列一元一次方程解應(yīng)用題的方法

1、淺談列一元一次方程解應(yīng)用題 的方法作者:日期:淺談列一元一次方程解應(yīng)用題的方法西安市臨潼區(qū)任留初級中學(xué)夏圣策分析問題和解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一。 而列方程解應(yīng)用題，是整個初中 數(shù)學(xué)的重點和難點。許多實際問題都可以歸結(jié)為解一種方程。 所以列出方程或方程組解 應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際，解決實際問題的一個重要方面；同時通過列方程解應(yīng)用題，可 以培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。因此對于這一部分教學(xué)內(nèi)容，無論是教師還 是學(xué)生，都要下一番工夫。一列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟1 審題：學(xué)生默讀題目，認真審題，理解題意，弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，找出其中 的等量關(guān)系，并要求學(xué)生用鉛筆標注出來。2. 設(shè)

2、未知數(shù)：一般的，求什么設(shè)什么，也可以間接地設(shè)其他未知量。設(shè)出未知數(shù)后， 表示出有關(guān)的含字母的式子。3. 列方程：利用已找出的等量關(guān)系列出方程。4. 解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值。?是否符合實際，檢5 檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解, 驗后寫出答案。二.主要應(yīng)用題目類型題目類型1:市場經(jīng)濟、打折銷售問題1.商品利潤=商品售價一商品成本價2.商品利潤率=商品利潤商品成本價× 100%3. 商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量4. 商品的銷售利潤=（銷售價-成本價）×銷售量8折出售，即按原標5. 商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如

3、商品打 價的80%B售.例1.某商店開張，為了吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，已知某種皮鞋進 價60元一雙，八折出售后商家獲利潤率為 40%問這種皮鞋標價是多少元？優(yōu)惠價是 多少元？分析通過列表分析已知條件，找到等量關(guān)系式進價折扣率標價優(yōu)惠價利潤率60元8折X元80%X40%解：設(shè)標價是X元,80% 606040100等量關(guān)系：商品利潤率=商品利潤/商品進價解之：x=105優(yōu)惠價為80%x-80 10584（元）,100例2. 一家商店將某種服裝按進價提高40%t標價，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件 仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少?分析探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵，可直接設(shè)出成本為X元

4、進價折扣率標價優(yōu)惠價利潤X元8折(1+40% X 元80% (1+40% X15元等量關(guān)系：（利潤=折扣后價格一進價）折扣后價格-進價 =15解：設(shè)進價為 X 元，80%X（ 1+40% X=15, X=125答：進價是125元。跟蹤練習(xí)1 .一種商品進價為50元，為賺取20%勺利潤，該商品的標價為 .2 某商品的標價為220元，九折賣出后盈利10%則該商品的進價為 元.3. 某種商品若按標價的8折出售可獲利20%若按原標價出售，則可獲利（）A. 25% B . 40% C . 50% D . 14. 兩件商品都賣84元，其中一件虧本20%另一件贏利40%則兩件商品賣后（）.A.贏利16.8元

5、 B .虧本3元 C .贏利3元 D.不贏不虧5. 一家商店將一種自行車按進價提高 45%t標價，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進價是多少元？若設(shè)這種自行車每輛的進價是X元，那么所列方程為（）A.45%×（ 1+80% x-x=50 B. 80%×（ 1+45% X - X = 50C. x-80% ×（ 1+45% X = 50D.80%×（ 1-45%） X - X = 506. 某商品的進貨價為每件X元，零售價為每件900元，為了適應(yīng)市場競爭，商店按零售 價的九折讓利40元銷售，仍可獲利10%則X為（）A 700元 B 約

6、733元C 約736元D 約856元7. 某商品的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積壓，商店準備打 折出售，但要保持利潤率不低于 5%則至多打幾折.8. 家商店將某種型號的彩電先按原售價提高40%然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠” 經(jīng)顧客投拆后，拆法部門按已得非法收入的10倍處以每臺2700元的罰款， 求每臺彩電的原售價.9. 某商品進價是1000元，標價為1500元，商品要求以利潤率不低于 5%勺售價打折出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品？題目類型2:方案選擇問題例1.某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，？經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達

7、 4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至 7500元，當(dāng) 地一家公司收購這種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行精加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，？ 但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工.方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，？在市場上直接銷售.方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.你認為哪種方案獲利最多？為什么？解：方案一：獲利 140× 4500=630000 （元）方案二：獲

