高中數(shù)學(xué)必修一第一章 1.1 第1課時 (3)

1、1 / 9 11 集合的概念集合的概念 第第 1 課時課時 集合的概念集合的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過實例了解集合的含義.2.理解集合中元素的特征.3.體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號并會應(yīng)用 知識點一 元素與集合的概念 1元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，常用小寫的拉丁字母 a，b，c表示 2集合：把一些元素組成的總體叫做集合(set)，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母 a，b，c表示 3集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的 4集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的 思考 我班所有的“追夢人”能否構(gòu)成一個集合？ 答案 不能構(gòu)成集合

2、，因為“追夢人”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn) 知識點二 元素與集合的關(guān)系 1屬于：如果 a 是集合 a的元素，就說 a 屬于集合 a，記作 aa. 2不屬于：如果 a不是集合 a 中的元素，就說 a 不屬于集合 a，記作 aa. 知識點三 常見的數(shù)集及表示符號 數(shù)集 非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集) 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 n n*或 n z q r 1組成集合的元素一定是數(shù)( ) 2接近于 0的數(shù)可以組成集合( ) 3分別由元素 0,1和 1,0組成的兩個集合是相等的( ) 2 / 9 4一個集合中可以找到兩個相同的元素( ) 一、對集合的理解 例 1 (1)考察下列每組對象，能構(gòu)成集合的是( )

3、 中國各地的美麗鄉(xiāng)村； 直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點； 不小于 3 的自然數(shù)； 截止到 2019 年 1 月 1日，參加一帶一路的國家 a b c d 答案 b 解析 中“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，中的元素標(biāo)準(zhǔn)明確，均可構(gòu)成集合，故選 b. (2)下列說法中，正確的有_(填序號) 單詞 book的所有字母組成的集合的元素共有 4個； 集合 m 中有 3 個元素 a，b，c，其中 a，b，c 是abc 的三邊長，則abc 不可能是等腰三角形； 將小于 10 的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個集合 答案 解析 不正確. book的字母 o 有重復(fù)，共有 3

4、 個不同字母，元素個數(shù)是 3. 正確. 集合 m 中有 3 個元素 a，b，c，所以 a，b，c 都不相等，它們構(gòu)成的三角形三邊不相等，故不可能是等腰三角形 不正確. 小于 10 的自然數(shù)不管按哪種順序排列，里面的元素都是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 這 10個數(shù)，集合是相同的，和元素的排列順序無關(guān) 反思感悟 判斷一組對象是否為集合的三依據(jù) (1)確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否構(gòu)成集合 (2)互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個數(shù) (3)無序性：表示只要一個集合的元素確定，則這個集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無關(guān) 二、元素與集合的關(guān)系 例 2 下列關(guān)系中正確的個數(shù)為( ) 2q；

5、1n；r；|4|z. a1 b2 c3 d4 3 / 9 答案 b 解析 2是無理數(shù)，2q，故錯誤；1n，正確； 是實數(shù)，r，故錯誤；|4|4是整數(shù)，|4|z，故正確 反思感悟 判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法 (1)直接法：集合中的元素是直接給出的 (2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可 跟蹤訓(xùn)練 1 給出下列說法： r 中最小的元素是 0； 若 az，則az； 若 aq，bn*，則 abq. 其中正確的個數(shù)為( ) a0 b1 c2 d3 答案 b 解析 實數(shù)集中沒有最小的元素，故不正確；對于，若 az，則a 也是整數(shù)，故az，所以也不正確；

6、只有正確 三、元素特性的應(yīng)用 例 3 已知集合 a含有兩個元素 a3和 2a1，若3a，試求實數(shù) a的值 解 3a， 3a3或32a1， 若3a3， 則 a0， 此時集合 a中含有兩個元素3，1，符合題意； 若32a1，則 a1， 此時集合 a中含有兩個元素4，3，符合題意； 綜上所述，a0或 a1. 延伸探究 若將“3a”換成“aa”，求實數(shù) a 的值 解 aa，aa3或 a2a1， 解得 a1，此時集合 a 中有兩個元素2,1， 符合題意 故所求 a的值為 1. 4 / 9 反思感悟 由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟 跟蹤訓(xùn)練 2 已知集合 a中含有兩個元素 a和 a2，若 1

7、a，則實數(shù) a_. 答案 1 解析 若 1a，則 a1或 a21，即 a 1. 當(dāng) a1時，aa2，集合 a 中有一個元素， a1. 當(dāng) a1 時， 集合 a中含有兩個元素 1，1，符合互異性 a1. 1下列給出的對象中，能組成集合的是( ) a一切很大的數(shù) b好心人 c漂亮的小女孩 d方程 x210的實數(shù)根 答案 d 2下列結(jié)論不正確的是( ) a0n b. 2q c0q d8z 答案 c 解析 0是有理數(shù)，故 0q，所以 c 錯誤 3若以集合 a 的四個元素 a，b，c，d為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是( ) a梯形 b平行四邊形 c菱形 d矩形 答案 a 解析 由于 a，b，c

8、，d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等 4一個小書架上有十個不同品種的書各 3 本，那么由這個書架上的書組成的集合中含有5 / 9 _個元素 答案 10 解析 由集合元素的互異性知：集合中的元素必須是互不相同的(即沒有重復(fù)現(xiàn)象)，相同的元素在集合中只能算作一個，因此書架上的書組成的集合中有 10 個元素 5如果有一集合含有兩個元素：x，x2x，則實數(shù) x的取值范圍是_ 答案 x0,2 解析 由集合元素的互異性可得 x2xx，解得 x0,2. 1知識清單： (1)元素與集合的概念、元素與集合的關(guān)系 (2)常用數(shù)集的表示 (3)集合中元素的特性及應(yīng)用 2方法歸納：分類討論 3常見

