高二數(shù)學數(shù)學歸納法[指南]

1、1.4數(shù)學歸納法教學過程：一、創(chuàng)設(shè)情境，啟動思維情境一、財主兒子學寫字的笑話、“小明弟兄三個，大哥叫大毛" 的腦筋急轉(zhuǎn)彎等；教師總結(jié)：財主的兒子很傻很天真，但他懂一樣思想方法，是什 么？以上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法-一歸納法，這就是 今天的課題.人們通常也會用歸納法思考問題，小孩也會由此總結(jié)出 什么年齡人該叫爺爺，什么年齡人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：華羅庚的“摸球?qū)嶒灐?、這里有一袋球共12個，我們要判斷這一袋球是口球，還是黑 球，請問怎么判斷？啟發(fā)回答：方法一：把它全部倒出來看一看特點：方法是正確的，但操作 上缺乏順序性.方法二：一個一個拿，拿一個看一個.比如結(jié)果為：

2、第一個白球，第二個白球，第三個白球，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球.特點：有順序，有過程.2、如果想象袋子有足夠大容量，球也無限多？要判斷這一袋球 是白球，還是黑球，上述方法可行嗎?情境三：冋顧等差數(shù)列仇通項公式推導(dǎo)過程：=ala2 = q +dg3 = 4 + 2da4 =色 + 3dan = a】+ (n _ l)d設(shè)計意圖：首先設(shè)計情境一，分析情境，自然引出課題一一歸納 法，談笑間進入正題再通過情境二的交流激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學 生學習的積極性情境三點出兩種歸納法的不同特點通過梳理我們 熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點引岀打下伏筆.二、師生互動，探究問題承上啟下：以上問

3、題的思考和解決，用的都是歸納法什么是歸納 法？歸納法特點是什么？上述歸納法有什么不同呢？學生回答以上問題，得出結(jié)論：1. 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.特點： 由特殊f 一般；2. 完全歸納法：把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納 法稱為完全歸納法；3. 不完全歸納法：根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般 結(jié)論的推理方法.在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法有著廣泛的應(yīng)用.例如氣象工作者、 水文工作者，地震工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報, 地震預(yù)測用的就是歸納法.4. 引導(dǎo)學生舉例：不完全歸納法實例：如歐拉發(fā)現(xiàn)立休圖形的歐拉公 式:v-£ + f = 2(

4、r為頂點數(shù),f為棱數(shù)，尸為面數(shù))(2)完全歸納法實例：如證明圓周角定理時，分圓心在圓周角內(nèi) 部、外部及一邊上三種情況討論.設(shè)計意圖：從生活走向數(shù)學，與學生一起回顧以前學過的數(shù)學知 識，并在這里我安排學生舉完全歸納法的實例和不完全歸納法實例， 進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已 接觸過歸納法，并引導(dǎo)學生積極投入到探尋論證方法過程的氛圍屮.三、借助史料，引申思辨問題 1：已知= (/i? _5m + 5)2 ( /?e ao,(1) 分別求; a2;如；勺(2) 由你會有怎樣的一個猜想？這個猜想正確嗎？問題2：費馬j fermat)是17世紀法國著名的數(shù)學家，他是解 析幾

5、何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人z-,是 概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻.他曾認為，當nn 時，2才+1 定都是質(zhì)數(shù)，這是他對/7=0, 1, 2, 3, 4作了驗證后得 到的.后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉(euler卻證明了 2»+1 =4 294 967 297 = 6 700 417x641,從而否定了費馬的推測.沒想 到當27=5這一結(jié)論便不成立.教師總結(jié)：有人說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法冋答的但是要告訴同學們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個數(shù)上!問題3 : /(h) = n2 +« + 41,當nw n時，/是否都為質(zhì)數(shù)

6、？驗證：r (0) =41, r (1) =43, r (2) =47, /(3) =53, f(4) =61, f (5) =71, f (6) =83, f (7) =97, f (8) =113, / (9) =131, / (10) =151,，f (39) =1 601.但是 f (40) =1 681 = 41?,是合數(shù).承上啟下：這里算了 39個數(shù)不算少了吧，但還是不行！我們介 紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒， 也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因， 并研究出對策來,尋求數(shù)學證明.教師設(shè)問：，不完全歸納法為什么會出錯？如何彌補不

7、足？怎么 給出證明呢？設(shè)計意圖：在生活引例與已學數(shù)學知識的基礎(chǔ)上，進一步引導(dǎo)學 生看數(shù)學史料，能夠讓學生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納 法的普遍性.同吋引導(dǎo)學生進行思辨：在數(shù)學中運用不完全歸納法常 常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學大師都有可能如此.那么， 不完全歸納法價值體現(xiàn)在哪里？不足之處如何去彌補呢？結(jié)論止確 性怎樣給出證明？學生一定會帶著許多問題進入下一階段探究.四、實例再現(xiàn)，激發(fā)興趣1、演示多米諾骨牌游戲視頻.師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：(1) 第一塊要倒下；(2) 當前面一塊倒下吋，后面一塊必須倒下；當滿足這兩個條件后，多米諾骨牌全部都倒下.再舉例：再舉幾則

