濾波器設(shè)計[經(jīng)典]

1、引 言濾波器是一種二端口網(wǎng)絡(luò)。它具有選擇頻率的特性，即可以讓某些頻率順利通過，而對其它頻率則加以阻攔，目前由于在雷達、微波、通訊等部門，多頻率工作越來越普遍，對分隔頻率的要求也相應(yīng)提高；所以需用大量的濾波器。再則，微波固體器件的應(yīng)用對濾波器的發(fā)展也有推動作用，像參數(shù)放大器、微波固體倍頻器、微波固體混頻器等一類器件都是多頻率工作的，都需用相應(yīng)的濾波器。更何況，隨著集成電路的迅速發(fā)展，近幾年來，電子電路的構(gòu)成完全改變了，電子設(shè)備日趨小型化。原來為處理模擬信號所不可缺少的LC型濾波器，在低頻部分，將逐漸為有源濾波器和陶瓷濾波器所替代。在高頻部分也出現(xiàn)了許多新型的濾波器，例如：螺旋振子濾波器、微帶濾波

2、器、交指型濾波器等等。雖然它們的設(shè)計方法各有自己的特殊之點，但是這些設(shè)計方法仍是以低頻“綜合法濾波器設(shè)計”為基礎(chǔ)，再從中演變而成，我們要講的波導濾波器就是一例。通過這部分內(nèi)容的學習，希望大家對復(fù)變函數(shù)在濾波器綜合中的應(yīng)用有所了解。同時也向大家說明：即使初看起來一件簡單事情或一個簡單的器件，當你深入地去研究它時，就會有許多意想不到的問題出現(xiàn)，解決這些問題并把它用數(shù)學形式來表示，這就是我們的任務(wù)。誰對事物研究得越深，誰能提出的問題就越多，或者也可以說誰能解決的問題就越多，微波濾波器的實例就能很好的說明這個情況。我們把整個問題不斷地“化整為零”，然后逐個地加以解決，最后再把它們合在一起，也就解決了大

3、問題。這講義還沒有對各個問題都進行詳細分析，由此可知提出問題的重要性。希望大家都來試試。§1-1 濾波器的基本概念圖  1圖1 的虛線方框里面是一個由電抗元件L 和C 組成的兩端口。它的輸入端1-1'與電源相接，其電動勢為Eg，內(nèi) 阻為R1。二端口網(wǎng)絡(luò)的輸出端22' 與負載R2相接，當電源的頻率為零（直流） 或較低時，感抗jL很小，負載R2兩端的電壓降E2比較大（當然這也就是說負載R2可以得到比較大的功率）。但是，當電流的頻率很高時，一方面感抗jL變得很大，另一方面容抗j/C卻很小，電感L上有一個很大的壓降，電容C又幾乎把R2短路，所以，縱然電源的電動勢Eg

4、保持不變，負載R2兩端的壓降E2也接近于零。換句話說，R2不能從電源取得多少功率。網(wǎng)絡(luò)會讓低頻信號順利通過，到達R2，但阻攔了高頻信號，使R2不受它們的作用，那些被網(wǎng)絡(luò) A（或其他濾波器）順利通過的頻率構(gòu)成一個“通帶”，而那些受網(wǎng)絡(luò)A 阻攔的頻率構(gòu)成一個“止帶”，通帶和止帶相接頻率稱為截止頻率。什么機理使網(wǎng)絡(luò)A 具有阻止高頻功率通過的能力呢？網(wǎng)絡(luò)A 是由電抗元件組成的，而電抗元件是不消耗功率的，所以，高頻功率并沒有被網(wǎng)絡(luò)A 吸收，在圖一所示的具體情況中，它有時貯存于電感L 的周圍，作為磁能；在另一些時間，它又由電感L 交還給電源。如果L 和C 都是無損元件（即它們的電阻等于零），那么，高頻功率

5、就是這樣在電感與電源之間來回交換，絲毫不受損耗，這就是電抗濾波器阻止一些頻率通過的物理基礎(chǔ)。從這個意義來說，我們可以認為濾波器將止帶頻率的功率發(fā)射回電源去，同時也是因為這個關(guān)系，在止帶內(nèi)濾波器的輸入阻抗是純電抗性的。圖一的網(wǎng)絡(luò)A 是一個很簡單的濾波電路，它的濾波效能是比較低的，在許多場合下，往往不能滿足技術(shù)上的要求，而不得不采取更復(fù)雜的電路結(jié)構(gòu)。然而，不管電路結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，濾波作用的物理根源還是和前面所說的完全一樣。濾波作用是濾波網(wǎng)絡(luò)所具有的內(nèi)在特性，但濾波網(wǎng)絡(luò)所能起到的作用還受外界因素（電源內(nèi)阻R1和負載電阻R2）的影響。濾波效能首先決定于濾波器的內(nèi)在特性（這是主要的），同時還決定于濾波器的

6、外加阻抗（這也是不可忽略的）。那么，濾波器效能是用什么來衡量的呢？圖二(a) 表示一個電源，它的電動勢為Eg，內(nèi)阻為R1。設(shè)負載為R2，則當負載直接與電源相接時，它所能吸收的功率P02 為：現(xiàn)在我們將濾波器A接于電源與負載之間，如圖二(b) 所示，由于濾波器的特性，當電源頻率變化時，出現(xiàn)于R2兩端的壓降E2是不同的，即R2從電源所取得的功率在不同頻率上是不等的。用分貝來表示的P02 與P2的比值稱為插入損耗Li：               &#

7、160;                             (1)            (a)          

