2020高考數(shù)學(xué)---求未知角的三角函數(shù)值

1、， a+ Î ，ç÷，則4 3ç ÷第四章第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值三角函數(shù)與解三角形在三角函數(shù)的解答題中，經(jīng)常要解決求未知角的三角函數(shù)值，此類問題的解決方法大體上有兩個，一是從角本身出發(fā)，利用三角函數(shù)關(guān)系列出方程求解，二是向已知角（即三角函數(shù)值已知）靠攏，利用已知角將所求角表示出來，再利用三角函數(shù)運算公式展開并整體代換 求解，本周著力介紹第二種方法的使用和技巧一、基礎(chǔ)知識：1、與三角函數(shù)計算相關(guān)的公式：（1）兩角和差的正余弦，正切公式：sin(a+b)=sinacosb+sinbcosasin(a-b

2、)=sinacosb-sinbcosacos (a+b)=cosacosb-sinasinbcos (a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=tan a+tan b 1 -tan atan btan(a-b)=tan a-tan b 1 +tan atan b（2）倍半角公式：sin2 a=2sin acos acos2a =cos2 a-sin 2 a =2cos 2 a-1 =1 -2sin 2atan 2a=2tan a 1 -tan 2 a（3）輔助角公式：a sina+b cosa =a2+b2sin(a+j)，其中tanj =ba2、解決此類問題的方法步驟：（

3、1） 考慮用已知角表示未知角，如需要可利用常用角進行搭配（2） 等號兩邊同取所求三角函數(shù)，并用三角函數(shù)和差公式展開（3） 利用已知角所在象限和三角函數(shù)值求出此角的其他函數(shù)值（4） 將結(jié)果整體代入到運算式即可3、確定所涉及角的范圍：當(dāng)已知角的一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時，角的范圍將決定其他三角函數(shù)值的正負(fù)，所以要先判斷角的范圍，再進行三角函數(shù)值的求解。確定角的范 圍有以下幾個層次：（1）通過不等式的性質(zhì)解出該角的范圍（例如：aÎæppö p æ5p pö è ø 6 è12 2 ø）（2）通過該角的三角

4、函數(shù)值的符號，確定其所在象限。= ， aÎ - ,3 52 6æç÷êç ÷úëèç ÷ç ÷aÎ - , ，a+ Î - ,而 sin a+ = ，故 a+2 63 6 23 5 3ç ÷æç÷ç ÷ç ÷úç ÷êú êë è ë èç

5、 ÷ ç ÷ç ÷÷çç ÷第四章第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值三角函數(shù)與解三角形（3）利用特殊角將該角圈在一個區(qū)間內(nèi)（區(qū)間長度通常為p4）（4）通過題目中隱含條件判斷角的范圍。例如：sina+cosa =65，可判斷出a在第一象限二、典型例題：例 1：已知sinæçèa+pö 3 æ p pö ÷ ç ÷ø è ø，求：（1）sina（2）sin2a解：（1）已知的角為a+p3，而

6、所求角a = a+èpö p-3 ø 3,故可以考慮sina =sinéæ pö pùa+ - =sin 3 ø 3 ûæ pö p æ pö p a+ cos -cos a+ sin è 3 ø 3 è 3 ø 3而æ p pö p æ p pö æ pö 3 p ç ÷ ç ÷ ç ÷è 

7、48; è ø è ø在第一象限 cosæ pö 4a+ = sin è 3 ø 51 3 3 4 3 -4 3 a = × - × =2 5 2 5 10（2） 與（1）類似。考慮2a =2 a+ èpö 2p-3 ø 3，則é æ pö 2pù é æ pöù 2p 2p æ pösin 2a =sin 2 a+ - =sin 2 a+ cos -sin cos2

8、 a+3 ø 3 û 3 øû 3 3 è 3 ø=-12×2sinæ pö æ pö 3 æ æ pöö a+ cos a+ - 1 -2sin 2 a+è 3 ø è 3 ø 2 è è 3 øø3 4 3 æ 9 ö 12 +8 3=- × - 1 - =-5 5 2 è 25 ø 25小煉有話說：（1） 本題先