8、生活事例：推倒自行車，早操排隊對齊等.2、學生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關(guān)正 整數(shù)命題的方法(建立數(shù)學模型).設(shè)計意圖：布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論認為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學習” 強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程.這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發(fā)現(xiàn) 數(shù)學歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學習.另外，這個環(huán)節(jié)里, 我在培養(yǎng)學生大膽猜想、類比概括能力方面實踐的不夠好.應(yīng)該讓學 生在類比多米諾骨牌游戲的基礎(chǔ)上說出數(shù)學歸納法原理，教師給予肯 定和補充即可。事實上，情境的設(shè)計都是為學生更好的知識遷移而服 務(wù)的。概括能力是思維能力的核心.魯賓斯坦指出：思維都是在概括 中完成的.心理學認為“遷移就是概括”，這

9、里知識、技能、思維方 法、數(shù)學原理的遷移，突破口就是學生的概括過程.五、類比聯(lián)想，形成概念1、類比多米諾骨牌過程，證明等差數(shù)列通項公式 q” =也+5-l)d (師生共同完成，教師強調(diào)步驟及注意點)(1) 當門=1時等式成立；(2) 假設(shè)當n=k時等式成立,即ak =a+(k-l)d, 則畋+i =ak +d二a】 +(k + l)-ld ,即刃=斤+1時等式也成立于是，我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項公式afl=a+（n-）d對任 何nwv都成立.2. 數(shù)學歸納法原理（學生表述，教師補正）:（1）（遞推奠基）:門取第一個值心（例如如=1）時命題成立;（2）（遞推歸納）：假設(shè)當且力三燦）時結(jié)論止

10、確；（歸 納假設(shè)）利用它證明當尸后1時結(jié)論也正確.（歸納證明）由（1）, （2）可知，命題對于從必開始的所有正整數(shù)門都正確，這 種證明方法叫做數(shù)學歸納法.3、數(shù)學歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納一有限的演繹（遞推關(guān)系）設(shè)計意圖：至此，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程教師強調(diào)數(shù)學歸納法特點.數(shù)學歸納法實際上是一種 以數(shù)學歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化 為一個有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具，一 種具普遍性的方法.六、討論交流，深化認識例1、數(shù)列仏中，=1, a十匕通項公式是什么？你是怎么得到的？探討一：觀察數(shù)列仏特點，變形解岀.探討二：先計

11、算勺，嗎，©的值，再推測通項的公式，最后用數(shù)學歸納法證明結(jié)論.設(shè)計意圖：通過典型例題使學生探究嘗試，一方面體驗“觀察一 歸納一猜想一證明”完整過程，既能鞏固歸納法和數(shù)學歸納法，也能 使他們體驗數(shù)學方法，培養(yǎng)學生獨立研究數(shù)學問題的意識和能力.不 同的方法也體現(xiàn)解決問題的靈活性.七、反饋練習，鞏固提高（請兩位同學板演以下兩題，教師指正）1、用數(shù)學歸納法證明：1 + 3 + 5 + （2/7-1） =/2、首項是，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是an=a.q3、用數(shù)學歸納法證明:2 + 4 + 6 + 2 =兀2+ + i時,下列推證 是否正確，說出理由？證明：假設(shè) 吋，等式成立2 + 4

12、+ 6 + + 2k =+ k +1 jjfe.v.那么 2 + 4 + 6 + + 2p+2（r + l）=k2 +比 + 1 + 2依 + 1）二（比 + 1）2 +（£ + 1）+1這就是說當n = k + 時等式成立，所以 w n"吋等式成立.4、判斷下列推證是否ie確，若是不對，如何改正.求證:冷+”+£證明：當嚴1時，左邊弓右邊等式成立.設(shè)丹時,有*+*+*+.+存1_（那么，當n二后1時，有1丄1丄1丄丄11°2 22 23 2k 2a+,1-=1-，即n=k+l時，命題成立 根據(jù)可知，對nen等式成立.設(shè)計意圖：練習題1, 2的證明難度不

13、大，套用數(shù)學歸納法的證 明步驟不難解答，通過這兩個練習能看到學生對數(shù)學歸納法證題步驟 的掌握情況.這樣既可以檢驗學生的學習水平，保證不盲目拔高，同 時不沖淡本節(jié)課的重點，對例題是一個很好的對比與補充.通過3, 4的易錯辨析，進一步體會數(shù)學歸納法證題時的兩個步驟、一個結(jié)論,“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉” 八、總結(jié)歸納，加深理解1、本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學歸納法；2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸 納法和不完全歸納法兩種，枚舉法僅局限于有限個元索，而不完全歸 納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法；3、數(shù)學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推（遞歸）思 想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假 設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；4、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、類比思想、 分類思想、歸納思想、辯證思想.九、布置作業(yè)，課外延伸十、書而作業(yè)：見教材課后思考題：1.是否存在常數(shù)3、b、c使得等式：1 9ix3 + 2x4 + 3x5 +