高考數學二輪復習專題19圓錐曲線的概念及其幾何性質（學生版）

1、1 / 20 方法技巧專題 19 圓錐曲線的概念及其幾何性質 一、 圓錐曲線的概念及其幾何性質知識框架 二、圓錐曲線的定義、方程 【一】圓錐曲線的定義【一】圓錐曲線的定義 2 / 20 1.1. 例例題題 【例【例 1 1】設p是橢圓2212516xy+=上的點,若21,ff是橢圓的兩個焦點,則12pfpf+等于 ( ) a.4 b.5 c.8 d.10 【例【例 2 2】已知橢圓c:22194xy+=,點 m與 c 的焦點不重合,若m關于c的焦點的對稱點分別為ba,線段mn的中點在c上,則|anbn+= . 【例【例 3 3】已知雙曲線122= yx,點21,ff為其兩個焦點,點p為雙曲線上

2、一點,若21pfpf ,則21pfpf +的值為_. 1、橢圓、橢圓 （1）秒殺思路：動點到兩定點(距離為2c)距離之和為定值(2a)的點的軌跡； （2）秒殺公式：過拋圓的一個焦點作弦ab,與另一個焦點f構造fab，則fab的周長等于a4。 （3） 當ca22 時，表示橢圓；當ca22 =時，表示兩定點確定的線段； 當ca22 時，表示無軌跡。 2、雙曲線、雙曲線 （1）秒殺思路： 雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值是常數2a; 注意定義中兩個加強條件:（i）絕對值; （ii）22ac； 加絕對值表示兩支(或兩條),不加絕對值表示一支(或一條); （2）秒殺公式：過雙曲線的一個焦點作弦a

3、b（交到同一支上），與另一個焦點f構造fab，則fab的周長等于aba24 +。 （3） 當22ac時，表示雙曲線； 當22ac=時，表示以兩定點為端點向兩側的射線； 當22ac時，無軌跡； 當20a =時表示兩定點的中垂線。 3 / 20 【例【例 4 4】設橢圓1c的離心率為135,焦點在x軸上且長軸長為 26,若曲線2c上的點到橢圓1c的兩個焦點的距離的差的絕對值等于 8,則曲線2c的標準方程為 ( ) a.1342222=yx b.15132222=yx c.1432222=yx d.112132222=yx 【例【例 5 5】( (2016 年新課標全國卷 i10)以拋物線c的頂點為

4、圓心的圓交c于ba,兩點,交c的準線于ed,兩點.已知ab=4 2,de=2 5,則c的焦點到準線的距離為 ( ) a.2 b.4 c.6 d.8 【例【例 6 6】已知拋物線22(0)ypx p=的焦點為f,點()111, yxp,()222, yxp,()333, yxp 在拋物線上,且2132xxx=+,則有 ( ) a.123fpfpfp+= b.222123fpfpfp+= c.2132 fpfpfp=+ d.2213fpfp fp= 【例【例 7 7】(2017 年新課標全國卷 ii)已知f是拋物線:c的焦點,m是c上一點,fm的延長線交軸于點n.若m為fn的中點，則fn= . 【

5、例【例 8 8】m是拋物線24yx=上一點,f 是拋物線的焦點,以fx為始邊、fm為終邊的角60 xfm=,求fm. 【例【例 9 9】拋物線24yx=的焦點為f,準線為l,經過f且斜率為3的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點a,akl,垂足為k,則akf的面積是 ( ) 28yx=y4 / 20 a.4 b.3 3 c.4 3 d.8 2.2.鞏固提升綜合練習鞏固提升綜合練習 【練習【練習 1 1】(2011 年新課標全國卷 14)在平面直角坐標系xoy中,橢圓c的中心為原點,焦點12,f f在x軸上,離心率為22.過1f的直線l交c于,a b兩點,且2abf的周長為 16,那么c的方程為

6、 . 【 練 習【 練 習2 2 】 已 知為 橢 圓的 兩 個 焦 點 , 過的 直 線 交 橢 圓 于,a b兩點,則= . 【練習【練習 3 3】已知雙曲線c的離心率為 2，焦點為1f、2f,點a在c上,若122f af a=,則21cosaf f= a.14 b.13 c.24 d.23 【練習【練習 4 4】若雙曲線 的左、右焦點分別為,點在雙曲線上,且,則 等于 ( ) a.11 b.9 c.5 d.3 【練習【練習 5 5】拋物線24yx=上的一點m到焦點的距離為 1,則點m的縱坐標是 ( ) a.1617 b.1615 c.87 d.0 【練習【練習 6 6】已知f是拋物線2y