8、;               (b)圖   2插入損耗Li是衡量濾波器效能的一個參數(shù)。根據(jù)上面的討論，顯然可見，一個良好的濾波器的插入損耗在通帶內(nèi)應(yīng)該比較低，而在止帶內(nèi)應(yīng)該比較高。理想的濾波器的插入損耗在通帶內(nèi)應(yīng)該等于零，而在止帶內(nèi)應(yīng)該是無窮大。    插入損耗是普通濾波器常用的參數(shù)。濾波網(wǎng)絡(luò)具有的阻抗變換特性不難使負載R2在整個通帶內(nèi)與電源達成匹配。這時，負荷所吸收的功率將超過P02，而使Li取得負值。

9、根據(jù)R1和R2的比值不同，Li的這個負值也不一樣。因此，插入損耗Li并不是一個很方便的比較基準。為了避免這種困難，人們還提出另外一個參數(shù)，它以電源所能供給的最大功率P0為基準。從電工基礎(chǔ)我們知道：P2與P0的比值，如以分貝來表示，稱為變換器損耗LA（Transducter Loss):根據(jù)以上給出的種種關(guān)系，可以算出：                        &

10、#160;    (2)從上式顯然可見，當R2R1時，變換器損耗就是插入損耗。有些參考書上，這兩者是混為一談的。必須注意，在(2) 式中，當頻率變化時，P2 是跟著變化的。在理想的情況下，濾波器的變換器損耗LA 在通帶內(nèi)應(yīng)該是零，而在止帶內(nèi)則應(yīng)該具有比較大的數(shù)值。根據(jù)濾波器的具體電路結(jié)構(gòu)，變換器損耗與頻率保持有各種不同的關(guān)系。圖三給出四種典型關(guān)系，在這些圖中，橫坐標表示頻率，縱坐標表示變換器損耗LA。(a)表示有關(guān)器件順利通過低于1的頻率，而阻礙高于1的頻率通過；這樣的器件稱為低通濾波器（LPLow Pass）。(b)的情況正好相反，稱為高通濾波器（HPHigh

11、Pass）。(c) 表示有關(guān)器件順利通過1至2之間的頻率，對于低于1或高于2的頻率都阻礙它們通過；這樣的器件稱為帶通濾波器（BP-Band Pass）。(d)是(c)的對立面，它阻止1至2之間的頻率通過，稱為帶阻濾波器（BSBand Suppress）。這些不同的頻率特性取決于電路的具體結(jié)構(gòu)，圖四給出以上四種濾波器的基本結(jié)構(gòu)形式，各個元件的數(shù)值是和變換器衰減的頻率特性以及所接負載密切聯(lián)系著的。驟然看來，這四種電路結(jié)構(gòu)是很不相同的，似乎各自應(yīng)有各自的設(shè)計方法。其實不然，通過一些數(shù)學方法，人們可以把這四種濾波器電路結(jié)構(gòu)完全統(tǒng)一起來，這里用到的數(shù)學方法叫作“頻率變換”。應(yīng)用頻率變換法，其它三種濾波器

12、都可以看作低通濾波器；在設(shè)計時，先從它對應(yīng)的低通濾波器著手（因為這樣簡單得多），在獲得低通濾波器的設(shè)計數(shù)據(jù)以后，再用頻率變換法，求得所要設(shè)計的濾波器的數(shù)據(jù)。因為這個關(guān)系，滿足設(shè)計技術(shù)要求的低通濾波器稱為“母型濾波器”或“原型濾波器”（prototype)。                            

13、0;     圖  3圖  4上面提出了衡量濾波器效能的參數(shù)變換器損耗LA，但是，效能好壞的準則又是什么呢？在實際濾波器中，變換器損耗的頻率特性往往不像圖三那樣理想。首先，從通帶過渡到止帶，LA是慢慢增加的，所以，衡量濾波器效能好壞的有關(guān)標準是：從通帶過渡到止帶時，LA曲線的上升要陡峭。其次在通帶內(nèi)，變換器損耗不是完全不存在的，一方面因為構(gòu)成濾波器的元件多少總帶有一點損耗，如電感中的電阻，電容中的漏阻等。另一方面，由于設(shè)計上的考慮，有時故意要LA在通帶內(nèi)不能完全為零。故衡量濾波器效能的另一準則是：在LA曲線從通帶過渡到止帶的上升程度相

14、同的情況下，LA在通帶內(nèi)的大小究竟怎樣。對以上兩點的要求越高，濾波器所需用的元件越多，這將帶來生產(chǎn)工作和造價的增加。所以，對于實際設(shè)計，應(yīng)根據(jù)具體情況進行全面的考慮，只要濾波性能能夠滿足所提出的要求，那便沒有追求LA曲線上升過分陡峭的必要。問題在于能夠完成任務(wù)，這也就是我國老話“殺雞用不著牛刀”的意思。§1-2 濾波器設(shè)計的兩種出發(fā)點濾波器的設(shè)計當前有兩種不同的出發(fā)點。                  &

15、#160;             一種稱為鏡象參數(shù)法。它以濾波網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在特性為根據(jù)。是人們一向用來設(shè)計濾波器的老辦法。這種方法的特點是: 根據(jù)濾波網(wǎng)絡(luò)的具體電路, 用分析的方法推算出變換器損耗的特性。然后再將這些具體電路拼湊起來, 使總的LA特性滿足所需要的技術(shù)要求。用這種方法設(shè)計出來的濾波器一般為K 式濾波器和m 式濾波器等。這種方法的優(yōu)點是理論根據(jù)簡單。它的缺點是在分析過程中沒有考慮外接負載的影響, 故在具體的設(shè)計要求提出后, 需要反復(fù)試探, 才能得到設(shè)計結(jié)果

16、; 這對于缺乏經(jīng)驗的工作人員來說, 是頗費時間的。                                        另一種方法從插入損耗入手, 它是近年來應(yīng)用的很多的設(shè)計方法。這種方法的

