高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件：Lecture 39-Linear Equations of Constant Coefficients

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 通過引入變換進(jìn)行降階通過引入變換進(jìn)行降階( )1.( )nyf x 2.( ,)yf x y 令令( ) ,yp x 3.( ,)yf y y 令令( ) ,yp y ddpyx 則則ddpypy 則則逐次積分逐次積分齊次線性齊次方程齊次線性齊次方程線性相關(guān)與線性相關(guān)與線性無關(guān)線性無關(guān)降階法與降階法與常數(shù)變易法常數(shù)變易法( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y 11( )( ).nnyC y xC yx解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)1( )(1)1( )( )( ) nnmkknya x yafxx y 非非齊次線性齊次方程齊

2、次線性齊次方程111(*( )nnnkkyC y xxyC yx 解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)基本基本思路；思路； 求解常系數(shù)線性齊次微分方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程求特征方程(代數(shù)方程代數(shù)方程)之根之根轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化常常系數(shù)系數(shù)齊次線性微分方程齊次線性微分方程第七節(jié)第七節(jié)n 階階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一、定義一、定義( )(1)11( )nnnnyP yPyP yf x 0ypyqy( )ypyqyf x二、二階常系數(shù)齊次線性方程解

3、法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法特征特征方程法方程法將其代入上方程將其代入上方程, 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根0ypyqy二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程: ,rxye 設(shè)設(shè)2()0rxrprq e0,rxe 20rprq21,24,2ppqr 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為(1) 有兩個不相等的實(shí)根有兩個不相等的實(shí)根(0) 特征根特征根21,24,2ppqr 特征根特征根為：為：214,2ppqr 224,2ppqr 22,r xye 11,r xye 1212r xr xyC eC e得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為0

4、,u 特征根特征根21,24,2ppqr (2) 有兩個相等的實(shí)根有兩個相等的實(shí)根(0) 特征根為特征根為12,2prr 一特解為一特解為11,r xye 12( ),r xyu x e 設(shè)另一特解為設(shè)另一特解為代入原方程并化簡得代入原方程并化簡得2111(2)()0,urp urprq u( ),u xx 取取21,r xyxe 則則121()r xyCC x e(3) 有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根實(shí)部實(shí)部從而，從而，齊齊次方程的通解為次方程的通解為特征根為特征根為(0) 1,ri2,ri1(),ixye 2(),ixye 1121()2yyycos,xex 2121()2yyyisin,x

5、ex 12(cossin).xyeCxCx 虛虛部部根據(jù)解的疊加原理，根據(jù)解的疊加原理， 仍為原方程的解仍為原方程的解. 1,y2y定義定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為其通解的方法稱為特征方程法特征方程法.解解: 特征方程為特征方程為解得解得故所求通解為故所求通解為例例1. 求方程求方程 的通解的通解. 230yyy2230 ,rr121, 3rr 312.xxyC eC e 解解: 特征方程為特征方程為解得解得故所求通解為故所求通解為例例2. 求方程求方程 的通解的通解. 440yyy2440 ,rr122,rr 212().x

6、yCC x e 例例3. 求方程求方程 的通解的通解. 250yyy解解: 特征方程為特征方程為解得解得故所求通解為故所求通解為1 212 ,ri ，12(cos2sin2 ).xyeCxCx 2250 ,rr特征方程為特征方程為三、三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法( )(1)110nnnnyP yPyP y 1110nnnnrPrPrP 若是若是 k 重根重根 r 若是若是 k 重共軛重共軛復(fù)根復(fù)根 i 特征方程的根特征方程的根通解中的對應(yīng)項(xiàng)通解中的對應(yīng)項(xiàng)rxkkexCxCC)(1110 10111011()cos()sinkkkxkCC xCxxDD xDxx e n

