第10章壓桿穩(wěn)定

1、第第1010章章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題10-110-1壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷10-210-2臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖10-310-3壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校10-1 10-1 壓壓桿穩(wěn)定與臨界載荷桿穩(wěn)定與臨界載荷一、壓桿穩(wěn)定的概念一、壓桿穩(wěn)定的概念pp穩(wěn)定性：主要針對細(xì)長壓桿穩(wěn)定性：主要針對細(xì)長壓桿穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：構(gòu)件在外力作用下保持其原有平衡狀態(tài)的能力，構(gòu)件在外力作用下保持其原有平衡狀態(tài)的能力，是桿件承載能力的一個(gè)方面。是桿件承載能力的一個(gè)方面。如何判斷桿件的穩(wěn)定與不穩(wěn)定？如何判斷桿件的穩(wěn)定與不穩(wěn)定？10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨

2、界載荷f fp p f fcr cr : :在擾動作用下在擾動作用下，直線平衡構(gòu)，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，擾動除去后，不能不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的。 在擾動作用下，直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變在擾動作用下，直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鉅顟B(tài)，擾動除去后，不能恢為彎曲平衡狀態(tài)，擾動除去后，不能恢復(fù)到直線平衡狀態(tài)的現(xiàn)象，稱為復(fù)到直線平衡狀態(tài)的現(xiàn)象，稱為失穩(wěn)或失穩(wěn)或屈曲屈曲。二、臨界載荷的概念二、臨界載荷的概念臨界載荷臨界載荷 ：crf壓桿的壓力逐漸上升壓桿的壓力逐漸上升, ,使壓桿的平衡由

3、穩(wěn)定的平衡狀態(tài)使壓桿的平衡由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)向不穩(wěn)定的狀態(tài)的質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)向不穩(wěn)定的狀態(tài)的質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn), ,稱為稱為臨界載荷臨界載荷, ,以以表示表示. .crf壓桿保持直線狀態(tài)平衡的最大力。壓桿保持直線狀態(tài)平衡的最大力。使壓桿失穩(wěn)（不能保持直線形式的穩(wěn)使壓桿失穩(wěn)（不能保持直線形式的穩(wěn)穩(wěn)定平衡）的最小力。穩(wěn)定平衡）的最小力。10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷三、細(xì)長壓桿的臨界力三、細(xì)長壓桿的臨界力1 1、兩端鉸支的細(xì)長壓桿的臨界力、兩端鉸支的細(xì)長壓桿的臨界力2 2、其他桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力、其他桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力1 1、兩端鉸支的細(xì)長壓桿的臨界力、兩端鉸支的細(xì)長壓桿

4、的臨界力考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷pbxffy)(22xmdxydei,p若則壓桿的彎曲變形為則壓桿的彎曲變形為yfpeiyfdxydp22,2eifkp設(shè)則則0222ykdxyd( (二階線性常數(shù)二階線性常數(shù)齊次微分方程齊次微分方程) )通解為通解為kxbkxaycossin式中式中a、b、k為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷y10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷邊界條件為：邊界條件為：1）x=0，y=0b=02）x=l，y=00sin kl

5、a若若a=0a=0，則，則 0y（與假設(shè)不符）（與假設(shè)不符）0sinkl因此因此解得：解得：),2, 1 ,0( ,nlnkkxaysin臨界載荷臨界載荷l22eif cr =歐拉公式歐拉公式 載荷載荷屈曲位移函數(shù)屈曲位移函數(shù) y(x)=a sinnxll2n22eif p =由此得到兩個(gè)重要結(jié)果由此得到兩個(gè)重要結(jié)果),2,1 ,0(,nlneifkp10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷 上式習(xí)慣上稱為兩端鉸支壓桿的歐拉公式。當(dāng)各個(gè)方向的支承情況相同上式習(xí)慣上稱為兩端鉸支壓桿的歐拉公式。當(dāng)各個(gè)方向的支承情況相同時(shí)（如兩端為球鉸），壓桿總是在它的抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)，

6、所時(shí)（如兩端為球鉸），壓桿總是在它的抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)，所以式中的以式中的eiei是壓桿的最小抗彎剛度，即是壓桿的最小抗彎剛度，即i i應(yīng)取截面的最小形心主慣性矩應(yīng)取截面的最小形心主慣性矩i iminmin。 1 1）、）、i i 如何確定如何確定 ？ 分析分析壓桿總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)彎曲壓桿總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)彎曲minii xyzhb例如矩形截面壓桿首先在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲？例如矩形截面壓桿首先在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲？（繞哪個(gè)軸轉(zhuǎn)動）（繞哪個(gè)軸轉(zhuǎn)動）ff10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷000zyi00,zy為截面的主慣性軸（為截面的主慣性