9、利用已知角表示未知角，然后用已知角整體代換求解（2） 注意在求已知角其他的三角函數(shù)值時，要確定已知角的范圍，進而確定其他三角函數(shù) 值的符號ï ç ÷ëûç ÷ç ÷ç÷ç ÷()ç ÷ç ÷÷ç÷çç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷÷ç第四章第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值三角函數(shù)與解三角形&#

10、236; æ pö 1 3 3 sin a+ = sin a+ cos a =（3）本題第 1 問也可利用方程的思想，即 í è 3 ø 2 2 5來求解，ïîsin2a+cos 2a =1但方程過于復(fù)雜，難于計算，要進行比較，體會題目所給方法的方便之處例 2：已知 cosa =1 13 p ,cos( a-b)= ，且 0 <b<a<7 14 2.（1）求tan2a；（2）求 b .解：（1）0 <a<p2, sina=4 37 tana =4 3 tan 2a =2 tan a 8 3 =-

11、1 -tan 2 a 47（2）b=a-(a-b) cosb=cos éa-(a-b)ù=cosacos(a-b)+sinasin(a-b)æ pö a-bÎ 0,è 2 ø sin(a-b)=3 314 cos b=cos acos (a-b)+sinasin(a-b)=13 36 1+ =98 98 2 b=p3例 3：已知0 <b<p4<a<3 p æp ö 3 æ3p ö 5 ，cos -a = ,sin +b =3 è4 ø 5 &

12、#232;4 ø 13，求sin (a+b)的值解：a+b=3 æp ö p p+b- -a -4 è4 ø 2æ3 æp ö pö æ3 æp öö sin a+b =sin p+b- -a - =-cos p+b- -aè4 è4 ø 2 ø è4 è4 øøæ æ3p ö æp ö æ3p ö æp &

13、#246;ö = - cos +b cos -a +sin +b sin -aè è4 ø è4 ø è4 ø è4 øø0 <b<p4<a<3p p p 3p 3p - < -a<0, <b+ <p4 2 4 4 4ç÷ç÷( )ç÷æç=- ,sin -b = , aÎ , p , bÎ 0,2 9 2 3 22êç

14、÷ ç ÷úëè2a- - -b2 2ç÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷2î22第四章第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值三角函數(shù)與解三角形 sinæp ö 4 æ

15、3p ö-a =- ,cos +b =- è4 ø 5 è4 ø1213 sinæ 12 3 4 5 öa+b =- - × - × =è 13 5 5 13 ø5665小煉有話說：本題注意如何確定兩個角的范圍：利用已知條件和不等式性質(zhì)求解例 4：設(shè)cos a-èbö 1 æa ö 2 æp ö æ pö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ &#

16、248; è ø è ø è ø，求cos (a+b)解：éæ bö æa öù a+b=2 a- - -b2 ø è2 øû cosæa+bö ç ÷è ø=coséæ bö æa öù êç ÷ ç ÷ú ëè ø è

17、; øû=cosæ bö æa ö æ bö æa ö a- cos -b +sin a- sin -b è 2 ø è2 ø è 2 ø è2 øæp ö æ pö a æppöb æ pö aÎ , p , bÎ 0, Î , , Î 0,è2 ø è 2 

18、8; 2 è4 2 ø 2 è 4 øa-b æp öa æ p pö Î , p , -bÎ - ,2 è4 ø 2 è 4 2 ø sinæ bö æ bö 4 5 æa ö æa ö a- = 1 -cos 2 a- = ,cos -b = 1 -sin 2 -b = è 2 ø è 2 ø 9 è2 ø 

19、32;2 ø53 cosæa+bö ç ÷è ø1 5 2 4 5 7 5 =- × + × =9 3 3 9 27 cos(a+b)=2cos2æçèa+b2ö÷ø245 239 -1 =2 × -1 =-729 729例 5：已知sina+sinb+sing=0,cosa+cosb+cosg=0，則cos (a-b)=（ ）A.1B.-1C.1 1D. -2 2思路：所求角與a, b相關(guān)，但題目中有sin g,cos g，所以考慮利