7、x=的焦點,a b是該拋物線上的兩點,=3afbf+,則線段ab的中點到y(tǒng)軸的距離為 ( ) a.34 b.1 c.54 d.74 【練習【練習 7 7】(2014 年新課標全國卷 i10)已知拋物線c:28yx=的焦點為f,準線為l,p是l上一點,q是直線pf與c的一個焦點,若4fpfq=,則|qf= ( ) 21ff、192522=+yx1f1222=+bfafab22:1916xye=12,f fpe13pf =2pf5 / 20 a.72 b.52 c.3 d.2 【練習【練習 8 8】(2017 年新課標全國卷 ii 文 12)過拋物線xyc4:2=的焦點f,且斜率為3的直線交c于點

8、m(m在x軸上方),l為c的準線,點n在l上且lmn ,則m到直線nf的距離為 ( ) a.5 b.22 c.32 d.33 【練習【練習 9 9】設拋物線28yx=的焦點為f,準線為l,p為拋物線上一點,pal,a為垂足,如果直線af的斜率為3,那么pf= ( ) a.4 3 b.8 c.8 3 d.16 【練習【練習 1010】設o是坐標原點,f是拋物線22(0)ypx p=的焦點,a是拋物線上的一點,fa與x軸正向的夾角為60,則oa為 【二】圓錐曲線的方程【二】圓錐曲線的方程 1、橢圓橢圓(秒殺方法：分母大的為焦點所在軸秒殺方法：分母大的為焦點所在軸)：222bac= 22221(0)

9、xyabab+=表示焦點在x軸橢圓的標準方程; 22221(0)yxabab+=表示焦點在y軸橢圓的標準方程。 2、雙曲線（秒殺方法：系數為正的為焦點所在軸）：雙曲線（秒殺方法：系數為正的為焦點所在軸）：222cab=+ 22221(0,0)xyabab=表示焦點在x軸上雙曲線的標準方程; 22221(0,0)yxabab=表示焦點在y軸上雙曲線的標準方程。 3、拋物線（秒殺方法：一次項對應焦點所在軸）：、拋物線（秒殺方法：一次項對應焦點所在軸）：p表示焦點到準線的距離 22ypx= (0)p 表示焦點在x軸上拋物線的標準方程; 22xpy= (0)p 表示焦點在y軸上拋物線的標準方程。 6

10、/ 20 1.1.例題例題 【例【例 1 1】(2012 年新課標全國卷 8)已知等軸雙曲線 c 的中心在原點,焦點在x軸上,c 與拋物線xy162=的準線交于 a,b 兩點,34=ab,則 c 的實軸長為 ( ) a.2 b.22 c.4 d.8 【例【例 2 2】“”是“方程”表示焦點在y軸上的橢圓”的 ( ) a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 【例【例 3 3】設ab是橢圓的長軸,點c在橢圓上,且4=cba.若2, 4=bcab,則橢圓的兩個焦點之間的距離為 . 【例【例 4 4】已知雙曲線和橢圓191622=+yx有相同的焦點,且雙曲線

11、的離心率是 橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為 . 【例【例 5 5】曲線221(6)106xymmm+=與曲線221(59)59xymmm+=的 ( ) a.焦距相等 b.離心率相等 c.焦點相同 d.準線相同 2.2.鞏固提升綜合練習鞏固提升綜合練習 【練習【練習 1 1】若rk,則“3k”是“方程13322=+kykx表示雙曲線”的 ( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 【練習【練習 2 2】已知拋物線xy82=的準線過雙曲線)0, 0( 12222=babyax的一個焦點,且雙曲線的離心率 為 2,則該雙曲線的方程為 . 0mn221m

12、xny+=22221(0b0)xyaab= ， 7 / 20 【練習【練習 3 3】下圖是拋物線形拱橋,當水面在l時,拱頂離水面 2 米,水面寬 4 米,水位下降 1 米后,水面寬 米 【練習【練習 4 4】已知04,則雙曲線22122:1cossinxyc=與222222:1sinsintanyxc=的 ( ) a.實軸長相等 b.虛軸長相等 c.焦距相等 d. 離心率相等 三、圓錐曲線的幾何性質 【一】焦點三角形【一】焦點三角形 8 / 20 1.1.例題例題 【例【例 1 1】(2017 年新課標全國卷 i 文 12)設a、b是橢圓c1323=+myx長軸的兩個端點,若c上存在點m滿足=

