高等數(shù)學教學課件：Lecture 31-Fundamental Formulas of Calculus

1、復習復習1. 定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì)：2. 定積分的思想和方法定積分的思想和方法4. 典型問題典型問題3. 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)分割，近似，分割，近似， 求和，取極限求和，取極限注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用(1) 估計積分值估計積分值(2) 不計算積分而比較積分的大小。不計算積分而比較積分的大小。特殊和式的極限特殊和式的極限第二節(jié)第二節(jié) 微積分的基本公式微積分的基本公式 二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式 一、引例一、引例 一、引例一、引例 這種積分與原函數(shù)的關系在一定條件下具有普遍性這種積

2、分與原函數(shù)的關系在一定條件下具有普遍性.在變速直線運動中在變速直線運動中,已知位置函數(shù)已知位置函數(shù)與速度函數(shù)與速度函數(shù) 之間之間有關系有關系:( )s t( )v t( )( )s tv t 物體在時間間隔物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為內(nèi)經(jīng)過的路程為12,T T21( )dTTv tt 21()()s Ts T( )( )( )( )( )baf x dxF bF aFxf x 其其中中二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)設設 在在 上可積，上可積，( )f x , a b , ,xa b 則則 對于每一個給定的對于每一個給定的, x( )dxaf xx 有一個對應值有一個對應值

3、. .Oxyab( )yf x x 在在 上也可積上也可積. .( )f x , a x( )( )d , xaxf xxxba ( )dxaf xx 從而從而 在在 定義了一個函數(shù)定義了一個函數(shù). . , a b記作：記作：上限變量上限變量積分變量積分變量( )( )d , xaxf ttxba 為了避免混淆，記作：為了避免混淆，記作：證證定理定理1 如果如果 在在 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)( )f x , a bd( )( )d( )dxaxf ttf xx ( )( )dxaxf tt 在在 上可導，且它的導數(shù)為：上可導，且它的導數(shù)為： , a b()axb( )

4、x 0( )d( )dlimxxxaaxf ttf ttx 0( )dlimxxxxf ttx 0( )limxfxx ( )f x ( ,), 0 x xxxx 0()( )limxxxxx 積分中值定理積分中值定理定理定理1 初步揭示了定積分與原函數(shù)的關系初步揭示了定積分與原函數(shù)的關系定理定理1 把把微分微分和和積分聯(lián)結(jié)為一個有機的整體積分聯(lián)結(jié)為一個有機的整體因此被稱為微積分學的基本因此被稱為微積分學的基本定理定理.由定理由定理1 可知：可知： 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 一定一定有有原函數(shù)原函數(shù).( )f x就是就是 在在 上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù).積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)( )( )dxax

5、f tt 定理定理2 如果如果 在在 上連續(xù)，則上連續(xù)，則( )f x , a b( )f x , a b推論：推論：如果如果 在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 可導，則可導，則( )f x , a b( ), ( )a x b x()()( )( )db xa xF xf tt 的導數(shù)的導數(shù) 為為( )Fx ()()d( )( )d( )( )( )( ).db xa xFxf ttf b xb xf a xa xx ( )F x ()0( )db xf tt ()0( )d ,a xf tt 證明：證明：()0( )( )d ,b xG xf tt 設設令令( ),ub x 則則0( )d ,uGf

6、 tt dd( )ddG uG xux ( ) ( )f u b x ( ) ( ),f b x b x ( ) ( )f a x a x 同理同理()0( )da xf tt 易見結(jié)論成立易見結(jié)論成立.練習：求下列導數(shù)練習：求下列導數(shù)2sind1.( )ddxxf ttx 2d2. ddxexttx lnd3. 1 ddxxtx d5.( )ddbaf xxa ( )f a d6.( )ddbaf xxc 0(sin )cosfxx22()xf x 222xxexex 1x1 21d4.ln ddxettx 222xxxe證證例例1：設：設 在在 內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且 證明證明( )0.f

7、x (,) ( )f x00( )d( )( )dxxtf ttF xf tt (0,)函數(shù)函數(shù) 在在 內(nèi)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)內(nèi)為單調(diào)連續(xù)函數(shù). .( )Fx 0020( )( )d( )( )d( )dxxxxf xf ttf xtf ttf tt 0020( )( )d( )d( )dxxxxf xf tttf ttf tt ( )Fx 020( )() ( )d( )dxxf xxt f ttf tt 0020( )( )d( )d( )dxxxxf xf tttf ttf tt , ( )0 xt f t () ( )0 xt f t0 () ( )dxxt f tt (0,),x又又 (

8、)0Fx 在在 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). .( )F x(0,)例例2. . 設設 在在 上連續(xù)，且上連續(xù)，且 證明證明( )1.f x 0,1( )f x(0,1)在在 上只有一個解上只有一個解. .02( )d1xxf tt 證證令令0( )2( )d1.xF xxf tt ),1)( xf( )2( )0,Fxf x 則則由于由于 在在 上連續(xù)上連續(xù), , ( )f x0,1( )F x在在 上連續(xù)上連續(xù). . 0,1故故1100(1)1( )d1( )d0Ff ttf tt故故在在 上只有一個解上只有一個解.02( )d1xxf tt (0,1)( )F x在在 上為單調(diào)增加