17、特點是: 根據(jù)所提出的技術(shù)要求, 決定插入損耗Li(在R2=R1時也就是孌換器損耗LA)與頻率的函數(shù)關(guān)系, 然后根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系, 應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)理論綜合出具體的電路結(jié)構(gòu)。所以這種方法和前面的一種方法正好是相反的; 這種方法根據(jù)要求推求電路, 而鏡象參數(shù)法則是應(yīng)用已知的特性電路拼湊出滿足要求的結(jié)構(gòu)。這種方法的優(yōu)點是設(shè)計準確, 而且設(shè)計是已經(jīng)考慮到外接負載的影響, 無需經(jīng)過多次試探的手續(xù)。它的缺點是需要用到比較難深的網(wǎng)絡(luò)理論。但是, 這個缺點是可以彌補的, 因為只要一當把滿足各種要求的母型濾波器設(shè)計出來以后, 后來的設(shè)計手續(xù)變成了簡單的查表讀圖和應(yīng)用淺近數(shù)學方法換算數(shù)據(jù), 從實用角度來說比鏡

18、象參數(shù)法還要簡單得多§1-3 綜合法濾波器引言-恩格斯說過:“沒有分析就沒有綜合”。要討論綜合法濾波器就需要從 分析濾波器入手。綜合法濾波器設(shè)計又名插入損耗法。這就是說插入損耗是該設(shè)計法的核心?，F(xiàn)在需要弄清楚什么是網(wǎng)絡(luò)分析和什么是網(wǎng)絡(luò)綜合?        網(wǎng)絡(luò)分析-給出一個具體網(wǎng)絡(luò), 要我們求出這個網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。       網(wǎng)絡(luò)綜合-它是網(wǎng)絡(luò)分析的逆過程。給出一個具體的傳遞函數(shù), 要我們求出這個網(wǎng)絡(luò)的電路形式和各種元件的數(shù)值。   

19、 網(wǎng)絡(luò)綜合的確比分析一個具體電路要復(fù)雜得多。而且涉及的數(shù)學公式又多又難。但是它又是一個把數(shù)學用于工程問題的一個極好例子。所以我們還是決定詳細地講一講。我們相信這會對同學們有好處的。     (一) 二端對網(wǎng)絡(luò)的電壓傳遞函數(shù)  工程設(shè)計中遇到的實際電路, 大多可以用圖五所示的二端對網(wǎng)絡(luò)來表示。圖五的左方代表一個實際的電壓源, Eg是它的電動勢, R1是它的內(nèi)阻。右邊的R2代表負載。根據(jù)問題的不同R1和R2可以取得種種不同的數(shù)值, 因為人們需要解決的實際問題是多種多樣的。  圖  5這樣的兩端對網(wǎng)絡(luò)

20、主要是用作傳輸系統(tǒng)。既然如此, 人們首先注意的問題是: 它在外力作用下, 輸出端會產(chǎn)生什么效果。譬如說, 當輸入端1-1'加上激勵電壓Eg,或送進激勵電流I1 時, 接于網(wǎng)絡(luò)輸出端2-2'的端載R2上的電壓E2或流過R2上的電流I2都是很重要的響應(yīng), 我們把Eg/E2之比稱為傳遞函數(shù)。                       學過兩端對網(wǎng)

21、絡(luò)理論, 我們當然就希望用網(wǎng)絡(luò)理論來推導這個電壓傳遞函數(shù)?？紤]到網(wǎng)絡(luò)內(nèi)元件的復(fù)雜性, 我們就用通用矩陣a來推導這個傳遞函數(shù)。           圖五所示結(jié)構(gòu)用a矩陣的參數(shù)來表示: 根據(jù)a矩陣的定義: 先求2-2'端接上負載R2時, 1-1'端的輸入阻抗Zin:這樣圖五所示的網(wǎng)絡(luò)就轉(zhuǎn)化為圖6那樣。該電路的電壓和電流的關(guān)系式是很容易求得的。圖 6當R1R21時，         &#

22、160;                                           (3)因為, 對于純電抗網(wǎng)絡(luò), 當頻率j時, 只有B和C是純虛數(shù), 而A和D是實數(shù)。所以, 就是

23、一個復(fù)數(shù)。于是又可以把它表示為:                                這個公式(3)是極其重要的一個關(guān)系式,  它所要滿足的條件在我們一般要討論的問題中, 很容易達到R1 = R2 。這是因為: 作為一個傳輸系統(tǒng)總是希望把大部分功 率

24、傳到負載上去的, 所以總是想盡辦法使電流和負載匹配。這里要提的另一個問題是: 為什么在公式的推導中, 用的是R1 = R2 =1,  而不是具體值。R1 = R2 = 300,25,75呢? 回答是: 這樣可以簡化我們的討論。這也 是網(wǎng)絡(luò)分析的一個極重要的結(jié)論-阻抗歸一化。     (二)  電壓傳遞函數(shù)的阻抗歸一化                 

25、0;                    人們對大量的具體電壓傳遞函數(shù)進行分析后, 總結(jié)出一個重要的特性。      如果網(wǎng)絡(luò)中的每個獨立的阻抗乘上一個常數(shù)因子A后, 那么,  這個網(wǎng)絡(luò)的電壓傳遞函數(shù)保持不變?？紤]到以后的實際情況, 我們用帶撇“'”的R'、C'和L' 來表示已歸一化的元件值,

26、單位分別是歐姆、法拉和亨利, 而用不帶撇的R、C和L 表示實際電路的元件值。具體來說: 這個結(jié)論可以用實際例子來說明:    給我們兩個如圖7(a)(b)所示的網(wǎng)絡(luò), 要我們分別求出其各自的電壓傳遞函數(shù), 按照電工原理, 我們可以求出它們的電壓傳遞函數(shù):                         