13、120amb,則m的取值范圍是 ( ) a.( )+, 91 , 0 b.()+, 93, 0 c.( )+, 41 , 0 d.()+, 43, 0 【例【例 2 2】已知,是橢圓)0(ba的兩個焦點,為橢圓上一點,. 若的面積為 9,則= . 1f2f1:2222=+byaxcpc21pfpf 21fpfb1、橢圓的焦點三角形：、橢圓的焦點三角形：橢圓上任意一點p與兩焦點1f、2f構成的三角形:12pff。 （1）秒殺題型一：周長為定值：2()ac+。 12,fpf=當點p靠近短軸端點時增大，當點p靠近長軸端點時減小；與短軸端點重合時最大。 （2）秒殺題型二：2tan221221bycsp

14、ff=，bcs=max即p與短軸端點重合時面積最大。 （3）秒殺題型三：當21pff底角為90，21pff個數：4個(p點為通徑端點)； 當2=時，21pff個數：2(0),022(),222(1),42bcebc ebce=。（p點為以12ff為直徑的圓與橢圓的交點） 9 / 20 【例【例 3 3】設1f、2f為橢圓22194xy+=的兩個焦點,p為橢圓上的一點.已知p,1f,2f是一個直角三角形的三個頂點,且12pfpf,求12pfpf的值. 【例【例 4 4】(2015 年新課標全國卷 i5)已知()00, yxm是雙曲線12:22= yxc上的一點,21,ff是c的兩個焦點,若021

15、mfmf,則0y的取值范圍是 ( ) a.33,33 b.63,63 c.322,322 d.332,332 【例【例 5 5】已知1f、2f為雙曲線c:221xy=的左、右焦點,點p在c上,21pff= 60,則12| |pfpf= ( ) a.2 b.4 c.6 d.8 【例【例 6 6】雙曲線221916xy=的兩個焦點為12,f f,點p在雙曲線上,若12pfpf,則點p到x軸的距離為 . 2.2.鞏固提升綜合練習鞏固提升綜合練習 【練習【練習 1 1】已知12,f f是橢圓22195xy+=的焦點,點 p 在橢圓上且123fpf=,12fpf的面積為 . 【練習【練習 2 2】1f、

16、2f是橢圓22:184xyc+=的焦點,在c上滿足12pfpf的點p的個數為 . 【練習【練習 3 3】已知橢圓191622=+yx的左、右焦點分別為12,f f,點p在橢圓上,若12,p f f是一個直角三角形10 / 20 的三個頂點,則點p到x軸的距離為 ( ) a.59 b.3 c.779 d.49 【練習【練習 4 4】已知1f、2f為雙曲線c:221xy=的左、右焦點,點p在c上,21pff=60,則p到x軸的距離為 ( ) a.32 b.62 c.3 d.6 【練習【練習 5 5】設p為雙曲線22112yx =上的一點,21,ff是該雙曲線的兩個焦點,若12|:| 3:2pfpf

17、 =則12pff的面積為 ( ) a.6 3 b.12 c.12 3 d.24 【練習【練習 6 6】設21,ff分別是雙曲線2219yx =的左、右焦點,若點p在雙曲線上,且120pf pf=,則12pfpf+= ( ) a.10 b.2 10 c.5 d.2 5 【二】離心率【二】離心率 11 / 20 1.1.例題例題 【例【例 1 1】在平面直角坐標系xoy中,已知abc頂點( 4,0)a 和(4,0)c,頂點b在橢圓221259xy+=上,則sinsinsinacb+= . 【例【例 2 2】(2013 年新課標全國卷 ii)設橢圓2222:1xycab+=(0)ab的左、右焦點分別

18、為12,f f,p是c上的點,212pfff,1230pff=,則c的離心率為 ( ) a.36 b.13 c.12 d.33 【 例【 例 3 3 】 已 知是 雙 曲 線的 左 、 右 焦 點 , 點在上 ,與軸 垂直,則的離心率為 ( ) a. b. c. d. 21,ff2222:1xyeab=me1mfx211sin3mf f=e223321 1、題型一：利用焦點三角形題型一：利用焦點三角形 （1）橢圓：sinsin)sin(222121+=+=pfpffface（焦點三角形兩底角分別為、）； （2）雙曲線：sin-sin)sin(-222121+=pfpffface（焦點三角形兩底

19、角, ）。 2、題型二：尋找、題型二：尋找關系求離心率關系求離心率 （1）秒殺思路：如果建立或cb,或cba,的關系，一般情況要通過平方消去b化簡為ca,關系求離心率。 （2）特別地：當cba,成等比數列時，即acb =2，橢圓:510.6182e=，叫優(yōu)美橢圓； cba,ba,12 / 20 【例【例 4 4】(2015 年新課標全國卷 ii11)已知ba,為雙曲線e的左、右頂點,點m在e上,為等腰三角形,且頂角為,則的離心率為 ( ) a. b.2 c. d. 【例【例 5 5】設直線 過雙曲線的一個焦點,且與的一條對稱軸垂直, 與交于兩點,為的實軸長的 2 倍,則的離心率為 ( ) a.