8、利 15× 6× 7500+ （140-15 × 6）× 1000=725000 （元）方案三：設(shè)精加工X噸，則粗加工（140-x）噸.依題意得-迴乜=15 解得x=606 16獲利 60× 7500+ （140-60 ）× 4500=810000 （元）因為第三種獲利最多，所以應(yīng)選擇方案三.例2.某市移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50?元月基礎(chǔ)費， 然后每通話1分鐘，再付電話費0.2元；“神州行”不繳月基礎(chǔ)費，每通話 1?分鐘 需付話費0.4元（這里均指市內(nèi)電話）.若一個月內(nèi)通話X分鐘，兩種通話方式的費用分別為

9、y元和y2元.(1) 寫出y, y2與X之間的函數(shù)關(guān)系式(即等式).(2) 一個月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通話方式的費用相同？(3) 若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費120元，則應(yīng)選擇哪一種通話方式較合算？解：(1)y=0.2x+50，y2=0.4x .(2) 由 y1=y2得 0.2x+50=0.4x ,解得 x=250.即當(dāng)一個月內(nèi)通話250分鐘時，兩種通話方式的費用相同.(3) 由 0.2x+50=120 ,解得 x=350由 0.4x+50=120 ,得 x=300因為 350>300故第一種通話方式比較合算.例3.某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時 0.40元，若每月用電量超過a千瓦時

10、， 則超過部分按基本電價的70%攵費.(1) 某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a.(2) 若該用戶九月份的平均電費為 0.36元，則九月份共用電多少千瓦時？應(yīng)交電費是多少元？解：(1)由題意，得 0.4a+(84-a)× 0.40 × 70%=30.72 解得 a=60(2) 設(shè)九月份共用電X千瓦時，J則 0.40 × 60+(x-60 ) × 0.40 × 70%=0.36x 解 得 x=90所以 0.36 × 90=32.40 (元)答：九月份共用電90千瓦時，應(yīng)交電費32.40元.例4 .某家電商場計劃用9萬元

11、從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機.已知該廠家生產(chǎn) 3?種不 同型號的電視機，出廠價分別為 A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500 元.(1) 若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究 一下商場的進貨方案.(2) 若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200 元，？銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？9 /15解：按購A, B兩種，B, C兩種，A, C兩種電視機這三種方案分別計算，設(shè)購A種電視機X臺，則B種電視機y臺.（1） 當(dāng)選購A, B兩種電視機時，B

12、種電視機購（50-x）臺，可得方程1500x+2100 （ 50-x）=90000 即 5x+7（ 50-x）=300 2x=50 x=2550-x=25 當(dāng)選購A，C兩種電視機時，C種電視機購（50-x ）臺，可得方程 1500x+2500 （50-x）=900003x+5（ 50-x）=1800 x=3550-x=15 當(dāng)購B，C兩種電視機時，C種電視機為（50-y ）臺.可得方程 2100y+2500 （ 50-y ） =9000021y+25（50-y ） =900，4y=350,不合題意由此可選擇兩種方案：一是購A, B兩種電視機25臺；二是購A種電視機35臺，C 種電視機15臺.（

13、2） 若選擇（1）中的方案，可獲利 150 ×25+250× 15=8750 （元）若選擇（1）中的方案，可獲利 150 × 35+250× 15=9000 （元）9000>8750故為了獲利最多，選擇第二種方案.跟蹤練習(xí)小剛為書房買燈?，F(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦的節(jié)能燈，售價為49元/ 盞，另一種是40瓦的白熾燈，售價為18元/盞。假設(shè)兩種燈的照明效果一樣，使用壽 命都可以達到2800小時。已知小剛家所在地的電價是每千瓦時0.5元。（1）.設(shè)照明時間是X小時，請用含X的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈和用一盞白 熾燈的費用。（費用=燈的售價+電

14、費）（2）.小剛想在這兩種燈中選購一盞。 當(dāng)照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多？ 試用特殊值判斷：照明時間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費用低？照明時間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費用低？（3）.小剛想在這種燈中選購兩盞。假定照明時間是3000小時，使用壽命都是28007 Z 15小時。請你設(shè)計一種費用最低的選燈照明方案，并說明理由。題目類型3儲蓄、儲蓄利息問題(1) 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本 息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%寸利息稅(2 )利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息利息稅=利息

15、5;稅率(20%(3) 利潤 每個期數(shù)內(nèi)的利息100%,本金例1.某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7 元，求銀行半年期的年利率是多少？(不計利息稅)分析等量關(guān)系：本息和=本金×( 1+利率)解：設(shè)半年期的實際利率為 X，依題意得方程250 (1+X) =252.7， 解得X=0.0108一年2.25三年2.70六年2.88所以年利率為0.0108 × 2=0.0216答：銀行的年利率是21.6%例2.為了準備6年后小明上大學(xué)的學(xué)費20000元，他的父親現(xiàn)在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：(1 )直接存入一個6年期；(2 )