27、60;   對于圖7(a)所示的網(wǎng)絡(luò), 我們先求出其回路電流I1:  圖  7         對于圖7(b)所示的網(wǎng)絡(luò), 由于其R1=R2=1, 數(shù)簡單, 所以計算起來更加簡潔:   由此可見這兩個電路的電壓傳遞函數(shù)是一樣的。圖7(b)的電路的各元件值只 是圖7(a)的電中各元件的阻抗值擴大了50倍的反映。所以, 這兩個電路只有絕對 阻抗大小的差別, 而對電壓分配比是一樣的。這樣, 我們就可以把阻抗之間的

28、相對比例一樣的網(wǎng)絡(luò)歸為一類。僅僅研究它的歸一化后的電路的特性, 別的阻抗值的電路, 都可以從它導出。            (三)  電壓傳遞函數(shù)的頻率歸一化     受到上述的好處以后, 我們很自然地會想到不同的頻率工作的電路, 其電壓傳遞函數(shù)是否也能歸類, 研究的結(jié)果是可行的。其結(jié)論如下:           &#

29、160;             如果把工作頻率從=1弧度/秒升高到=B弧度/秒, 讓該網(wǎng)絡(luò)的所有電阻保持不變, 而把網(wǎng)絡(luò)中的所有電感L和電容C都除以B, 那么,  變換后的電路的電壓傳遞函數(shù)沒有變化。   這是很自然的, 它好像物理量的單位換算, 其基本的道理仍然是使網(wǎng)絡(luò)各元件的阻抗之比保持不變。  對于電阻，因為它和工作頻率無關(guān), 所以工作頻率變化, 不影響它的值。   對于電容的電

30、感, 則有:                 這個結(jié)論也可以用實際例子來說明:                             &#

31、160;           讓我們?nèi)砸詧D7(b)為例: 設(shè)=1弧度/秒 , 則有接著我們來看看, 若把=2弧度/秒代入, 又要保持其電壓傳遞函數(shù)不變,  只有改變電路中的電感值, 它該是多少呢? 圖7(b)的電壓傳遞函數(shù)為     于是, 滿足保持電路的電壓傳遞函數(shù)不變的可能, 只是, 這正好就是從原來電感L除以頻率提高的倍數(shù)2, 其最后的具體結(jié)構(gòu)如圖8所示。    圖 8 阻抗歸一化

32、和頻率歸一化的概念在網(wǎng)絡(luò)理論中極為重要。因為, 今后列表中的各種元件值都是以阻抗歸一化和頻率歸一化后的元件值。各種具體阻抗和工作頻率時的具體都由它們導出。 人們能把這兩個法則合在一起, 從而能一下子同時去掉這兩個歸一化。因此, 對于一個已歸一化的電路, 要讓它們阻抗提高A倍, 頻率提高B倍, 那么人們就有:     每個網(wǎng)絡(luò)中的電阻乘上A          每個網(wǎng)絡(luò)中的電感乘上A/B     &#

33、160;  每個網(wǎng)絡(luò)中的電容乘上1/AB   如果一個設(shè)計有大量的元件, 這個最后式是有用的。但是, 我們推薦大家研究這兩個基本概念。如果大家理解了這個原理, 從這兩個基本法則是很容易推論出像上式那樣的公式。因為, 上列的特定的結(jié)構(gòu)是很容易忘記或記錯的。     (四)各種頻率特性的濾波器的歸一化    在引言中, 我們曾談到有各種不同衰減特性的濾波器: 低通、高通、帶通和帶阻, 而且通過數(shù)學上的變量代換, 可以把它們歸并為一個低通歸一化原型濾波器。若從數(shù)學變換的角度看, 上

34、述的電壓傳遞函數(shù)的頻率歸一化也屬頻率變換。這里要講的實際就是從母型濾波器的數(shù)據(jù)推求實際濾波器網(wǎng)絡(luò)的具體結(jié)構(gòu)。                (1) 頻率擴展(頻率歸一化)母型低通濾波器的截止頻率'c=1。假如需要設(shè)計的低通濾波器的截止頻率不等于1, 而是c, 則從數(shù)學角度說相當于將原來的頻率軸'倍乘了c。          

35、0;                                             故    

36、60;        =c'                                         &

37、#160;      亦即         '=/c                                

38、60;              圖9(a)表示兩個頻率軸之間的關(guān)系, (b)表示母型低通濾波器的LA'關(guān)系, (c) 表示換算后LA之間的關(guān)系。在(b)和(c)的圖形上, 我們還把負頻率部分畫上。負頻率實際上當然不是客觀存在的, 但從數(shù)學的觀點來說, 它還是可以和LA保持一定的函數(shù)關(guān)系。這兩個圖形表明LA和頻率保持有偶函數(shù)的關(guān)系, 這是由上面所提到的可實現(xiàn)性決定的。進行這種頻率變換時, 設(shè)計電路的元件也跟著改變, 其變化規(guī)律前小節(jié)已經(jīng)說

39、過了。                                                 

40、60;  圖  9    (2) 低通轉(zhuǎn)高通-如需要設(shè)計一個高通濾波器(參看圖10), 它的截止頻率是c, 人們使新的頻率變量與原來的'保持下列關(guān)系:  圖10在頻率軸上表明這種轉(zhuǎn)換關(guān)系。應(yīng)用數(shù)學上的手法人們設(shè)計高通濾波器時, 實是利用了母性低通濾波器的負頻率部分。所以要用這一部分也可實現(xiàn)性決定的數(shù)學方法的運用必須切合實際, 絕不能脫離實際進行數(shù)學游戲。            &

41、#160; 由母型低通濾波器換算到高通濾波器時, 電路元件當然要改變: 母型濾波器電感應(yīng)改為電容, 其數(shù)值   母型濾波器的電容應(yīng)改為電感, 其數(shù)值                                  &#

42、160;                                                 &#

43、160;   以后可以知道, L'k和C'k+1都是表上查得的母型低通濾波器的元件參數(shù)。          (3) 低通轉(zhuǎn)帶通-如果要根據(jù)低通濾波器設(shè)計一個帶通濾波器(參看圖11), 的截止頻率是1和2, 人們需要進行更復(fù)雜些的頻率變換, 使母型濾波器的頻變量'與帶通濾波器的頻率變量保持以下關(guān)系:             &