7、 次次代數(shù)方程代數(shù)方程有有 n 個個根根, 而特征方程的每一個根都而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項(xiàng)對應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各且每一項(xiàng)各有有一個任意常數(shù)一個任意常數(shù).特征根為特征根為故所求通解為故所求通解為解解特征方程為特征方程為例例4. 求方程求方程 的通解的通解. (5)(4)(3)220yyyyyy54322210,rrrrr22(1)(1)0,rr123451,rrrirri 12345()cos()sin .xyC eCC xxCC xx 即：即：解解: 特征方程特征方程:特征根為特征根為則方程通解則方程通解 :例例5. 求方程求方程 的通解的通解. (4)20yyy 4

8、2210,rr22(1)0r 即：即：1, 2i,r 3, 4ir 12()cosyCC xx34()sinCC xx解解:例例6. 求方程求方程 的通解的通解. 0ya y 0:a 通解為通解為12yCC x0:a 通解為通解為12cossinyCa xCa x0:a 通解為通解為12eea xa xyCC 例例7. 解微分方程組解微分方程組 由由(2)式得式得1d(3)2 dzyzx設(shè)法消去未知函數(shù)，設(shè)法消去未知函數(shù)，y解解兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)得：得：把把(3), (4)代入代入(1)式并化簡式并化簡, 得得d32 ,(1)dd2.(2)dyyzxzyzx 22d1dd(4)d2 ddyzzx

9、xx解之得通解解之得通解再把再把(5)代入代入(3)式式, 得得原方程組的通解為原方程組的通解為22dd20ddzzzxx12(),(5)xzCC x e1221(22).(6)2xyCCC x e122121(22)2,()xxyCCC x ezCC x e 解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :因此特征方程為因此特征方程為即即故所求方程為故所求方程為其通解為其通解為為特解的為特解的 4 階常系數(shù)線性階常系數(shù)線性齊次齊次微分方程微分方程,并并求其通解求其通解 .例例8. 求一個以求一個以 以及以及 123e ,2 e ,cos2 ,xxyyxyx43sin2yx

10、 121,rr3,42ir 2(4)0r 2(1)r 43225840rrrr(4)25840yyyyy1234()ecos2sin2xyCC xCxCx3. 根據(jù)根據(jù)特征根的不同情況特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求求 通解通解的一般步驟的一般步驟:0ypyqy常數(shù)常數(shù)20rprq1. 寫出相應(yīng)的特征方程：寫出相應(yīng)的特征方程：12, ;r r 2. 求出特征根求出特征根 實(shí)根實(shí)根 特征根的情況特征根的情況通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式1212r xr xyC eC e 12rr 實(shí)根實(shí)根 12rr 122()r xyCC x e1,2ri復(fù)根復(fù)根 12(cossi

11、n)xyeCxCx 常系數(shù)非齊常系數(shù)非齊次線性次線性微分方程微分方程 第八節(jié)第八節(jié)一一、 型型 ( )e( )xmf xPx 二二、 型型 ( )e( )cosxlf xP xx ( )sinnP xx 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :(1)( )ypyqyf x( 為常數(shù)為常數(shù)), p q根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為其通解為非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解求特解的方法求特解的方法根據(jù)根據(jù)f (x)的特殊形式的特殊形式 ,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù)代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法yY

12、*y 給出特解給出特解 的的待定形式待定形式,*y一、一、 型型 ( )( )xmf xePx 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)常見類型常見類型難點(diǎn)：難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.( )ypyqyf x0,ypyqy*,yYy( ),xmPx e ( ),mPx( )cos,xmPx ex ( )sin,xmPx ex 設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為代入原方程代入原方程*( )xyQ x e 2( )(2)( )() ( )( )mQxp Q xpq Q xPx1. 若若 不是特征方程的根，不是特征方程

13、的根， 20,pq*( );xmyQx e 可設(shè)可設(shè) ( )( )mQ xQx 2. 若若 是特征方程的單根，是特征方程的單根， 20,pq20,p 可設(shè)可設(shè) ( )( )mQ xxQx *( );xmyxQx e 綜上討論綜上討論注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分階常系數(shù)非齊次線性微分方程（方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.3. 若若 是特征方程的重根，是特征方程的重根， 20,pq20,p 可設(shè)可設(shè) 2( )( )mQ xx Qx *2( );xmyx Qx e *( ) ,kxmyx e Qx 012 k 不是特征方程的根不是特征方程的根是特征方程的單根是特