16、先存入一個三年期，3年后將本息和自動轉(zhuǎn)存一個三年期；(3 )先存入一個一年期的，后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個一年期； 你認為哪種教育儲蓄 方式開始存入的本金比較少？分析這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲蓄的 本金是多少，再進行比較。解：(1)設(shè)存入一個6年的本金是X元,依題意得方程X (1+6× 2.88%) =20000,解得 X=17053(2 )設(shè)存入兩個三年期開始的本金為 Y元,Y (1+2.7%× 3) (1+2.7% × 3) =20000, X=17115(3) 設(shè)存入一年期本金為Z元，Z (1+2.25%) 6=20000,

17、Z=17894所以存入一個6年期的本金最少。跟蹤練習(xí)1 利息稅的計算方法是：利息稅 =利息× 20%某儲戶按一年定期存款一筆，？年利率2.25%, 年后取出時，扣除了利息稅 90元，據(jù)此分析，？這筆存款的到期利息是 元，本金是 ,銀行向儲戶支付的現(xiàn)金是 2 小剛的爸爸前年買了某公司的二年期債券 4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少（精確到0.01%）.3. 為了準備小明三年后上高中的學(xué)費，他的父母準備現(xiàn)在拿出3000元參加教育儲蓄， 已知教育儲蓄一年期利率為1.98%,二年期利率為2.25%，三年期利率為2.52%, ?請 你幫小明的父

18、母計算一下如何儲蓄三年后得到的利息最多.4. （北京海淀區(qū)）白云商場購進某種商品的進價是每件8元，銷售價是每件10元（銷 售價與進價的差價2元就是賣出一件商品所獲得的利潤）.現(xiàn)為了擴大銷售量，?把 每件的銷售價降低%售，？但要求賣出一件商品所獲得的利潤是降價前所獲得的 利潤的90%則X應(yīng)等于（）.A. 1B . 1.8 C . 2 D . 105. 某人按定期2年向銀行儲蓄1500元，假設(shè)每年利率為3% （不計復(fù)利）到期支取時，扣除利息所得稅（稅率為20%此人實得利息為（）A 1272 元 B 36 元C 72 元D 1572 元6. 用若干元人民幣購買了一種年利率為10%的一年期債券，到期后

19、他取出本金的一半用作購物，剩下的一半和所得的利息又全部買了這種一年期債券（利率不變），到期后得本息和1320元。問張叔叔當(dāng)初購買這咱債券花了多少元？21.購買了 25000元某公司1年期的債券，一年后扣除20%!勺利息稅之后得到本息和為 26000元，這種債券的年利率是多少？題目類型4: X程問題工作量=工作效率×工作時間工作效率=工作量÷工作時間工作時間=工作量÷工作效率完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量= 1例1. 一件工作，甲獨作10天完成，乙獨作8天完成，兩人合作幾天完成？分析甲獨作10天完成，說明的他的工作效率是 ,乙的工作效率是1,10 8等量關(guān)系是

20、：甲乙合作的效率×合作的時間 =1解：設(shè)合作X天完成,依題意得方程（丄1）x 1 解得X 401089答：兩人合作40天完成9例2. 一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天 后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？分析設(shè)工程總量為單位1，等量關(guān)系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。 解：設(shè)乙還需X天完成全部工程，設(shè)工作總量為單位 1,由題意得，（丄丄）3 1解之得X 336315121255答：乙還需63天才能完成全部工程。5例3. 一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管， 單獨開甲管6小時可注滿水 池；單獨開乙

21、管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙 管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池？分析等量關(guān)系為：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。解：設(shè)打開丙管后X小時可注滿水池，11X304由題意得，（1 1 ）（x2）-1解這個方程得X302上6 891313答：打開丙管后2小時可注滿水池。13跟蹤練習(xí)1. 一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？2. 某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其

22、余的加工乙種零件？已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利 24元.若此車間一共獲利1440元，？求這一 天有幾個工人加工甲種零件3. 一項工程甲單獨做需要10天，乙需要12天，丙單獨做需要15天，甲、丙先做3天 后，甲因事離去，乙參與工作，問還需幾天完成？題目類型5:若干應(yīng)用問題等量關(guān)系的規(guī)律（1）和、差、倍、分問題 此類題既可有示運算關(guān)系，又可表示相等關(guān)系，要結(jié)合 題意特別注意題目中的關(guān)鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導(dǎo)我們正確地列出代數(shù)式或方程式。增長量=原有量×增長率現(xiàn)在量=原有量+增長量例1.某糧庫裝糧食，第一個倉庫