20、 b. c.2 d.3 【例【例 6 6】(2017 年新課標全國卷 i15)已知雙曲線)0, 0( 1:2222=babyaxc的右頂點為a,以a為圓心,b為半徑作圓a,圓a與雙曲線c的一條漸近線交于m、n兩點.若=60man,則c的離心率為 . 【例【例 7 7】如圖,是橢圓與雙曲線的公共焦點,分別是在第二、四象限的公共點.若四邊形為矩形,則的離心率為 ( ) a. b. c. d. 【例【例 8 8】已知雙曲線的左,右焦點分別為,點在雙曲線的右支上,且,則此雙曲線的離心率的最大值為 ( ) a. b. c. d. 2.2.鞏固提升綜合練習鞏固提升綜合練習 abm120e532lcclc,

21、a babcc2321,ff14:221=+ yxc2cba,21,cc21bfaf2c23232622221,(0,0)xyabab=12,f fp12| 4|pfpf=e4353273o x y a b f1 f2 13 / 20 【練習【練習 1 1】雙曲線22221xyab=(,)的左、右焦點分別是,過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點,若垂直于軸,則雙曲線的離心率為 ( ) a. b. c. d. 【練習【練習 2 2】橢圓2222:1(0)xyabab+=的左、右焦點分別為12,f f,焦距為c2,若直線3()yxc=+與橢圓的一個交點m滿足12212mffmf f= ,則該橢圓的離

22、心率等于 . 【練習【練習 3 3】已知橢圓22221(0)xymabab+=：，雙曲線22221xynmn=：若雙曲線 n 的兩條漸近線與橢圓 m的四個交點及橢圓 m 的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓 m 的離心率為 ；雙曲線 n 的離心率為 【練習【練習 4 4】1f和2f分別是雙曲線22221(0,0)xrabab=的兩個焦點,a和b是以o為圓心,以1fo為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且是等邊三角形,則雙曲線的離心為 ( ) a. b. c. d.31+ 【練習【練習 5 5】在中,.若以為焦點的橢圓經過點,則該橢圓的離心率 【練習【練習 6 6】設是等腰三角形,則以為焦點

23、且過點的雙曲線的離心率為( ) a. b. c. d. 【練習【練習 7 7】已知為坐標原點,是橢圓的左焦點,分別為的左、右頂點.為上一點,且軸.過點的直線 與線段交于點,與軸交于點 0a 0b 12,f f1f30m2mfx63233abf23525abc90a =3tan4b =,a bce =abc120abc=,a bc221+231+21+31+of)0( 1:2222=+babyaxcba,cpcpfxalpfmy14 / 20 .若直線經過的中點,則的離心率為 ( ) a. b.21 c.32 d.43 【練習【練習 8 8】(2017 年新課標全國卷 ii9)若雙曲線c:（，）

24、的一條漸近線被圓所截得的弦長為 2,則c的離心率為 ( ) a.2 b. c. d. 【練習【練習 9 9】(2017 年新課標全國卷 iii10)已知橢圓c:22221xyab+=(0, 0ba)的左、右頂點分別為21, aa,且以線段21aa為直徑的圓與直線20bxayab+=相切,則c的離心率為 ( ) a.63 b.33 c.23 d.13 【練習【練習 1010】過雙曲線的左焦點且垂直于軸的直線與雙曲線相交于兩點,以為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率等于 . 【練習【練習 1111】從橢圓22221(0)xyabab+=上一點p向x軸作垂線,垂足恰為左焦點1f,a是橢圓

25、與x軸正半軸的交點,b是橢圓與y軸正半軸的交點,且opab /(o是坐標原點),則該橢圓的離心率是 ( ) a.24 b.12 c.22 d.32 【練習【練習 1212】(2017 年新課標全國卷 ii)若1a,則雙曲線1222= yax的離心率的取值范圍是 ( ) a.2 +（， ） b.2 2（， ） c.2（1， ） d.12（， ） 【三】雙曲線的漸近線【三】雙曲線的漸近線 ebmoec3122221xyab=0a 0b()2224xy+=322 3322221xyab=()0,0abx,m nmn15 / 20 1.1.例題例題 【例【例 1 1】已知雙曲線c:22221xyab=

