高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4講　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用

1、1 / 26 第第 4 講講 函數(shù)函數(shù) yasin(x)的圖象及應(yīng)用的圖象及應(yīng)用 1yasin(x)的有關(guān)概念 yasin(x)(a0，0) 振幅 周期 頻率 相位 初相 a t 012 f1t 022 03 x 04 2用五點法畫 yasin(x)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點 如下表所示： x 050 062 07 0832 092 x 10 0 112 12 1332 14 2 y asin(x) 0 a 0 a 0 3函數(shù) ysinx 的圖象經(jīng)變換得到 yasin(x)(a0，0)的圖象的步驟 1對函數(shù) yasin(x)b(a0，0，0，b0)，其圖象的基本變2 / 26 換有：

2、(1)振幅變換(縱向伸縮變換)：是由 a 的變化引起的，a1 時伸長，a1 時縮短，0時左移，0時上移，b0，0，0，b0)的圖象得到 ysinx 的圖象，可采用逆向思維，將原變換反過來逆推得到 1函數(shù) y2sin2x4的振幅、頻率和初相分別為( ) a2，1，4 b2，12，4 c2，1，8 d2，12，8 答案 a 解析 由振幅、頻率和初相的定義可知，函數(shù) y2sin2x4的振幅為 2，頻率為1，初相為4.故選 a. 2為了得到函數(shù) ysin2x3的圖象，只需把函數(shù) ysin2x 的圖象上的所有點( ) a向左平移3個單位長度 b向右平移3個單位長度 c向左平移6個單位長度 d向右平移6個

3、單位長度 答案 d 3 / 26 解析 ysin2x3sin2x6，只需將函數(shù) ysin2x 圖象上的所有點向右平移6個單位長度即可得到函數(shù) ysin2x3的圖象故選 d. 3函數(shù) ysin2x3在區(qū)間2， 上的簡圖是( ) 答案 a 解析 令 x0得 ysin332，排除 b，d. 由 x3時，y0，x6時，y0，排除 c.故選 a. 4將 f(x)cosx 圖象上所有的點的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) yg(x)的圖象，則 g2( ) a1 b22 c.22 d1 答案 c 解析 由題意得 g(x)cos12x， 故 g2cos422. 5.函數(shù) f(x)2sin(x)

4、0，22的部分圖象如圖所示，則 ， 的值分別是( ) 4 / 26 a2，3 b2，6 c4，6 d4，3 答案 a 解析 由圖可知，34t512334，所以 t，2t2.因為點512，2 在圖象上，所以 251222k，kz，所以 32k，kz.又20)在區(qū)間0，3上單調(diào)遞增，在區(qū)間3，2上單調(diào)遞減，則 _. 答案 32 解析 由已知得t43，t43，2t32. 考向一 “五點法”作 yasin(x)的圖象 例 1 用五點法作出 y2sin2x3在3，23上的圖象 解 2333，223353， 令 2x30，得 x6. 令 2x32，得 x12. 5 / 26 令 2x3，得 x3. 令 2

5、x332，得 x712. 列表如下： 2x3 3 0 2 32 53 x 3 6 12 3 712 23 y 3 0 2 0 2 3 描點作圖 用“五點法”作正、余弦型函數(shù)圖象的步驟 (1)將原函數(shù)化為 yasin(x)或 yacos(x)(a0，0)的形式 (2)確定周期 (3)確定一個周期內(nèi)函數(shù)圖象的最高點和最低點 (4)選出一個周期內(nèi)與 x 軸的三個交點 (5)列表 (6)描點 1.用“五點法”畫出函數(shù) y 3sinx2cosx2的圖象 解 函數(shù) y 3sinx2cosx2232sinx212cosx22sinx2cos6cosx2sin62sinx26， 列表如下： x26 0 2 3