9、函數(shù)上為單調(diào)增加函數(shù). .0,1, 01)0( F又又例例3. . 求求21cos20dlim.txxetx 分析：分析：這是這是 型未定式，含有積分上限的函數(shù)，型未定式，含有積分上限的函數(shù)，00解解21cosdddtxetx 2cos(cos )xex 2cossin,xx e 21cos20dlimtxxetx 2cos0sinlim2xxx ex 1.2e 用洛必達法則！用洛必達法則！例例4. . 已知兩曲線已知兩曲線 與與 在點在點( )yf x 2arctan0dxtyet (0,0)處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限2lim( ).nnfn

10、. 2)0(2 f解解 由已知條件，由已知條件，2(arctan)20(0)1,1xxefx .yx 故切線方程為故切線方程為(0)0,f 又又2( )(0)2lim( )lim22nnffnnfnn 定理定理 3（牛頓（牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式）證證三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式( )d( )( )baf xxF bF a 如果如果 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的一個原上的一個原( )F x( )f x , a b函數(shù)函數(shù), 則有則有 由于由于 是是 的一個原函數(shù)；的一個原函數(shù)； ( )F x( )f x( )( )dxaxf tt 也是也是 的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)

11、 ( )f x ( )( ),F xxC , xa b ( )( ), , F xxCxa b( )( )dxaxf tt 令令xa ( )( ),F aaC( )( )0aaaf t dt ( ),F aC( )( )( )( )d( ),xaF xxF xf ttF a 從而從而( )d( )( ),xaf ttF xF a 也即：也即：( )d( )( ).baf xxF bF a 令令xb 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 微積分基本公式微積分基本公式微積分基本公式表明：微積分基本公式表明：注意注意 求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.( )d( )( )

12、baf xxF bF a ( )baF x 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于 , a b它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間 上的增量上的增量 , a b( )( )( )baf x dxF bF a 當當 時，時， 仍然成立仍然成立ab 例例4. 求求 121 d . xx 解解121dxx 12ln|x ln1ln2ln2. 例例5. 求求 02(2cossin1)d .xxx 原式原式解解 202sincosxxx 3.2 2sincos2sin0cos00222. . 解解xyo12 例例6. 設設 求求 201( ),512xxf xx 2

13、0( )d .f xx 212001( )d( )d( )df xxf xxf xx12012 d5dx xx原式原式6. 在在 上規(guī)定：上規(guī)定：1,2當當 時，時，1x ( )5f x 例例7. 求求222max ,d .x xx xyo2xy xy 122 解解2( )max ,f xx x 222001,12xxxxxx 022dxx 原式原式10dx x 221dxx 11.2 例例8. 計算曲線計算曲線 在在 上與上與 軸所圍成軸所圍成 sinyx 0, x的平面圖形的面積的平面圖形的面積.yox 解解面積面積0sin dAx x 0cosx 2. 問題：曲線問題：曲線 在在 上與上

14、與 軸所圍成軸所圍成的的sinyx 0,2 x平面圖形的面積平面圖形的面積. 20sin dsindAx xxx 4 例例9. 設設 計算計算 解解20( ),0 xexf xxx 1( )( )d .xF xf tt 當當 時，時，0 x 1( )( )dxF xf tt 當當 時，時，0 x 1( )( )dxF xf tt 0210ddxtettt 031013xtet 1311.3ex 1dxtet 1;xee 12lim1cos1cos1cosnnnnnn例例10. 求求 101cosxdx 解解原式原式= =111cosniinn 1202cos2xdx 102 cos2xdx 2

15、 2. 102 2cosd22xx 102 2sin2x 12lim1cos1cos1cosnnnnnn例例10. 求求 解法二解法二原式原式= =111cosniinn 11 1co sniinn 011cos dx x 2 2 例例11. 求求 201sin2 d .x x 解：解： 222001sin2 dsincosdx xxxx 20sincosdxxx 20cossinxx 0. ? ?20sincosdxxx 原原式式 4204cossindsincosdxxxxxx 4240sincoscossinxxxx 2( 21).內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 牛頓牛頓-萊布尼茨公式：萊布尼茨公

16、式：( )d( )( )baf xxF bF a 溝通溝通了微分學與積分學之間的聯(lián)系了微分學與積分學之間的聯(lián)系1. 積分上限積分上限函數(shù)函數(shù)( )( )dxaxf tt 2. 積分上限積分上限函數(shù)的導數(shù)函數(shù)的導數(shù)( )( )xf x ( )( )d( )d( )( )( )( ).db xa xf ttf b xb xf a xa xx 作作 業(yè)業(yè) P243 3, 4, 5(3), 6(8, 11, 12), 9(2), 11-14作業(yè)提交時間：作業(yè)提交時間：2013年年12月月25日上午日上午10:00AM備備 用用 題題解解：1. 設設求求21200( )( )d2( )d,f xxxf xxf xx( ).f x設設10( )d,f xxa 20( )d,f xxb 則則2( )2f xxbxa10( )daf xx 33x 22bx 2ax 101232ba20( )dbf xx 33x 22bx 2ax 208243ba1,3a 43b 242( )33f xxx2300tand