44、#160;                                      (4)式中2為帶通濾波器的高端截止頻率, 1為低端截止頻率, 0稱為中央頻率;通常令 2-1為帶通濾波器的通頻帶,  稱為濾波器的相對通頻帶W:

45、         W 通常以百分比表示, 故(4)式可以改寫成                                      &

46、#160;                         (5)由式(5)求, 經(jīng)過演算和分析,  人們可以得到母型濾波器的頻率軸與新頻率軸的關(guān)系(見圖11)。 根據(jù)母型低通濾波器換算帶通濾波器, 電路元件變得更加復(fù)雜。母型濾波器的電感應(yīng)改為LC串聯(lián)電路, 它的電感Lk和電容Ck與母型的電感L'k保持以下關(guān)系:  &#

47、160;母型濾波器的電容應(yīng)改為LC并聯(lián)電路, 它的電容Ck+1和電感Lk+1與母型的電容C'k+1保持以下關(guān)系: L'k和C'k+1都可以從母型低通濾波器的元件表上查得。低通帶止的問題,  這里不再贅述了。我們把以上各種轉(zhuǎn)換關(guān)系綜合在表1上, 表內(nèi)還列出了低通轉(zhuǎn)帶止所用到 的關(guān)系。§ 1-4 低通濾波器的定量分析經(jīng)過上一節(jié)的學習, 我們已經(jīng)了解到對于某些具體電路的分析。 可以通過它們的歸一化低通濾波器來進行。下面, 我們來分析一到三節(jié)歸一化低通濾波器。     (一)  一節(jié)低通濾波器 圖1

48、2示出了它的結(jié)構(gòu), 用電路分析, 很快就可以求出:回路電流I1為:               圖 12   若用通用矩陣a來求, 此電路的通用矩陣為  和電路分析求出的結(jié)果完全一樣。不過, 從過程中可以看出: 后一種方法簡潔很多。而且, 當元件數(shù)目越多就越顯出矩陣法的優(yōu)越。我們在這里還要定義一個歸一化幅度函數(shù)A(): 這主要是因為傳遞到負載的功率, 不是指電源總的輸出功率, 而是指最大輸出功率, 而不是, 這樣就差了一個系數(shù)。所以一節(jié)低通濾波器的幅度函數(shù)

49、A()：    (二)  二節(jié)低通濾波器   圖 13   圖13示出了它的結(jié)構(gòu), 用電路分析解, 就比較復(fù)雜了, 如何解, 留給同學們作練習, 我們下面用通用矩陣來解它:       (三) 三節(jié)低通濾波器 圖14示出了它的結(jié)構(gòu), 我們?nèi)杂糜镁仃嘺來求它的電壓傳遞函數(shù),  而把電路法求解留給同學來完成。  圖  14 這時網(wǎng)絡(luò)可以看成三個小兩端對網(wǎng)絡(luò)的節(jié)聯(lián), 則有       (4)  對偶電路 上述一列三節(jié)低通濾波電路都有

50、其對偶電路。我們把它們都畫在圖15上。它們各自的電壓傳遞函數(shù)、幅度平方函數(shù)也可以求出如下:       一節(jié)對偶低通濾波器：    二節(jié)對偶低通濾波器 ：    三節(jié)對偶低通濾波器 ：從上面分析可以看出對偶電路各自電壓傳遞函數(shù)是不變的, 它們在傳遞能量的頻率特性上是一樣的。     圖 15   像這樣一節(jié)一節(jié)地推下去最終就能導出像圖16所示的梯形結(jié)構(gòu)的低能濾波器。其幅度平方函數(shù)  A2()的一般表示式為:   其中n是濾波器的元件個數(shù)。

51、60; 圖 16 通過對低通濾波器進行定量分析以后, 得出兩個極為重要的結(jié)論: (一)  一個特定的電壓傳遞函數(shù), 對應(yīng)著兩個具體電路, 這兩個電路就是電工中的對偶電路。(二)對于梯形結(jié)構(gòu)的低通濾波器, 它的幅度平方函數(shù)可以表示為頻率作參量的一個2n階的多項式。又因為 A2()和插入損耗Li有直接關(guān)系, 濾波器的綜合又和多項式直接聯(lián)系在一起, 所以也有人把綜合法濾波器叫做多項式濾波器。 這兩個結(jié)論的第二個更為重要, 因為它告訴我們梯形結(jié)構(gòu)低通濾波器的電壓傳遞函數(shù), 和幅度平方函數(shù)是有規(guī)律的, 解析的。這就為我們提供了運用數(shù)學來解決問題的可能性。網(wǎng)絡(luò)分析達到這一步就完成了它的使命。下一

52、步就屬網(wǎng)絡(luò)綜合的范疇。根據(jù)給出的衰減特性, 或衰減曲線來找具體的電路。§ 1-5 低通濾波器的綜合    (一)  引言低通濾波器根據(jù)定義應(yīng)該是: 在通帶內(nèi)濾波器的變換器損耗LA為零, 而在止帶內(nèi)LA應(yīng)該無窮大。這是不可能實現(xiàn)的。一般來說, 工程問題多大只有一個折衷解。照顧一方面, 另一方面就得犧牲點, 沒有什么都好的。濾波器的綜合也是這樣, 主要的指標有插入損耗, 帶外衰減, 信號的時間遲延, 信號的群遲延等。根據(jù)不同要求, 給出不同的結(jié)果。這里就是一個近似問題。即用什么方法去盡量地近似理想的情況。同時也有一個是以哪種方式去近似。只有解決了這