9、誤區(qū)：忽視集合中元素的互異性 1以下各組對象不能組成集合的是( ) a中國古代四大發(fā)明 b地球上的小河流 c方程 x270的實數(shù)解 d周長為 10 cm的三角形 答案 b 解析 因為沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)確定什么樣的河流稱為小河流，故地球上的小河流不能組成集合 2若 a是 r 中的元素，但不是 q中的元素，則 a可以是( ) a3.14 b5 c.37 d. 7 答案 d 解析 由題意知 a應(yīng)為無理數(shù)，故 a 可以為 7. 3有下列說法： 集合 n 中最小的數(shù)為 1；若an，則 an；若 an，bn，則 ab的最小值為2；所有小的正數(shù)組成一個集合 其中正確命題的個數(shù)是( ) 6 / 9 a0 b1 c

10、2 d3 答案 a 解析 n 中最小的數(shù)為 0，所以錯；由(2)n，而2n 可知錯；若 an，bn，則 ab 的最小值為 0，所以錯；“小”的正數(shù)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以錯，故選a. 4給出下列關(guān)系：13r； 5q；3z； 3n，其中正確的個數(shù)為( ) a1 b2 c3 d4 答案 b 解析 13是實數(shù)，正確； 5是無理數(shù)，錯誤；3 是整數(shù)，錯誤； 3是無理數(shù)，正確故選 b. 5集合 a 中有三個元素 2,3,4，集合 b中有三個元素 2,4,6，若 xa 且 xb，則 x 等于( ) a2 b3 c4 d6 答案 b 解析 集合 a 中的元素 3不在集合 b中，且僅有這個元素符合題意 6下列說法

11、中：集合 n 與集合 n*是同一個集合；集合 n 中的元素都是集合 z 中的元素；集合 q 中的元素都是集合 z 中的元素；集合 q 中的元素都是集合 r 中的元素其中正確的有_ 答案 解析 因為集合 n*表示正整數(shù)集，n 表示自然數(shù)集，z 表示整數(shù)集，q 表示有理數(shù)集，r表示實數(shù)集，所以中的說法不正確，中的說法正確 7已知集合 a 是由 0，m，m23m2 三個元素構(gòu)成的集合，且 2a，則實數(shù) m_. 答案 3 解析 由題意知，m2或 m23m22， 解得 m2或 m0 或 m3，經(jīng)驗證， 當(dāng) m0 或 m2時，不滿足集合中元素的互異性， 當(dāng) m3 時，滿足題意，故 m3. 8若由 a，ba

12、，1 組成的集合與由 a2，ab,0 組成的集合相等，則 a2 019b2 019的值為_ 答案 1 解析 由已知可得 a0， 7 / 9 因為兩集合相等，所以有 ba0，a21，或 ba0，ab1， 所以 b0，a1，(舍)或 b0，a1， 經(jīng)檢驗，a1，b0，滿足條件， 所以 a2 019b2 0191. 9設(shè) a是由滿足不等式 x6的自然數(shù)組成的集合，若 aa且 3aa，求 a的值 解 aa且 3aa， a6，3a6，解得 a2.又 an， a0或 1. 10設(shè) xr，集合 a 中含有三個元素 3，x，x22x. (1)求元素 x應(yīng)滿足的條件； (2)若2a，求實數(shù) x 的值 解 (1)

13、由集合元素的互異性可得 x3，x22xx，且 x22x3，解得 x1，x0，且x3. (2)若2a，則 x2或 x22x2. 由于方程 x22x20 無實數(shù)解，所以 x2. 經(jīng)檢驗，知 x2符合互異性故 x2. 11集合 a中含有三個元素 2,4,6，若 aa，且 6aa，那么 a 為( ) a2 b2 或 4 c4 d0 答案 b 解析 若 a2，則 624a； 若 a4，則 642a； 若 a6，則 660a，故選 b. 12已知 x，y 為非零實數(shù)，代數(shù)式x|x|y|y|xy|xy|的值所組成的集合是 m，則下列判斷正確的是( ) a1m b1m c2m d3m 答案 a 解析 當(dāng) x，

14、y 均為正數(shù)時，代數(shù)式x|x|y|y|xy|xy|的值為 3；當(dāng) x，y 為一正一負(fù)時，代數(shù)8 / 9 式x|x|y|y|xy|xy|的值為1；當(dāng) x，y 均為負(fù)數(shù)時，代數(shù)式x|x|y|y|xy|xy|的值為1，所以集合m 的元素有1,3，故選 a. 13由 a2,2a,4 組成一個集合 a，且集合 a 中含有 3 個元素，則實數(shù) a 的取值可以是( ) a1 b2 c1 d2 答案 c 解析 由題意知 a24,2a4，a22a，解得 a 2，且 a1，結(jié)合選項知 c 正確，故選 c. 14已知集合 a 中的元素滿足 x3k1，kz，則1_a，34_a(填“”或“”) 答案 解析 當(dāng) k0時，x1，所以1a；令343k1，得 k11，所以34a. 15已知集合 m 有 2 個元素 x,2x，若1m，則下列說法一定錯誤的是_ 2m；1m；x3. 答案 解析 依題意 x1，2x1，x2x.解得 x1，x1 且 x3， 當(dāng) x2或 2x2，即 x2或 0 時，m中的元素為 0,2，故可能正確； 當(dāng) x1 或 2x1，即 x1 時，m 中兩元素為 1,1 不滿足互異性，故不正確，顯然正