6、2 2 6 / 26 x 3 23 53 83 113 y 0 2 0 2 0 描點、連線作圖如下： 將函數(shù) y 3sinx2cosx2，x3，113的圖象不斷向左、向右平移(每次移動 4 個單位長度)，即得函數(shù)在 r 上的圖象 考向二 三角函數(shù)的圖象變換 例 2 (多選)(2020 青島市高三上學(xué)期期末)要得到 ycos2x 的圖象 c1，只要將 ysin2x3的圖象 c2怎樣變化得到( ) a將 ysin2x3的圖象 c2沿 x 軸向左平移12個單位 b將 ysin2x3的圖象 c2沿 x 軸向右平移1112個單位 c先作 c2關(guān)于 x 軸對稱的圖象 c3，再將圖象 c3沿 x 軸向右平移

7、512個單位 d先作 c2關(guān)于 x 軸對稱的圖象 c3，再將圖象 c3沿 x 軸向左平移12個單位 答案 abc 解析 對于 a，將 ysin2x3的圖象 c2沿 x 軸向左平移12個單位，可得ysin2x123sin2x2cos2x 的圖象 c1，故 a 正確；對于 b，將 ysin2x3的圖象 c2沿 x 軸向右平移1112個單位也可得到 ysin2x11123sin2x32cos2x 的圖象 c1，故 b 正確；對于 c，先作 c2關(guān)于 x 軸對稱的圖7 / 26 象，得到 ysin2x3的圖象 c3，再將圖象 c3沿 x 軸向右平移512個單位，得到 ysin2x5123sin2x2c

8、os2x 的圖象 c1，故 c 正確；對于d，先作 c2關(guān)于 x 軸對稱的圖象，得到 ysin2x3的圖象 c3，再將圖象 c3沿 x 軸向左平移12個單位，得到 ysin2x123sin2x2cos2x的圖象，故 d不正確故選 abc. 關(guān)于 yasin(x)(a0，0)的圖象由 ysinx 的圖象的變換，先將 ysinx 的圖象向左(向右)平移|個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短(1)或伸長(01)或縮短(0a0，得 232k，kz，所以 ysin2x23sin32x ，同理，當(dāng) 2 時，32k，kz，所以 ysin2x3cos2x6.故選 bc. 確定 yasin(x)b(a0，0)

9、的解析式的步驟 (1)求 a，b，確定函數(shù)的最大值 m 和最小值 m，則 amm2，bmm2. (2)求 ，確定函數(shù)的周期 t，則 2t. (3)求 的常用方法 代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象上的最高點或最低點代入； 五點法：確定 值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口 3.已知函數(shù) f(x)asin(x)(a0，0，|)的部分圖象如圖所示，則 f(x)的解析式為( ) 9 / 26 af(x)2 3sinx84 bf(x)2 3sinx834 cf(x)2 3sinx84 df(x)2 3sinx834 答案 d 解析 由圖象可

10、知，a2 3，t26(2)16，所以 2t2168.所以 f(x)23sin8x .由函數(shù)的對稱性得 f(2)23，即 f(2)23sin82 2 3，即 sin4 1，所以42k2(kz)，解得 2k34(kz)因為|，所以 34.故函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)2 3sinx834. 多角度探究突破 考向四 函數(shù) yasin(x)的圖象與性質(zhì) 角度 1 函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例 4 函數(shù) f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) a.k14，k34，kz b.2k14，2k34，kz c.k14，k34，kz 10 / 26 d.2k14，2k34

11、，kz 答案 d 解析 由圖象可知422m，54322m，mz，所以 ，42m，mz，所以函數(shù) f(x)cosx42m cosx4的單調(diào)遞減區(qū)間為 2kx42k，kz，即 2k14x2k34，kz.故選 d. 角度 2 圖象變換與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例 5 (2020 濰坊一模)已知函數(shù) f(x)asin(x)(a0，0,0)是偶函數(shù)，將 yf(x)的圖象沿 x 軸向左平移6個單位，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為 yg(x)已知 yg(x)的圖象相鄰對稱中心之間的距離為 2，則 _，若 yg(x)的圖象在其某對稱軸處對應(yīng)的函數(shù)值為2，則 g(x)在