53、些問題, 才能繼續(xù)討論具體的綜合。加上近似理論對于以后的工作和學習都很有用。所以我們打算比較詳細講一講這個問題。    (二)  近似問題    在討論用一個函數(shù)近似地表達另一個給定函數(shù)(圖形)之前, 我們用自變量X代替無線電技術(shù)中的頻率。這樣做的目的是使討論更有普遍意義。而且, 近似常常是在經(jīng)頻率變換后進行的, 故變量常不再是。假定g(x)為x的函數(shù), 給定在x軸的(a,b)范圍內(nèi), 并令f(x)為我們所需要求的近似(實現(xiàn))函數(shù)。函數(shù)g(x)作為一個期望的幅度函數(shù)或者相位函數(shù)。它可能是以解析式給出, 不過經(jīng)常是以圖形給出。

54、f(x)則是可實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。假定g(x)和f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有同樣的性質(zhì)。這樣, 它們在某一點x0均可用臺勞級數(shù)來展開。并設(shè)兩個級數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)均為收斂, 則:       近似的誤差將為兩者之差, 即       如果兩個級數(shù)的前K次系數(shù)逐項彼此相等, 則f(x)與g(x)為K階臺勞型近似。在此情況下, 誤差函數(shù)將由x的第(K+1)冪次項開始, 即       上式就

55、是x=x0處展開的臺勞級數(shù)的誤差函數(shù)。而且, 可以看出: 在x=x0處的誤差函數(shù)的前K階導數(shù)為零。這是臺勞近似法的一個性質(zhì)。其實我們可以得出如下定義: 如果g(x)-f(x)的前K階導數(shù)在x=x0處為零, 則f(x)為g(x)在x=x0處的K階臺勞近似式。    臺勞型近似法中, 在x=x0處誤差為零; 而隨著x-x0的增大, 誤差增加。因而, 這一近似法有利于接近x0的所有x值, 而不利于接近區(qū)域兩端的點。其實這個近似僅在x0點十分好, 在這一點不僅兩個函數(shù)完全相同, 而且, 它們的若干導數(shù)也完全相同。    如果, 近似

56、函數(shù)f(X)沿給定函數(shù)g(x)來回擺動, 則兩者的差將有峰值和谷值, 某些峰值將是很大, 而某些峰值則很小。f(x)越復(fù)雜, 即f(x)的可調(diào)整參數(shù)越多,得到的近似就越好。假設(shè), 我們規(guī)定f(x)有n個參數(shù)例如:  為具有n個可調(diào)整系數(shù)的多項式最佳近似的一種方法是這樣。它使得誤差函數(shù)的最大值降到最小。我們稱此近似法為“切比雪夫近似法”。    由上可知, 對一個函數(shù)g(x)或圖形進行近似, 方法是多種的, 上述的臺勞級數(shù)近似法和切比雪夫近似法都是最常用的, 此外還有一些近似法, 如橢園函數(shù)近似法。不過, 不同的近似法有它各自的特點。所

57、以就有選擇的余地。    (三)最大平滑近似    圖17示出了一個理想低通濾波器, 其幅度和截止角頻率c都標稱為1。這個理想低通濾波器傳遞函數(shù)為圖  17    這樣的理想特性是無法實現(xiàn)的, 因為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一個有理函數(shù), 其幅度必須是的連續(xù)平滑函數(shù), 而圖17的特性則不然, 它在=1處要折轉(zhuǎn)一個直角。因此, 在綜合過程中, 需用近似方法求出一個有理函數(shù)來近似圖17的特性。一種簡單的近似稱為最平幅度特性近似。這一近似函數(shù)必須是有理函數(shù), 在通帶內(nèi), 即的范圍內(nèi), 幅度平方要近似于1。而在通帶之外

58、, 即  的范圍, 幅度的平方逐漸趨于無窮大。首先, 假定傳遞函數(shù)的無窮大點產(chǎn)生在頻率等于處, 則有:其中指數(shù)n和系數(shù)b是待定的常數(shù), 它們的數(shù)值與所求的近似程度有關(guān)。在上式分母中的第一項的系數(shù)取為1是為了保證近似函數(shù)與給定函數(shù)在=0時重合, 在通帶內(nèi)誤差函數(shù)為:用代入上式得                         (6)   

59、系數(shù)B的求法隨所采用的近似類型而定。如果采用臺勞型近似, 則要求誤差函數(shù)的前n階導數(shù)在x=0時等于零。更確切地說, K階臺勞型近似需要誤差函數(shù)的第K階導數(shù)之前的各階導數(shù)等于零。式(6)的第K階導數(shù)之前的各導數(shù)當x=0時分別為:    這樣, 我們可以推斷定: R(x)的第n階導數(shù)在x=0時, 可以表示成Bn乘以n!。又因為我們采用臺勞型近似, 則誤差函數(shù)R(x)的第K階以前導數(shù)在x=0時都必須是零,才可以稱為第K階臺勞近似。所以, B1=0, B2=0, B3=0一直到Bn-1=0, 于是, 函數(shù)就是對于幅度為1的K階臺勞近似。對于給定n值的最高階臺勞近似函數(shù)為:

60、 上式稱為最平幅度特性近似函數(shù)。在截止頻率處(=1), 上式化為: 系數(shù)Bn取決于截止頻率處, 人們規(guī)定是什么樣的幅度, 當Bn=1時, G(12)=2, 于是截止頻率=1處對應(yīng)著輸出功率下降3 db, 輸出幅度下降0.707倍。這種最平幅度近似還有一個名字叫做勃脫瓦茲(Butterworth)響應(yīng)。多項式也叫做n階勃脫瓦茲多項式。   (四) 切比雪夫(Chebyshev)近似    現(xiàn)在我們再討論另一種近似方法。這就是讓近似函數(shù)在給定函數(shù)附近擺動, 使誤差平均地分布在整個頻帶內(nèi)。同時我們還把最大值的大小減到最小, 這也就

