高中數(shù)學(xué)必修二章末復(fù)習(xí)課 (4)

1、1 / 7 章末復(fù)習(xí)課 要點(diǎn)訓(xùn)練一 平面向量的運(yùn)算 1.向量的線性運(yùn)算包括向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的加法、減法、數(shù)乘,向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則,減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算,向量的加法滿足交換律、結(jié)合律,數(shù)乘向量滿足分配律.利用向量證明三點(diǎn)共線時(shí),應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線. 2.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式: (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 ab 的充要條件是 x1y2-x2y1=0. 2 / 7 (2)若 ab(a0),則 b=a. 應(yīng)視題目條件靈活選擇. 1.已知點(diǎn) a(1,3),b(4,-1),則與

2、向量 同方向的單位向量為( ) a.（ 35,-45） b.（45,-35） c.（-35,45） d.（-45,35） 解析: =(3,-4),與其同方向的單位向量 e= | |=15(3,-4)=（35,-45）. 答案:a 2.(全國卷)設(shè) d為abc所在平面內(nèi)一點(diǎn), =3 ,則 ( ) a. =-13 +43 b. =13 -43 c. =43 +13 d. =43 -13 解析: = + = +13 = +13( - )=43 -13 = -13 +43 . 答案:a 3.(全國卷)已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若 c(2a+b),則=12. 解析:由題意

3、可得 2a+b=(4,2). 因?yàn)?c(2a+b),c=(1,),所以 4-2=0,即 =12. 要點(diǎn)訓(xùn)練二 平面向量的夾角與垂直問題 1.兩個(gè)向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)垂直a b=0 x1x2+y1y2=0,利用這兩個(gè)結(jié)論,可以判斷兩個(gè)向量的位置關(guān)系. 2.兩個(gè)向量的夾角公式: 3 / 7 cos =|=12+1212+1222+22. 1.已知非零向量 a,b 滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則 a 與 b 的夾角為 ( ) a.6 b.3 c.23 d.56 解析:設(shè) a 與 b 的夾角為 ,因?yàn)?a-b)b,所以(a-b) b=a b-b2=0,所以 a b=b

4、2,所以 cos =|=|22|2=12,所以 a 與 b 的夾角為3. 答案:b 2.已知向量 a=(2,2),b=(-8,6),則 a 與 b 的夾角的余弦值為-210. 解析:設(shè) a 與 b 的夾角為 ,則 cos =|=2(-8)+2622+22(-8)2+62=-210. 3.已知向量 a=(-4,3),b=(6,m),且 ab,則 m=8. 解析:向量 a=(-4,3),b=(6,m),ab,則 a b=0,即-4 6+3m=0,所以m=8. 4.已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 ab,則 m=2. 解析:由題意可得,a b=0,所以-2 3+3m=0,解得 m=2.

5、 要點(diǎn)訓(xùn)練三 有關(guān)向量的模(長度)與距離問題的解法 求向量的模主要有以下兩種方法:利用公式|a|2=a2將它轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題,再利用數(shù)量積的性質(zhì)進(jìn)行展開、合并,使問題得以解決;利用公式|a|=12+ 12將其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算,使問題得以解決. 1.(全國卷)設(shè)非零向量 a,b 滿足|a+b|=|a-b|,則 ( ) a.ab b.|a|=|b| c.ab d.|a|b| 4 / 7 解析:由向量加法與減法的幾何意義可知,以非零向量 a,b 的模長為邊長的平行四邊形是矩形,從而可得 ab.故選 a. 答案:a 2.已知向量 a,b 的夾角為 120 ,|a|=1,|b|=3,則|5a-b|=

6、7. 解析:|5a-b|=|5-|2=(5-)2=252+ 2-10= 25 + 9-10 1 3 (-12)=7. 3.(浙江高考)已知正方形 abcd的邊長為 1,當(dāng)每個(gè)i(i=1,2,3,4,5,6)取遍 1 時(shí),|1 +2 +3 +4 +5 +6 |的最小值是 0,最大值是 25. 解析:如圖所示,以 ab,ad 所在直線分別為 x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系, 則 =(1,0), =(0,1), =(-1,0), =(0,-1), =(1,1), =(-1,1).令y=|1 +2 +3 +4 +5 +6 |=(1-3+ 5-6)2+ (2-4+ 5+ 6)20. 因?yàn)?i(i=1,2,

7、3,4,5,6)可取遍 1, 所以當(dāng) 1=3=4=5=6=1,2=-1時(shí),有最小值 ymin=0. 因?yàn)?1-3+5)和(2-4+5)的取值不相關(guān),6=1 或 6=-1,所以當(dāng)(1-3+5)和(2-4+5)分別取得最大值時(shí),y有最大值, 所以當(dāng) 1=2=5=6=1,3=4=-1時(shí),有最大值ymax=22+ 42=20=25. 5 / 7 要點(diǎn)訓(xùn)練四 建模思想 利用正弦定理、余弦定理解三角形及其應(yīng)用,常根據(jù)已知條件中所給的邊、角關(guān)系,利用解三角形的常見類型求解;解決應(yīng)用問題常根據(jù)距離、高度、角度的求解方法解決,都體現(xiàn)了建模思想. 1.(全國卷)abc的內(nèi)角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c,已

8、知 asin a-bsin b=4csin c,cos a=-14,則= ( ) a.6 b.5 c.4 d.3 解析:由已知及正弦定理可得 a2-b2=4c2, 由余弦定理推論可得 -14=cos a=2+2-22,所以2-422=-14, 所以32=14,所以=6. 答案:a 2.(全國卷)abc的內(nèi)角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c.已知 bsin a+acos b=0,則 b=34. 解析:由正弦定理,得 sin bsin a+sin acos b=0. 因?yàn)?a(0,),b(0,),所以 sin a0,所以 sin b+cos b=0,即 tan b=-1,所以 b=34. 3.

9、(浙江高考)在abc中,abc=90 ,ab=4,bc=3,點(diǎn) d 在線段ac上,若bdc=45 ,則 bd=1225,cosabd=7210. 解析:如圖所示,在abd 中, 6 / 7 由正弦定理,得sin=sin, 而 ab=4,adb=34,ac=2+ 2=5, sinbac=35,cosbac=45, 所以 bd=1225. cosabd=cos(bdc-bac)=cos4cosbac+ sin4sinbac=7210. 4.(全國卷)abc的內(nèi)角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c.已知asin+2=bsin a. (1)求 b; (2)若abc為銳角三角形,且 c=1,求abc面積的取值范圍. 解:(1)由題設(shè)及正弦定理,得 sin asin+2=sin bsin a. 因?yàn)?sin a0,所以 sin+2=sin b. 由 a+b+c=180 ,可得 sin+2=cos2, 故 cos2=sin b=2sin2cos2. 因?yàn)?cos20,故 sin2=12,所以 b=60 . (2)由題設(shè)及(1)知abc的