14、征方程的單根是特征方程的重根是特征方程的重根解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程, 得得原方程通解為原方程通解為例例1. 求方程求方程 的通解的通解. 232xyyyxe2320,rr1212rr，212,xxYC eC e2 為單根為單根,*2(),xyx AxB e設(shè)設(shè)22AxBAx1, 1.2AB *21(1)2xyxxe于是于是22121(1).2xxxyC eC exxe利用歐拉公式利用歐拉公式( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 型型二、二、( )cossinxlnf xePxPx 22i xi xi xi xxl

15、neeeeePPi ()()()()2222ixixlnlnPPPPeeii()()( )( ),ixixP x eP x e()( ),ixypyqyP x e 設(shè)設(shè)()1,kixmyx Q e ()2,kixmyx Q e ()( ),ixypyqyP x e 設(shè)設(shè)上述上述結(jié)論可推廣結(jié)論可推廣到到 n 階階常系數(shù)非齊次線性微分方程常系數(shù)非齊次線性微分方程.()( ),ixypyqyP x e 設(shè)設(shè)()1,kixmyx Q e ()2,kixmyx Q e ()( ),ixypyqyP x e 設(shè)設(shè) kxi xi xmmyx eQ eQ e (1)(2)( )cos( )sin,kxmmx

16、eRxxRxx 其中，其中， 為為 m 階多項(xiàng)式，階多項(xiàng)式，(1)(2)( ),( )mmRxRx max,ml n 01iki 不是根不是根是單根是單根注注:解解 對應(yīng)對應(yīng)齊齊次次方程通解方程通解作輔助方程作輔助方程代入上式代入上式所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為原方程通解為原方程通解為（取虛部）（取虛部）例例2. 求方程求方程 的通解的通解. 4sinyyx 12cossin ,YCxCx4,ixyye i 是單根是單根* ,ixyAxe24Ai 2 ,Ai *22 sin(2 cos ) ,ixyixexxxx i 2 cos ,yxx 12cossin2 cos .yCxCxxx解

17、解 對應(yīng)對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解作輔助方程作輔助方程代入輔助方程代入輔助方程14,39ABi ，例例3. 求方程求方程 的通解的通解. cos2yyxx 12cossin ,YCxCx2,ixyyxe 2i 不是特征方程的根不是特征方程的根*2(),ixyAxB e設(shè)設(shè)43031AiBA *214 (),39ixyxi e 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為原方程通解為原方程通解為（取實(shí)部）（取實(shí)部）14()(cos2sin2 )39xixix 1441cos2sin2( cos2sin2 ) ,3993xxxxxx i 14cos2sin2 ,39yxxx 1214cossincos2

18、sin2 .39yCxCxxxx分別是分別是 的實(shí)部的實(shí)部注意：注意：cos,sinxxAex Aex()ixAe 和虛部和虛部.*214 ()39ixyxi e (1) ( )( ),xmf xePx 只含上式一項(xiàng)解法：只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取特解取特解的實(shí)部或虛部的實(shí)部或虛部, 得原非得原非齊次線性方程的特解齊次線性方程的特解.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)二階常系數(shù)非齊次線性二階常系數(shù)非齊次線性方程方程 用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法 可以是復(fù)數(shù)可以是復(fù)數(shù)( );kxmyx e Qx (2)( )( )cos( )sin,xlnf xeP xxP xx (1)(2)( )cos( )sin;kxmmyx eRxxRxx 思考題解答思考題解答*12yyy則所求特解為則所求特解為（重根）（重根）CBxAx 2設(shè)設(shè) 的的特解為特解為2446yyyx*1y設(shè)設(shè) 的的特解為特解為2448xyyye*2y2440rr特征根特征根1,22