61、等于偏離近似。我們把這種近似叫做切比雪夫近似。由于在工程中很有用, 所以打算詳細地來講。一般的問題為在區(qū)間(-1,+1)范圍內(nèi)求出與某一常數(shù)為切比雪夫近似的m階多項式的系數(shù)(將軸歸一化成頻率帶邊緣等于±1)。誤差函數(shù)本身為一m階多項式,設(shè)為h(), 且其階狀如圖18所示, 其中h峰值被歸一化于1。圖 18根據(jù)數(shù)學分析可知, 一個m 階切比雪夫近似的誤差函數(shù)在近似區(qū)域內(nèi)應(yīng)達峰值m+1次; m-1個出現(xiàn)于近似區(qū)內(nèi), 2個出現(xiàn)于邊界上。在區(qū)內(nèi)的峰值點上, h的導數(shù)應(yīng)為零, 且所有導數(shù)零點應(yīng)為一階零點。現(xiàn)在, 設(shè)有多項式1-h2; 它在所有m+1個h峰值點將等于零, 因為在這些點上, h=&

62、#177;1。而且,它在區(qū)內(nèi)峰值點上將有二階零點。這可由1-h2的導數(shù)2hh'在這些點也零而得出。在兩端=±1點, 1-h2僅有一階零點。因此, 1-h2除了含有(h')2及(1-)(1+)外, 無其他因子。這樣我們有: 其中, K為常數(shù)。h的解可由上式積分得出。其結(jié)果為:已知, 當由-1到+1, h在±1間擺動m次, 這就確定了K=1/m , 所以            h=Cos(m Cos-1)  

63、60;  1并可寫為:             h=Cosmy           =Cosy這些多項式可以表示為Tm()并稱第一類切比雪夫多項式, m為多項式的階。對于>1的情況, 就有:圖 19 示出了幾個低階切比雪夫多項式圖形及其數(shù)學表達式:    圖 19(五)最大平滑濾波器的綜合在我們研究了近似條件和某些特定的近似函數(shù),

64、加上網(wǎng)絡(luò)分析時推導的結(jié)論: 圖16所示的梯形結(jié)構(gòu)低能濾波器, 其幅度平方函數(shù)A2()的一般表示式為:          (7)其中n是濾波器的元件個數(shù), 我們就有條件來綜合濾波器的元件。在近似理論中已經(jīng)指出: 理想的低通濾波器特性可以采用臺勞近似。它的最高階近似就是勃脫瓦芘茲(最大平滑)響應(yīng)。它要求低通濾波器的幅度平方函數(shù)滿足下列公式:              &#

65、160;                   (8)其中n為濾波器的元件個數(shù)。比較(7)式(8)式就知道, 如果希望用上述梯形結(jié)構(gòu)來綜合濾波器只要令這兩個公式中的各項系數(shù)相等, 則有:利用這個條件, 我們就可以解出滿足最大平滑函數(shù)的濾波器。下面就來找找看:    一節(jié)最大平滑低通濾波器:根據(jù)定量分析, 一節(jié)低通濾波器的幅度平方函數(shù)的數(shù)學式為:要滿足最大平滑的要求, 則有:L=-2是物理上不能實現(xiàn)的

66、。二節(jié)最大平滑低通濾波器:其幅度平方函數(shù)的通用式為:其他解無物理意義。三節(jié)最大平滑低通濾波器:其幅度平方函數(shù)的通用式為:要滿足最大平滑的要求, 則有:求解并取有理解為:    當c=1弧度/秒時, L1=L3=1(亨利)  C2=2(法拉)    從上述討論, 已經(jīng)可以看出, 當濾波器節(jié)數(shù)超過四節(jié)以上, 直接求解法就顯得得很困難了。    這里我們就要用到復(fù)變函數(shù)理論來求高階最大平滑濾波器。我們還是從最大平滑近似函數(shù)出發(fā): A2()=1+2n用S=j把平面開拓到復(fù)數(shù)平面S上, 則:這就是最大平滑

67、函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示法。又因為復(fù)變函數(shù)中, 零點和極點的位置決定了這個函數(shù)的特性, 所以我們也來求出時, 各個零點的位置。則有:式中: K=1,2,3.2n。這些零點都落在S平面的單位圓上, 并且既以實軸為對稱又以虛軸為對稱。對下列情況求零點:其零點的分布如圖20所示。            圖 20    現(xiàn)在需要把幅度平方函數(shù)的根和以前學過的反射系數(shù)、插入損耗和兩端對網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗聯(lián)系起來。根據(jù)定義,  兩端對網(wǎng)絡(luò)的插入阻抗和它的傳遞

68、函數(shù)的幅度平方有下列關(guān)系:它只描述了負載吸收功率P2和電源最大輸出功率之間的關(guān)系。而沒有直接地和網(wǎng)絡(luò)中的元件聯(lián)系起來。不過, 我們知道濾波器網(wǎng)絡(luò)是無源元件組成的, 它不吸收功率。于是, 最大輸出功率一定是由這個兩端網(wǎng)絡(luò)反射回去一部分, 留下的才成了負載R上的吸收功率。這樣, 我們可寫成:Pi輸入功率, Pr反射功率, R2負載R上的吸收功率, 在這里Pi=Pmax,(參見圖21)。           (a)       &#

69、160;         (b)           圖 21  另一方面, 根據(jù)傳輸線理論, 反射功率Pr為:式中為反射系數(shù), *表示的共軛復(fù)數(shù), 故得插入損耗:注意= (j), 它是因頻率而變的。所以, 按照前面講的近似函數(shù)所提出的具體, 實際就是找出反射系數(shù)的模平方2與的函數(shù)關(guān)系。即:有了反射系數(shù)和A()之間關(guān)系, 我們還可以推出兩端對網(wǎng)絡(luò)的輸入端的輸入阻抗Zin(1)和(j)之間的關(guān)系。另外根據(jù)Zin(1)求