12、0，上的最大值為_. 答案 1 3 解析 把 yasin(x)的圖象沿 x 軸向左平移6個單位，所得圖象的解析式為 yasinx6 asinx6 ，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，所得圖象的解析式為 yasin2x6 g(x)由題意可知 g(x)的周期為 4，所以224，1.因為 yg(x)的圖象在某條對稱軸處對應(yīng)的函數(shù)值為2，a0，所以 a2，所以 f(x)2sin(x)因為 f(x)2sin(x)是偶函數(shù)，0，所以 2，所以 g(x)2sinx2622cosx26，當(dāng) x0，時，x266，23，則 g(x)在0，上的最大值為 g(0) 3. 角度,3 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)

13、用 例 6 某實驗室一天的溫度(單位：)隨時間 t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系： 11 / 26 f(t)10 3cos12tsin12t，t0,24) (1)求實驗室這一天的最大溫差； (2)若要求實驗室溫度不高于 11 ，則在哪段時間實驗室需要降溫？ 解 (1)f(t)10232cos12t12sin12t 102sin12t3， 因為 0t24， 所以312t311時實驗室需要降溫 由(1)得 f(t)102sin12t3， 故有 102sin12t311， 即 sin12t312. 又因為 0t24，因此7612t3116， 即 10t0，0，|2的圖象如圖所示，則 f(x)的單

14、調(diào)遞增區(qū)間為( ) a.12k2，512k2，kz b.12k，512k ，kz c.62k，562k ，kz d.6k，56k ，kz 答案 b 解析 解法一：由圖象可知 a2，34t1112634，所以 t，故 2.由 f11122，得 2k3(kz)因為|0,00,0)，將 yf(x)的圖象上所有點向左平移6個單位，可得 ysinx6 的圖象，然后縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)縮短為原來的12，得到函數(shù) yg(x)sin2x6 的圖象，g(x)的最小正周期為222，則 2，又 g(x)sin4x3 為偶函數(shù)，00)，則從表中可以得到 a4，t0.8，所以 2t20.852，所以 y4sin52t

15、，又由 4sin4.0，得 sin1，取 2， 故 y4sin52t24cos52t. 一、單項選擇題 1.如圖是周期為 2 的三角函數(shù) yf(x)的部分圖象，那么 f(x)可以寫成( ) asin(1x) bsin(1x) csin(x1) dsin(1x) 答案 d 解析 設(shè) ysin(x)，點(1,0)為五點法作圖的第三點，sin(1)01，1，ysin(x)sin(1x) 2將函數(shù) ysin(2x)的圖象沿 x 軸向左平移8個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則 的一個可能取值為( ) a.34 b4 c0 d4 答案 b 解析 把函數(shù) ysin(2x)的圖象向左平移8個單位后，得到的圖象

16、的解析式是 ysin2x4 ，該函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是4k2，kz，根15 / 26 據(jù)選項檢驗可知 的一個可能取值為4. 3.如圖所示，函數(shù) y 3tan2x6的部分圖象與坐標(biāo)軸分別交于點 d，e，f，則def 的面積為( ) a.4 b2 c d2 答案 a 解析 在 y 3tan2x6中，令 x0 可得 d(0,1)；令 y0 解得 xk212(kz)，故 e12，0 ，f512，0 .所以def的面積為12214. 4已知 0,0，直線 x4和 x54是函數(shù) f(x)sin(x)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則 ( ) a.4 b3 c2 d34 答案 a 解析 由題意得最小正周期 t25

17、442，22，即 1，f(x)sin(x)，f4sin4 1.0，4454，42，4. 5.如圖所示，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖位置 p(x，y)若初始位置為 p032，12，當(dāng)秒針從 p0(注：此時 t0)正常開始走時，那么點 p的縱坐標(biāo) y 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系為( ) 16 / 26 aysin30t6 bysin60t6 cysin30t6 dysin30t3 答案 c 解析 由題意可得，函數(shù)的初相位是6，排除 b，d.又函數(shù)周期是 60 秒且秒針按順時針方向旋轉(zhuǎn)，即 t2|60，所以|30，所以 30，故 ysin30t6. 6(2020 全國卷