20、用sin2g+cos2g=1消去gìsin a+sin b=-sin g ，即 ícos a+cos b=-cos gÞ (sina+sinb)+(cosa+cosb)=1，化簡后可得：()ëûç ÷( )ç÷ç ÷ç ÷ç ÷ëûç÷( )第四章第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值三角函數(shù)與解三角形2sinasinb+2cosacosb=-1即 cos(a-b)=-12答案：D例 6：已知sin a =12

21、 4 b ,sin a+b = ，且 a, b均為銳角，求 cos13 5 2解：b=(a+b)-a cosb=cos é(a+b)-aù=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sinaa,æ pöbÎ 0,è 2 ø c o as=-1 s2ian=513sin12 4a = ,sin a+b = <sin13 5aa+b>a 若 a+b為銳角，則根據(jù)æ p öy =sin x 在 0,è 2 ø單調(diào)遞增，可知sin(a+b)>sina，與條件矛盾æp

22、 ö a+bÎ , pè2 ø c o s(a+b)=-35，代入可得：cos3 5 12 4 33 b=- ´ + × =5 13 13 5 65 2cos2b233 b 49 -1 = Þ cos 2 =65 2 65æ pö b æ pö bÎ 0, Î 0,è 2 ø 2 è 4 ø cosb2=7 7= 6565 65例 7：已知0 <a<p2<b<p，sin a =3 4， cos(a+b)

23、 =- ，則 sin b = 5 5_思路一：考慮用已知角表示未知角，b=(a+b)-a，從而sinb=sin é(a+b)-aù，展開后即可利用已知角的三角函數(shù)進行整體代入，由0 <a<p2<b<p和sina =35可知cosa =45， 但æp3pö a+bÎ ,è2 2 ø， 所 以 不 能 判 定s i n(a+b)的 符 號 ， 所 以 由cos(a+b) =-4 3 可 得 ： sin a+b =±5 5， 分 別 代 入 表 達(dá) 式 可 計 算 出sinb=0或sinb=24

24、p 24 ，由 <b<p可知 sin b=25 2 25ëûç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷()ç ÷ç ÷ëûç÷第四章第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值三角函數(shù)與解三角形解：b=(a+b)-a sin b=sin é(a+b)-aù=sin(a+b)cosa-cos(a+b)sinbæ pöaÎ 0,è 2 ø

25、c o as=-1 s2ian=45æ pö æp ö æp3pö aÎ 0, , bÎ , p a+bÎ ,è 2 ø è2 ø è2 2 ø sin (a+b)=±1-cos2(a+b)=±35當(dāng)sin(a+b)=35時，sinb3 4 æ 4 ö 3 24 = ´ - - ´ =5 5 è 5 ø 5 25當(dāng)3 3 4 æ 4 ö 3sin

26、a+b =- 時， sin b =- ´ - - ´ =05 5 5 è 5 ø 5æp öbÎ , pè2 ø s i nb¹ 0 sinb=2425答案：2425思路二：本題以sina =3 4 ，cos(a+b) =-5 5為突破口，發(fā)現(xiàn)其三角函數(shù)值含有一定關(guān)系，計算出cosa =45，從而cos(a+b)=-cosa=cos(a+p)，所以得到a+b與a+p的關(guān) 系 。 結(jié) 合0 <a<p2<b<p 可 知 a+ b=(-a)+p2k+(kp)Z，Î即,

27、b= -2a(+k2)-，1p所以sinb=sin é-2a+(2k-1)pù=sin2a=2425解：æ pöaÎ 0,è 2 ø c o as=-1 s2 ian=45 cos(a+b)=-cosa=cos(a+p)a+b=(a+p)+2kp或a+b=-(a+p)+2kp，k ÎZ若a+b=(a+p)+2kp即b=p+2kp(kÎZ)，與p2<b<p矛盾，故舍去若a+b=-(a+p)+2kp即b=-2a+(2k-1)p，則：ëûç÷ç