23、是第二個倉庫存糧的 3倍，如果從第一個倉庫中取出520噸放入第二個倉庫中，第二個倉庫中的糧食是第一個中的 萬，問每個倉庫各有多少 糧 食？ 設(shè)第二個倉庫存糧X噸，則第一個倉庫存糧3x噸，根據(jù)題意得5(3x 20) X 20 解得 X 30 3x 3 30 90 7(2) 等積變形問題常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變 圓柱體的體積公式V=底面積×咼=S h= r2h 長方體的體積V =長×寬×高=abc例2. 一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為 300毫米，300毫米和80?毫米的長方體鐵 盒中的水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中

24、，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高(精 確到0.1毫米， 3.14 ).解：設(shè)圓柱形水桶的高為X毫米，依題意，得 ( 200 ) 2X=300× 300× 802X 229.3答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米.跟蹤練習(xí)長方體甲的長、寬、高分別為 260mm 150mm 325mm長方體乙的底面積為130× 130mm又知甲的體積是乙的體積的 2.5倍，求乙的高？題目類型6:行程問題基本量之間的關(guān)系：路程=速度×時間時間=路程÷速度速度=路程÷時間(1)相遇問題快行距+慢行距=原距(3) 航行問題(2) 追及問題快行距-慢行距=原距順水（

25、風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關(guān)系.例1.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行 90公里，一列快車 從乙站開出，每小時行140公里。（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車 相遇？（2） 兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？（3） 兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600 公里？（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車

26、在慢車后面，快車開出后多少小時追 上慢車？此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形 分析。（1） 分析：相遇問題，畫圖表示為：:甲乙等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解：設(shè)快車開出X小時后兩車相遇，由題意得，140x+90（x+1）=480解這個方 程，230x=390.16X 1,60012 X=23+480公里=600公里。23答：快車開出116小時兩車相遇23分析：相背而行，畫圖表示為：等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。解：設(shè)X小時后兩車相距600公里,由題意得，（140+90）x+480=600解這個方程，230x=

27、120答：12小時后兩車相距600公里。23（3）分析：等量關(guān)系為：快車所走路程-慢車所走路程50x=120解：設(shè)X小時后兩車相距600公里，由題意得，(140 90)x+480=600 x=2.4kH甲乙答：2.4小時后兩車相距600公里。分析：追及問題，畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公 里。解：設(shè)X小時后快車追上慢車。由題意得，140x=90x+480 解這個方程，50x=480 x=9.6答：9.6小時后快車追上慢車。分析：追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程 =慢車走的路程+480公里。解：設(shè)快車開出X小時后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480 5

28、0x=570 x=11.4答：快車開出11.4小時后追上慢車。例2.甲乙兩人在同一道路上從相距 5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千 米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著一只狗，當(dāng)甲追乙時，狗先追上乙，再返回 遇上甲，再返回追上乙，依次反復(fù)，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15千米/小時, 求此過程中，狗跑的總路程是多少？分析追擊問題，不能直接求出狗的總路程，但間接的問題轉(zhuǎn)化成甲乙兩人的追 擊問題。狗跑的總路程=它的速度×時間，而它用的總時間就是甲追上乙的時間解：設(shè)甲用X小時追上乙，根據(jù)題意列方程5X=3X+5 解得 X=2.5,狗的總路程：15×2.5=37.5

29、答：狗的總路程是37.5千米。例3.某船從A地順流而下到達B地，然后逆流返回，到達 A B兩地之間的C地， 一共航行了 7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時。A C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程。分析這屬于行船問題，這類問題中要弄清：(1) 順水速度=船在靜水中的速度+水流速度；(2) 逆水速度=船在靜水中的速度-水流速度。相等關(guān)系為：順流航行的時間+逆 流航行的時間=7小時。解：設(shè)A、B兩碼頭之間的航程為X千米，則B C間的航程為(x-10)千米，由題意得，亠口° 7解這個方程得X 3252 8 8 2答：A、B兩地之間的路程為32.5千米。跟蹤練習(xí)1 .有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一 鐵橋需多5 秒,又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的 2倍短50米，試求各鐵橋的長.2. 已知甲、乙兩地相距120千米，乙的速度比甲每小時快1千米，甲先從A地出發(fā)2 小時后，乙從B地出發(fā)，與甲相向而行經(jīng)過10小時后相遇，求甲乙的速度？30. 一隊學(xué)生去軍事訓(xùn)練，走到半路，隊長有事要從隊頭通知到隊尾， 通訊員以18米/ 分的速度從隊頭至隊尾又返回，已知隊伍的行