高等數(shù)學：1-5 極限的運算法則

1、第五節(jié)第五節(jié) 極限的運算法則極限的運算法則一、無窮小的運算性質(zhì)一、無窮小的運算性質(zhì)二、極限的運算法則二、極限的運算法則三、求極限方法舉例三、求極限方法舉例四、復合函數(shù)的極限運算法則四、復合函數(shù)的極限運算法則定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小是無窮小.證證,時時的的兩兩個個無無窮窮小小是是當當及及設(shè)設(shè) x使得使得, 0, 0, 021 NN;21 時恒有時恒有當當Nx;22 時恒有時恒有當當Nx,max21NNN 取取恒有恒有時時當當,Nx 22 , )(0 x一、無窮小的運算性質(zhì)一、無窮小的運算性質(zhì)注意注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮

2、小無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是無窮小，是無窮小，時時例如例如nn1, .11不不是是無無窮窮小小之之和和為為個個但但nn定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有時時使得當使得當則則.0, 0, 0202Mxx 恒有恒有時時使得當使得當,0時的無窮小時的無窮小是當是當又設(shè)又設(shè)xx ,min21 取取恒有恒有時時則當則當,00 xx uuMM , .,0為無窮小為無窮小時時當當 uxx推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論

3、推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時時當當例如例如都是無窮小都是無窮小二、極限運算法則二、極限運算法則定理定理3. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立(

4、 )( )f xAg xB 令令BABA )( BBAB. 0 AB01()xB B 下下證證在在 的的某某領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)有有界界即即可可。lim ( )3g xB 因因為為，所所以以由由第第三三節(jié)節(jié)定定理理 知知, 0 00,( ).2Bxxg x 當當時時 有有, 2BB 即即,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如

5、果如果推論推論2 2定理定理4 nnxy設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)列列, ,，如如果果lim,lim,nnnnxAxB則有則有(1)lim();nnnxyAB(2)lim();nnnxyA B (3)0(1,2,)0lim.nnnnxAynByB當當且且時時，定理定理5 ( )( ),lim ( ),lim( ),.xxxaxbab 如如果果而而那那么么三、求極限方法舉例三、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(l

6、im1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :則有則有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則有則有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 x

7、xxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再

8、求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結(jié)小結(jié): :為非負整數(shù)時有為非負整數(shù)時有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子、分母子、分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.練習練習., 2)12(lim2babaxxxx、求求設(shè)設(shè) 解解1112lim2xxbxaxxx左邊1

9、21lim2xbxbaxax商的極限存在，必須商的極限存在，必須01 a2ba，解得解得1a3b，.解解221 lim2,.23xxaxbabxx 練練習習設(shè)設(shè)求求 、.,1而而商商的的極極限限存存在在分分母母的的極極限限是是零零時時x. 01)(lim21 babaxxx則則)1)(3()1)(1(lim32lim1221 xxxaxxxbaxxxx于是于是. 24231lim1 axaxx. 7, 6 ba故故例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )

10、11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,為無窮小為無窮小時時當當xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 000000000 ( )( )( ) ( )lim( )lim( )00( ) lim ( )lim( ).6xxuuxxuuf g xug xyf uf g xg xuf uAxxg xuf g xf uA（復復合合函函數(shù)數(shù)的的極極限限運運算算法法則則）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由由與與復復合合而而成成，在在點點的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若，且且存存在在，當當時時，有有則則理理

11、，定定0lim ( )xxf g x0lim( )uuf u( )ug x 令令00lim( )xxug x 意義：意義：證證: 0, 0, 當當00uu 時時, 有有( )f uA 00lim( )xxg xu 0, 10, 當當010 xx 時時, 有有0( )g xu 對上述對上述取取 01min, 則當則當00 xx 時時0( )g xu 0uu 故故0 ( )f g xA ( )f uA, 得證。得證。0lim( )uuf uA 00,00 xx 要要證證，當當時時，有有( ( )f g xA 例例8 . 求求解解: 方法方法 111lim.1xxx ,xu 則, 1lim1ux令1

12、1112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2例例9 9.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原式原式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令三、小結(jié)三、小結(jié)1. 極限運算法則極限運算法則(1) 無窮小運算法則無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則極限四則運算法則(3) 復合函數(shù)極限運算法則復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件注意使用條件Th1Th2Th3Th4Th62. 求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法分式

13、函數(shù)極限求法0) 1xx 時時, 用代入法用代入法( 要求分母不為要求分母不為 0 )0)2xx 時時, 對對00型型 , 約去公因子約去公因子x)3時時 , 分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭抓大頭”(2) 復合函數(shù)極限求法復合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量設(shè)中間變量作業(yè)作業(yè)P49 1 (5)，(7)，(9)，(12)，(14) 2 (1)，(3) 3 (1) 5思考題思考題 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有

14、極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤故假設(shè)錯誤._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習習 題題._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xx