28、47;è øç ÷ç ÷ç ÷êç ÷úç ÷ç ÷ç ÷ç÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷第四章第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值三角函數(shù)與解三角形sinb=sin é-2a+(2k-1)pù=sin2a=2sinacosa =242524答案：25小煉有話說：（1）在思路一中，雖然在計算(a+b)的正

29、弦時，沒有辦法簡單地根據(jù)角的范圍進行取舍，但是在最后的結(jié)果中會發(fā)現(xiàn)有一個解是不符合題意的。在解題過程中，要時刻 關(guān)注角的范圍，使之成為一道防線趕走不符合條件的解（2）思路二是從三角函數(shù)值的特點作為突破口，進而尋求已知條件中的角之間的關(guān)系，這 也是對題目條件的一種妙用例 8：已知cosæ pö 4 3 a- +sin a = è 6 ø 5，則sinæçèa+7p6ö÷ø的值是_解：cosæçèa-p6ö÷ø+sina =4 35

30、2;3 1 4 3 3 3 4 3 cos a+ sin a+sin a = Þ cos a+ sin a =2 2 5 2 2 5æ1 3 ö 4 3 3 ç cos a+ sin a÷=2 2 5æ pö 4 3 æ pö 4 3sin a+ = Þ sin a+ =è 6 ø 5 è 6 ø 5 sinæ pö éæ pö pù 3 a+ =sin a+ + = sinè 3 &#

31、248; ëè 6 ø 6 û 2æ pö 1 æ pö a+ + cos a+ è 6 ø 2 è 6 øæp ö p æ2 7pö aÎ , p a+ Î p,è2 ø 6 è3 6 ø cosæ pö æ pö 3 a+ =- 1 -sin 2 a+ =- è 6 ø è 6 ø 5 sin&

32、#230; pö 3 4 1 æ 3 ö 4 3 -3 a+ = × + ×- =è 3 ø 2 5 2 è 5 ø 10例 9：已知p 1 1<a<p,-p<b<0,tan a =- ,tan b=- ，求 2a+b 2 3 7思路：若要求出2a+b的值，則需要它的一個三角函數(shù)。所給條件均為正切值，所以也考ç ÷( )( )ç÷ç ÷ç2 ×-32ç ÷- -4 7ç &

33、#247;ç ÷1ç ÷ç ÷1ç ÷ç第四章第 26 煉 求未知角的三角函數(shù)值三角函數(shù)與解三角形慮計算tan (2a+b)=tan 2a+tan b 1 -tan 2atan b，其中tan2a 可由 tan a求出。再代入式子中可得：tan(2a+b)=-1， 下 面 考 慮2a+b的 范 圍 。 如 果 按 照 原 始 條 件 ：æp ö aÎ , p ,è2 øbÎ(-p,0)可得2a+bÎ(0,2p)，則3 7 2a+b= p

34、 或 2a+b= p4 4，但本題可通過tan1a =- ,tan3b=-1 1進一步縮小 a, b的范圍。由 tan a =- Î -1,0 7 3可知aÎæ3p ö 1 æ p ö , p ，由 tan b =- Î -1,0 可知 bÎ - ,0è4 ø 7 è 4 ø，所以æ5p2a+bÎ ,2è4pö÷ø，從而2a+b=74p解：tan (2a+b)=tan 2a+tan b 1 -tan 2atan bt

35、 a na =-132tan atan 2a = = 1 -tan 2 aæ 1 öç ÷è øæ 1 ö1 - -è 3 ø=-34 tan (2a+b)=3 1tan 2a+tan b=1 -tan 2atan b æ 3 öæ 1 ö1 - - ×- è 4 øè 7 ø=-1tan a =- Î(-1,0)3且æp ö æ3p ö aÎ , p aÎ , pè2 ø è4 øtanb=- Î(-1,0)且bÎ(-p,0)