)(cmx15.7cm/2xA1s:t 0v (1)x t1cos()tAt10)SI)(32cos(314. 0 tx振動(dòng)方程為：振動(dòng)方程為：(1)sin(2/3)0v tA2/3/3 0)3/2sin( 23353/ ，cm4 .31 A 2/ 3cos()xAt? 431.431. 715.715. 01)(st)(cmx?11xoAtx圖圖tv圖圖ta 圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT問題：問題：有無更簡單、更直觀有無更簡單、更直觀的研究簡諧振動(dòng)的方法？的研究簡諧振動(dòng)的方法？6-2 6-2 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法12一、一、 描述諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法描述諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法xo

5、xA1、 旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法t = 0 t+Ax00cosxA tt cos)xAt（cos)xAt（1 1）矢量的）矢量的模等于簡諧模等于簡諧振動(dòng)的振幅振動(dòng)的振幅A A。（2 2）矢量繞矢量繞O O點(diǎn)作逆時(shí)針點(diǎn)作逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度的大其角速度的大小等于簡諧振小等于簡諧振動(dòng)的角頻率動(dòng)的角頻率 。（3 3）在）在t t=0=0時(shí)，時(shí)，矢量矢量A A和和x軸的正軸的正方向夾角為方向夾角為。任意時(shí)刻任意時(shí)刻t t ，它與它與x 軸的正方向夾角為軸的正方向夾角為 t+t+13cos()xAt 以以 為原為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)在的端點(diǎn)在 軸軸上的投影點(diǎn)的上的投

6、影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)動(dòng). .xAo14xoAx0 , v0 Ax0, v0 x0 x0 , v0 x=A,v=0 x = -A, v = 0 x = 0,v 02 2、 旋轉(zhuǎn)矢量位置與振動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系旋轉(zhuǎn)矢量位置與振動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系x15用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的 圖圖tx 163 3、 旋轉(zhuǎn)矢量的應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量的應(yīng)用1、 兩個(gè)同頻率諧振動(dòng)的振動(dòng)步調(diào)兩個(gè)同頻率諧振動(dòng)的振動(dòng)步調(diào)x1 = A1 cos( t +1) x2 = A2 cos( t + 2) 21 = ( t +2 ) - ( t + 1) = 2 - 1兩個(gè)諧振動(dòng)的相位差：兩個(gè)諧振動(dòng)的相位差：稱振動(dòng)（稱振動(dòng)

7、（2）超前超前振動(dòng)（振動(dòng)（1） ；若若2 1：稱振動(dòng)（稱振動(dòng)（2）落后落后振動(dòng)（振動(dòng)（1） 。若若2 2 1 1： 取小于取小于 的值。的值。x20t 117當(dāng)當(dāng) = 2k , ( k =0,1,2,), ,兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同, ,稱同相稱同相 同相和反相同相和反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相X20t 1x1 = A1 cos( t +1) x2 = A2 cos( t +2) = =2 2 - -1 118當(dāng)當(dāng) = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反, ,稱反相稱反相x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相x0t x1

8、 = A 1cos( t +1) x2 = A2 cos( t +2) = =2 2 - -1 1192、 利用旋轉(zhuǎn)矢量確定初相位利用旋轉(zhuǎn)矢量確定初相位 要求條件：要求條件： x0 與與A的關(guān)系，初速度的正負(fù)。的關(guān)系，初速度的正負(fù)。 xo1 2/23/2 4/3 已知一質(zhì)點(diǎn)做簡諧振動(dòng)。已知一質(zhì)點(diǎn)做簡諧振動(dòng)。t = 0 t = 0 時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如下：時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如下：1 1）位于負(fù)最大位移處；位于負(fù)最大位移處；2 2）經(jīng)過平衡位置向位移的負(fù)方向）經(jīng)過平衡位置向位移的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)； 3 3）經(jīng)過平衡位置向位移的正方向運(yùn)動(dòng)；）經(jīng)過平衡位置向位移的正方向運(yùn)動(dòng)；4 4）經(jīng)）經(jīng)過過1/21/2正最大位

9、移處且向位移的正方向運(yùn)動(dòng)。試用旋轉(zhuǎn)正最大位移處且向位移的正方向運(yùn)動(dòng)。試用旋轉(zhuǎn)矢量法確定各種情況下的初相。矢量法確定各種情況下的初相。例例題題3 320例例題題4解解用旋轉(zhuǎn)矢量法求解。用旋轉(zhuǎn)矢量法求解。0 , 2/7 .15:000 vAxt xo230 , 2/7 .15:11 vAxt2/A2/A t20 314SI3xAcos(t).cos(t)() 431.431. 715.715. 01)(st)(cmx此時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量在哪里？此時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量在哪里？已知某簡諧振動(dòng)的已知某簡諧振動(dòng)的 位移與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖位移與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。所示，試求其振動(dòng)方程。 （A、 ）21

10、6-3簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的能量22O x Xmk2m2221sin ()2mAt1 1、振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能、振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能 以彈簧振子為例討論簡諧振動(dòng)的能量以彈簧振子為例討論簡諧振動(dòng)的能量221vmEk21sin()2mAt221sin ()2kAtcos()xAt23O x Xm221cos ()2kAt3 3 、系統(tǒng)總能量、系統(tǒng)總能量kpEEE2 2、振動(dòng)系統(tǒng)的勢能、振動(dòng)系統(tǒng)的勢能221sin ()2kEkAt2p12Ekx212kA總能量與振幅的平方成正比這是簡諧振動(dòng)的一個(gè)基本總能量與振幅的平方成正比這是簡諧振動(dòng)的一個(gè)基本振幅不僅代表振動(dòng)的振幅不僅代表振動(dòng)的幅度而且反映振動(dòng)能幅度而且反映

11、振動(dòng)能量的大小，或者說反量的大小，或者說反映振動(dòng)的強(qiáng)度。映振動(dòng)的強(qiáng)度。特征，對于其它簡諧振動(dòng)這一結(jié)論也成立特征，對于其它簡諧振動(dòng)這一結(jié)論也成立24簡簡 諧諧 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 能能 量量 圖圖tkAE22pcos21tkAEk22sin214T2T43T能量能量otTtx tvv, xtoTtAxcostAsinv221kAE 0 系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量特點(diǎn)簡諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量特點(diǎn)212kpEEEkA257 7、 一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為E E1 1，如果簡，如果簡諧振動(dòng)振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)諧振動(dòng)振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增為原來的四倍，則它的總能量量增為原來的四倍，則它的總能量E E2 2變?yōu)樽優(yōu)?(A) E1/4 (B) E1/2 (C) 2E1 (D) 4 E1 D222kp1122EEEmAkA26 8、一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，當(dāng)位移為振幅的一半時(shí)，其、一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，當(dāng)位