70、網(wǎng)絡(luò)元件又有下列關(guān)系式中A、B、C、D是通用矩陣中的參數(shù)。到此, 我們已經(jīng)把近似函數(shù)的要求和網(wǎng)絡(luò)元件聯(lián)系起來, 下面就通過舉例來說明這些過程。求一節(jié)低通最大平滑式歸一化濾波器的元件值。已知, 它的幅度平方函數(shù)有下列關(guān)系:對于一節(jié)濾波器, n=1, 則: 利用S=j, 則有:根據(jù)另極點分布的位置, (S)是包括了S平面的左半平面上的點, (-S) 包括了S平面右半平面上的點。所以:這根據(jù)電阻分析Zin(1)=2S+1表示著一個2亨利的電感和一個1歐姆的電阻串聯(lián), 去掉這1歐姆電阻(歸一化負載電阻), 該兩端對網(wǎng)絡(luò)中只剩下一個2亨利的電感, 這和直接用類比法求的結(jié)果是一樣的。見圖22所示。下面我們

71、來看一下二節(jié)濾波器的情況:二節(jié)低通最大平滑式歸一化濾波器的元件值的求解過程:對于二節(jié)濾波器n=2來說, 最大平滑函數(shù)應(yīng)該是開拓到S平面, 則有:根據(jù)上式可知其左半S平面上的兩個根為:取其左半S平面上的零, 極點構(gòu)成(S), 則:求其兩端對輸入端的輸入阻抗, 則有:其中Z1是 亨利的電感 , Y2是 法拉的電容, 其具體結(jié)構(gòu)見圖23所示,        圖 22             &

72、#160;            圖 23這個結(jié)果又和以前類比法求出的相一致。但是求解的過程簡單明了。把這些n=2,n=3.m的結(jié)果算出來, 列成表。不同的n值, 網(wǎng)絡(luò)有兩種形式。一種是第一個元件為并聯(lián)電容, 如圖24(a)所示。另一種是第一個元件為電感, 如圖24(b)所示。不同n值網(wǎng)絡(luò)的元件值列于表2。表中所列的各元件值的單位, 電容為法拉, 電感為亨利?，F(xiàn)在應(yīng)用綜合方法設(shè)計出來的濾波器大都具有最大平滑特性或切比雪夫特性。附圖1給出母型濾波器的最大平滑特性, 它的特點是無論在通帶或

73、止帶內(nèi), 插入損耗Li都隨著'的上升而單調(diào)增加。雖然在這兩個頻帶內(nèi)增加的速度是很不相同的。附圖2表示切比雪夫濾波特性,它的特點是: 在通帶內(nèi), 插入損耗Li在0 db與A db之間來回變化; 在截止頻率上, L=A db; 時入止帶后, Li單調(diào)上升。從這兩個圖形可以看出, 當元件數(shù)目n增大時, Li 從通帶至止帶的過濾較前陡峭。實際上, 元件數(shù)目愈多, Li在過度區(qū)內(nèi)的上升愈快。所以, 在設(shè)計濾波器時, 首先是根據(jù)提出技術(shù)要求, 確定所需的元件數(shù)目n。附圖3是最大平滑濾波特性和切比雪夫濾波特性的比較。它們所用的元件數(shù)目相同(n=2)。一種非常顯著的差別是在截止頻率'c以外,

74、切比雪夫特性的Li的曲線上升得非常迅速, 超過最大平滑濾波器甚多。這意味著切比雪夫濾波器能夠提供一個極其明顯的截止區(qū)域, 把通帶和止帶分開來。這是它的優(yōu)點。不過, 也有它的缺點, 就是在通帶內(nèi)也有一定的插入損耗。不但如此, 當構(gòu)成濾波器的電抗元件具有較大的損耗時, 雖然任何一種濾波器的通帶響應(yīng)都會發(fā)生改變, 但是這種影響對切比雪夫濾波器尤其厲害。下面我們列出這兩種母型濾波器的各種計算公式和表格, 所用符號的含意在下面敘述。    () 最大平滑濾波器:    變換器損耗LA式中n=元件數(shù),   ， A=在

75、截止頻率'c上的器件損耗, 當A=3db時, =1。止帶內(nèi)的LA與'的關(guān)系見有關(guān)書籍。元件參數(shù)以下公式適用兩端加載, A=3db, g0=1, gn+1=1,'c=1的情況。(單位:歐姆; 亨利或法拉)應(yīng)用這些公式計算出來的元件值見表2。         表2  最大砰滑母型低通濾波器元件值     圖 24 更詳細的表格可參考有關(guān)書籍    ()切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器的變換損耗的表示工

76、, 在通帶和止帶內(nèi)是不一樣的。   變換器損耗式中的符號如前。Ch是雙曲余弦函數(shù), 可從有關(guān)函數(shù)表查得。LA與'的關(guān)系曲線可以從有關(guān)書籍中查到, 我們的曲線只適用于通帶內(nèi)器件損耗LA=0.1db的情況。元件參數(shù)(g0=1, 'c=1)輔助參數(shù)計算公式:元件計算公式表3是計算出來的元件值表。它適用于A=0.1db, g0=1, 'c=1的情況, 其結(jié)構(gòu)同最大平滑式濾波器。        表3 切比雪夫 0.1 db波紋的元件值ng1g2g3g4g5g6g710.3

77、0521.0000.20.84300.62201.3554.31.03151.14741.03151.0000.41.10881.30611.77030.81801.3554.51.14681.37121.97501.37121.14681.0000.61.16811.40392.05621.51701.90290.86181.3554    更詳細的表格可參考有關(guān)書籍:    1。“微波濾波器阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)與耦合結(jié)構(gòu)”                          上海科技情報通訊編譯室, 1972年    2?！盀V波器綜合法設(shè)計原理”