高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件：Lecture 35-Application of Definite Integrals in Physics

1、（注意恰當(dāng)?shù)模ㄗ⒁馇‘?dāng)?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡化積分運(yùn)算）有助于簡化積分運(yùn)算）復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1. 平面圖形的面積平面圖形的面積在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程形式下參數(shù)方程形式下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下21( )( )dbaAfxfxx 21d( )( )d .btatAf xxttt 21 ( ) d .2A (1) 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積(2) 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 繞平行于坐標(biāo)軸的直線旋轉(zhuǎn)一周繞平行于坐標(biāo)軸的直線旋轉(zhuǎn)一周2. 體積體積( )d .baVA xx 2|( )|dbyaVx f xx

2、2ddcVyy 2 ( ) dbaVf xx 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸軸旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周y直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下3. 平面曲線的弧長平面曲線的弧長21d .basyx 22( )( )d .sttt 22( )( )d .srr 22( )1( ) dbaAf xfxx 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積:第三節(jié)第三節(jié)一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功二、二、 液體的側(cè)壓力液體的側(cè)壓力三、三、 引力問題引力問題四、四、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (補(bǔ)充補(bǔ)充)定積分定積分在物理學(xué)在物理學(xué)上的應(yīng)用上的應(yīng)用 一、變力沿直線所作的功一、變力沿

3、直線所作的功FsF：不變的力：不變的力 WF sF 對物體所做的功：對物體所做的功：F(x)Ox x+dxabx d( )dWF xx 對物體所做的功：對物體所做的功：F(x)d( )dbbaaWWF xxab在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)為在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)為 的地方，那么電場對它的地方，那么電場對它的作用力的大小為的作用力的大小為 ( k為常數(shù)為常數(shù))， 當(dāng)這個(gè)單當(dāng)這個(gè)單位位正電荷在電場中從正電荷在電場中從 處沿處沿 軸移動(dòng)到軸移動(dòng)到 處時(shí)，計(jì)算電場力處時(shí)，計(jì)算電場力 對它所作的功對它所作的功 例例1. 把一個(gè)把一個(gè)帶帶 電量的點(diǎn)電荷放在電量的點(diǎn)電荷放在 軸上坐標(biāo)軸上坐標(biāo)q rr2qFkr ra

4、rrb F原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場這個(gè)電場對周圍的電荷原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場這個(gè)電場對周圍的電荷有作用力由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷放有作用力由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷放解解所求功為所求功為將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處所作的功為：將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處所作的功為：取取 為積分變量，為積分變量，r , ,ra b 2dakqwrr .kqa 1akqr2dbakqwrr 1bakqr11.kqab例例2. 一圓柱形蓄水池高一圓柱形蓄水池高為為 5 米，底半徑為米，底半徑為 3 米，米，池內(nèi)盛滿了水池內(nèi)盛滿了水. 問要把池問要把池內(nèi)的水全部吸出，需做內(nèi)的水全部吸出，需做多少功？多少功？xoxdx

5、x 5這一薄層水的重力這一薄層水的重力為：為：29.83 dGx 功元素為功元素為d88.2d ,wx x 88.2 dx 5088.2dwx x 52088.22x 3462 (千焦千焦)例例3. 用用鐵錘把釘子釘入木板鐵錘把釘子釘入木板， 設(shè)設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枘景鍖﹁F釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊擊時(shí)將鐵釘擊入入 1 厘米厘米，若每次錘擊所作的功相等，若每次錘擊所作的功相等，問第問第 次次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？n解解第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對鐵釘

6、的阻力為( ),f xkx 110( )dwf xx ,2k 設(shè)設(shè) 次次擊入的總深度擊入的總深度為為 厘米厘米nh次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n0( )dhhwf xx 22kh 次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n0( )dhhwf xx 22kh 依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等1hwnw 22kh,2kn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n,hn 第第 次次擊入的深度為擊入的深度為n1.nn從而平板一側(cè)所受的水壓力為從而平板一側(cè)所受的水壓力為二、水壓力二、水壓力平板水平放置在水下平板水平放置在水下 h 米處米處, ,平板面積為平板面積為A，水深水深 h

7、 米處的壓強(qiáng)為米處的壓強(qiáng)為 水的密度為水的密度為 pgh Pp AAh平板垂直放置在水下平板垂直放置在水下 h 米處米處, ,h不同水深處壓強(qiáng)不同，不同水深處壓強(qiáng)不同，需采用微元法處理需采用微元法處理設(shè)桶的底半徑為設(shè)桶的底半徑為水的密度為計(jì)算桶的一端水的密度為計(jì)算桶的一端例例4. 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，,R, 面所受的壓力面所受的壓力xo解：解：在端面建立坐標(biāo)系如圖在端面建立坐標(biāo)系如圖取取 為積分變量，為積分變量，x0,xR 小矩形片上各處壓強(qiáng)近似相等小矩形片上各處壓強(qiáng)近似相等,pgx 小矩形片的面積：小矩形片的面積：222d .Rxx

8、 ,d x xx 取任一小區(qū)間取任一小區(qū)間xdxx 小矩形片上的壓力元素為：小矩形片上的壓力元素為：22d2dPgx Rxx 端面上所受的壓力為：端面上所受的壓力為：2202dRPgx Rxx 22220d()RgRxRx 322023RgRx 32.3gR xoxdxx 例例5. 將直角邊各為及將直角邊各為及 的直角三角形薄板垂直的直角三角形薄板垂直地進(jìn)入水中，斜邊朝下，長直角邊的邊長與水面平地進(jìn)入水中，斜邊朝下，長直角邊的邊長與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，求薄行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，求薄板所受的側(cè)壓力板所受的側(cè)壓力a2a 解：解： 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系

9、如圖xoa2a2ay直線方程直線方程 2yax面積微元面積微元2()d ,axx d(2 ) 2()dPg xaaxx 02(2 )()daPg xa axx 37.3ga 三、引力三、引力相距為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)r兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力：122;m mFGr 引力方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向引力方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向如果要計(jì)算一根細(xì)棒對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，則由于棒如果要計(jì)算一根細(xì)棒對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，則由于棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)隊(duì)該質(zhì)點(diǎn)上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)隊(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，需用微元法的思想求解的引力方向也是變化的，需用微元法的思想求解G

10、為引力系數(shù)；為引力系數(shù)； 1m2mr1,m2m質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 xyoMa2l 2l解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖將這小段近似看成質(zhì)點(diǎn)，將這小段近似看成質(zhì)點(diǎn)，rydyy 例例6. 有一長度為有一長度為線線密度為密度為的均勻細(xì)棒，在的均勻細(xì)棒，在單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)計(jì)算該棒對質(zhì)點(diǎn)計(jì)算該棒對質(zhì)點(diǎn)的引力的引力其中垂線上距棒其中垂線上距棒, l am,MM取取 為積分變量，為積分變量，y,2 2lly 取任一個(gè)小區(qū)間取任一個(gè)小區(qū)間 ,d y yy 小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為d , y 小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為引力元素引力元素水平方向的分力元素水平方向的分力元素

11、由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為 xyoMa2l 2lrydyy 22,ray22dd,myFGay ddcosxFF 3222d,()amyGay 232222d()llxamyFGay 12222,(4)Gm laal 0.yF 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)利用利用“微元法微元法”思想思想求求變力作功、水壓力和引力等物理問題變力作功、水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關(guān)的物理知識）（注意熟悉相關(guān)的物理知識）思考題思考題 一一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與它在水浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？中受到的浮力有何關(guān)系？思考題解答思考題解答該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