空間曲線及其方程25312

1、第四節(jié)第四節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足方程，曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時不在曲線上的點不能同時 滿足兩個方程滿足兩個方程. .xozy1s2sc空間曲線空間曲線c c可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線. .特點：特點：一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程xyzo例例1 1 方程

2、組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓: :例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 表示上半球面表示上半球面, ,4)2(222ayax 是圓柱面是圓柱面, ,交線如圖交線如圖. .( )( )xx tyy t 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程)( 為參數(shù)為參數(shù)t1tt 111(,),xy z當給定當給定時時, ,就得到曲線

3、上的一個點就得到曲線上的一個點隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點. .( )zz t 經(jīng)過經(jīng)過t 時間，運動到時間，運動到m點點. a mm tax cos tay sin vtz t 螺旋線的螺旋線的參數(shù)方程參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo222ayx 例例3 如果空間一點如果空間一點mm在圓柱面在圓柱面上以角速度上以角速度 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度v 沿平行于沿平行于z軸上升，那么點軸上升，那么點m構(gòu)成的圖形叫做構(gòu)成的圖形叫做螺旋線螺旋線. 試建立其參數(shù)方程試建立其參數(shù)方程.動點從動點從a點出發(fā)點出發(fā),a螺旋線的

4、參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要性質(zhì)螺旋線的重要性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比則上升的高度則上升的高度: : bh2稱為稱為螺距螺距. .2 , 令令即即tax cos tay sin vtz xyzohz 0),(0),(zyxgzyxf消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxh稱為曲線稱為曲線c關于關于xoy的的投影柱面投影柱面.設空間曲線設空間曲線c的一般方程：的一般方程：三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影zyxcc ( , )0:0h

5、 x ycz 稱為曲線稱為曲線c在在xoy面上的面上的投影曲線投影曲線.投影柱面與投影柱面與xoy面的交線：面的交線：如圖如圖: :投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程. .空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類似地：類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影可定義空間曲線在其他坐標面上的投影. . 00),(xzyr 00),(yzxt面上的面上的投影曲線投影曲線: :yoz面上的面上的投影曲線投影曲線: :xoz 00),(zyxh空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. . 211222zzyx解解

6、（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在xoy面上的投影為面上的投影為,04322 zyxxyzo所以在所以在xoz面上的投影為線段面上的投影為線段.;23|,021 xyz（3）同理在）同理在yoz面上的投影面上的投影也為線段也為線段.23|,021 yxz（2）因為曲線在平面）因為曲線在平面 上，上，21 z 211222zzyxxyzo截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖, ,xyz,0042522 yxxzzx.00222 xzyzy,004522 zxxyyx 0222zyxxzyzxyo1c求上半球面求上半球面和錐面和錐面224zxy223()zxy

7、2210 xyz 在在xoy 面上的投影曲線面上的投影曲線22224:3()zxyczxy 二曲面交線二曲面交線221,0.xyz所圍區(qū)域為圓域所圍區(qū)域為圓域:所求投影是二曲線交線在所求投影是二曲線交線在xoy 面上的投影面上的投影曲線所圍之域曲線所圍之域 .例例6 6 所圍的立體在所圍的立體在 xoy 面上的投影面上的投影.解解補充補充: : 空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程小結(jié)小結(jié)空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf )()()(tzztyytxx 00),(zyxh 00),(xzyr 00),(yzxt思考題思考題開口向上開口向上母線平行于母線平