26、(0,0ab)的離心率為52,則c的漸近線方程為 ( ) a.14yx= b.13yx= c.12yx= d.yx= 【例【例 2 2】已知0, 0ba,橢圓1c的方程為12222=+byax,雙曲線2c的方程為12222=byax,1c與2c的離心率之積為23,則2c的漸近線方程為 ( ) a. b. c. d.0y2x= 【例【例 3 3】設雙曲線c經過點()2,2,且與2214yx=具有相同漸近線,則c的方程為 ；漸近線方程 為 . 02x=y02= yx02yx=1、題型一：由雙曲線的方程求漸近線、題型一：由雙曲線的方程求漸近線 秒殺思路：已知雙曲線方程求漸近線方程:22mxny=22

27、0mxny=; 若焦點在 x軸上，漸近線為xaby=；若焦點在 y軸上，漸近線為xbay=。 2、題型二：有共同漸近線的雙曲線方程的設法、題型二：有共同漸近線的雙曲線方程的設法 秒殺思路：222222221xyxyabab= =。 3、題型三：已知漸近線方程設雙曲線方程、題型三：已知漸近線方程設雙曲線方程 秒殺思路：220()()axbyaxby=。 16 / 20 【例【例 4 4】(2015 年新課標全國卷 ii)已知雙曲線過點,且漸近線方程為,則該雙曲線的標準方程為 【例【例 5 5】已知雙曲線22221(0,0)xyabab=的離心率為 2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于ba,

28、兩點. 設ba,到雙曲線同一條漸近線的距離分別為1d和2d，且126dd+=，則雙曲線的方程為 ( ) a.221412xy= b.221124xy= c.22139xy= d.22193xy= 【例【例 6 6】(2018 年新課標全國卷 iii)設12ff，是雙曲線)0, 0( 1:2222=babyaxc的左，右焦點，o是坐標原點.過2f作c的一條漸近線的垂線,垂足為p.若oppf61=,則c的離心率為 ( ) a.5 b.2 c.3 d.2 2.2.鞏固提升綜合練習鞏固提升綜合練習 【練習【練習 1 1】若雙曲線22221xyab=的離心率為3,則其漸近線方程為 ( ) a.xy2=

29、b.xy2= c.12yx= d.22yx= 【練習【練習 2 2】求與雙曲線221916xy=有公共的漸近線,且經過點 a()3,2 3的雙曲線的方程. 【練習【練習 3 3】若雙曲線的漸近線方程為xy3=,它的一個焦點是( 10,0),則雙曲線的方程是 . 【練習【練習 4 4】已知f是雙曲線c:223 (0)xmym m=的一個焦點,則點f到c的一條漸近線的距離為 ( ) ()4, 312yx= 17 / 20 a.3 b.3 c.3m d.3m 【練習【練習 5 5】已知雙曲線22214xyb=的右焦點與拋物線xy122=的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線 的距離等于 ( ) a.

30、5 b.4 2 c.3 d.5 【練習【練習 6 6】在平面直角坐標系xoy中，若雙曲線22221(0,0)xyabab=的右焦點( ,0)f c到一條漸近線的距離為23c，則其離心率的值是 【練習【練習 7 7】雙曲線)0, 0( 12222=babyax的漸近線為正方形oabc的邊ocoa,所在的直線，點b為該雙曲線的焦點.若正方形oabc的邊長為 2,則a= . 三、課后自我檢測 1已知abc的頂點,b c在橢圓2213xy+=上,頂點a是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在bc邊上,則abc的周長是 ( ) a.2 3 b.6 c.4 3 d.12 2已知橢圓c:22221xyab+

31、=(0)ab的左、右焦點為1f、2f,離心率為33,過2f的直線l交c 于ba,兩點,若1afb的周長為4 3,則c的方程為 ( ) a.22132xy+= b.2213xy+= c.221128xy+= d.221124xy+= 18 / 20 3已知經過橢圓2212516xy+=的右焦點2f作垂直于x軸的直線ab,交橢圓于ba,兩點,1f是橢圓的左焦點.（1）求1afb的周長; （2）如果ab不垂直于x軸,1afb的周長有變化嗎?為什么? 4已知f為雙曲線1169:22=yxc的左焦點,qp,為c上的點,若pq的長等于虛軸長的 2 倍,點()0 , 5a在線段pq上,則pqf的周長為 . 5 過 雙 曲 線22143xy=左 焦 點1f的 直 線 交 雙 曲 線 的 左 支 于nm,兩 點 ,2f為 其 右 焦 點 , 則22mfnfmn+的值為 6設拋物線28yx=上一點p到y(tǒng)軸的距離是 4,則點