18、)設(shè)函數(shù) f(x)cosx6在，的圖象大致如下圖，則 f(x)的最小正周期為( ) a.109 b76 c43 d32 答案 c 解析 由圖可得，函數(shù)圖象過點49，0 ，所以 cos49 60.又49，0 是函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸負(fù)半軸的第一個交點，所以49 62，解得 32.所以函數(shù) f(x)的最小正周期為 t223243.故選 c. 17 / 26 7已知函數(shù) f(x)sinx6(02)滿足條件：f120，為了得到函數(shù) yf(x)的圖象，可將函數(shù) g(x)cosx 的圖象向右平移 m(m0)個單位長度，則 m的最小值為( ) a1 b12 c6 d2 答案 a 解析 由題意，得 s

19、in1260，即126k(kz)，則 32k(kz)，結(jié)合 02，得 3，所以 f(x)sin3x6cos23x6cos3(x1) ，所以只需將函數(shù) g(x)cos3x 的圖象向右至少平移 1 個單位長度，即可得到函數(shù) yf(x)的圖象，故選 a. 8如圖，將繪有函數(shù) f(x) 3sinx56(0)部分圖象的紙片沿 x 軸折成直二面角，若 a，b之間的空間距離為 10，則 f(1)( ) a1 b1 c32 d32 答案 d 解析 由題設(shè)并結(jié)合圖形可知 ab ( 3)2( 3)2t222 6t24 622 10，得224，則 2，所以函數(shù) f(x) 3sin2x56，所以 f(1) 3sin2

20、56 3sin332. 二、多項選擇題 18 / 26 9已知函數(shù) f(x)2sin(2x)(0)，若將函數(shù) f(x)的圖象向右平移6個單位長度后，所得圖象關(guān)于 y 軸對稱，則下列結(jié)論中正確的是( ) a56 b.12，0 是 f(x)圖象的一個對稱中心 cf()2 dx6是 f(x)圖象的一條對稱軸 答案 abd 解析 由題意得，平移后的函數(shù) g(x)fx62sin2x3 的圖象關(guān)于 y軸對稱，則32k，kz，因為 00，0，08的部分圖象如圖所示，若將函數(shù) f(x)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的14，再向右平移6個單位長度，得到函數(shù) g(x)的圖象，則下列命題正確的是( ) a函數(shù)

21、f(x)的解析式為 f(x)2sin12x6 b函數(shù) g(x)的解析式為 g(x)2sin2x6 c函數(shù) f(x)圖象的一條對稱軸是直線 x3 d函數(shù) g(x)在區(qū)間，43上單調(diào)遞增 答案 abd 21 / 26 解析 由圖可知，a2，t4，t42，得 12，f(x)2sin12x4 ，將(0,1)代入得 sin412，結(jié)合 08，46.f(x)2sin12x6，故 a 正確；將函數(shù) f(x)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的14，再向右平移6個單位長度，可得 y2sin2x6y2sin2x662sin2x6，故 b 正確；f32sin12360，不是最值，故不是對稱軸，c 錯誤；由 x，4

22、3，2x6116，156，同 ysinx 在區(qū)間6，2上的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù) g(x)在區(qū)間，43上單調(diào)遞增，d正確故選 abd. 三、填空題 13(2020 北京海淀模擬)去年某地的月平均氣溫 y()與月份 x(月)近似地滿足函數(shù) yabsin6x6(a，b 為常數(shù))若 6 月份的月平均氣溫約為 22 ，12月份的月平均氣溫約為 4 ，則該地 8月份的月平均氣溫約為_. 答案 31 解析 將(6,22)，(12,4)代入函數(shù)，解得 a13，b18，所以 y1318sin6x6. 當(dāng) x8時，y1318sin68631. 14(2020 江蘇高考)將函數(shù) y3sin2x4的圖象向右平移6個單位長度，則平移后的圖象中與 y 軸最近的對稱軸的方程是_. 答案 x524 解析 將函數(shù) y3sin2x4的圖象向右平移6個單位長度，所得圖象對應(yīng)解析式為 y3sin2x643sin2x12，令 2x122k(kz)，得 x22 / 26 724k2(kz)當(dāng) k1時，x524，故與 y 軸最近的對稱軸方程為 x524. 15已知 x(0，關(guān)于 x 的方程 2sinx3a 有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù) a 的取值范圍為_. 答案 ( 3，2) 解析 令 y12sinx3，x(0，y2a，作出 y1的圖象如圖所示 若 2sinx3