7、軸（主軸主軸）。）。0yi為截面對主軸為截面對主軸 的慣矩，稱為的慣矩，稱為主慣矩主慣矩。0y0z為截面對主軸為截面對主軸 的主慣矩。的主慣矩。0zi而而,max0iizmin0iiy對于矩形截面對于矩形截面,1213bhiz3121hbiybhyzii zybh10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷所以矩形截面壓桿首先在所以矩形截面壓桿首先在xzxz平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲，（即平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲，（即繞繞 y 軸轉(zhuǎn)動）軸轉(zhuǎn)動）2 2）屈曲位移函數(shù)屈曲位移函數(shù) 彈性曲線為一半波正弦曲線。彈性曲線為一半波正弦曲線。,2時(shí)lx aylymax)2(a為壓桿中點(diǎn)撓度。為壓桿中點(diǎn)撓度。10-1

8、10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷2 2、其他桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力、其他桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力1 1） 一端固定，一端自由一端固定，一端自由2l2 2） 一端固定，一端鉸支一端固定，一端鉸支cybcbc段段, ,曲線上凸曲線上凸, ,; 0101caca段段, ,曲線下凸曲線下凸, ,0)1(c0cm即0.7l10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷3 3） 兩端固定兩端固定0.5lcd同理同理0, 0dcmm0.7l10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷一端自由，一端固定一端自由，一端

9、固定 2.02.0一端鉸支，一端固定一端鉸支，一端固定 0.70.7兩端固定兩端固定 0.50.5兩端鉸支兩端鉸支 1.01.0 相當(dāng)系數(shù)（長度系數(shù)），相當(dāng)系數(shù)（長度系數(shù)）， l l相當(dāng)長度相當(dāng)長度10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷 歐拉公式是以壓桿的撓曲線的近似微分方程式為依據(jù)導(dǎo)歐拉公式是以壓桿的撓曲線的近似微分方程式為依據(jù)導(dǎo)出的，這個(gè)微分方程只是在材料服從虎克定律的條件下才成出的，這個(gè)微分方程只是在材料服從虎克定律的條件下才成立。因此，只有在壓桿內(nèi)的應(yīng)力超過材料的比例極限立。因此，只有在壓桿內(nèi)的應(yīng)力超過材料的比例極限 時(shí)，時(shí)，才能用歐拉公式來計(jì)算臨界力。才能用歐拉公式

10、來計(jì)算臨界力。 p 例例10-110-1：五根直徑都為五根直徑都為 d d的細(xì)長圓桿鉸接構(gòu)成平面正的細(xì)長圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系方形桿系abcdabcd，如各桿材料相同，彈性模量為，如各桿材料相同，彈性模量為e e。求。求圖圖 (a)(a)、(b)(b)所示兩種載荷作用下桿系所能承受的最所示兩種載荷作用下桿系所能承受的最大載荷。大載荷。cl13tu1510-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷解：( )a桿受 壓 ， 其 余 桿 受 拉bdbd 桿 的 臨 界 壓 力 :pe iacr222222e ia故 桿 系 所 能 承 受 的 最 大 載 荷ppcrmax222e ia

11、342128eda10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷( )b桿受 拉 ， 其 余 桿 受 壓bd四 根 受 壓 桿 的 臨 界 壓 力 ：pe iacr22故 桿 系 所 能 承 受 的 最 大 載 荷 ：ppcrmax2264342eda10-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷例例10-210-2：圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，、兩桿截面和材料相同，為兩桿截面和材料相同，為細(xì)長壓桿。確定使載荷細(xì)長壓桿。確定使載荷 p p 為最大值時(shí)的為最大值時(shí)的角（設(shè)角（設(shè)0/20/2）。）。9010-110-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷解：由靜力平衡條件可解得兩桿的

12、壓力分別為：npnp12cossin，兩桿的臨界壓力分別為：pe ilpe ilcrcr12122222，要使最大，只有、都達(dá)到臨界壓力，即pnn12pe ilpe ilcossin21222212（ ）（）9010-110-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷將 式除 以 式便 得()( ),21122tgll ctg2由此得 arctg(ctg2)9010-1 10-1 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷10-2 10-2 臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖 能不能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算能不能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算四根壓桿的臨界載荷？四根壓桿的臨界載荷？四根壓四根壓桿是不是都會發(fā)生彈性

13、屈曲？桿是不是都會發(fā)生彈性屈曲？1 1、問題的提出、問題的提出細(xì)長桿細(xì)長桿發(fā)生彈性屈曲發(fā)生彈性屈曲中長桿中長桿發(fā)生彈塑性屈曲發(fā)生彈塑性屈曲粗短粗短桿桿不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服2 2、三類不同的壓桿、三類不同的壓桿 在臨界力作用下，壓桿橫截面上的平均壓應(yīng)力稱作臨界在臨界力作用下，壓桿橫截面上的平均壓應(yīng)力稱作臨界應(yīng)力，以應(yīng)力，以 表示，由歐拉公式表示，由歐拉公式(13-5)可得：可得： cr 22crcrpeiala 引入慣性半徑引入慣性半徑 ，則有，則有 iia alaeicr222)(22)(ile定義定義il柔度柔度或或長細(xì)比長細(xì)比10-2 10-2 臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總

14、圖臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖3 3、臨界應(yīng)力與柔度、臨界應(yīng)力與柔度22ecr歐拉公式歐拉公式10-210-2 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷p22crep比例極限比例極限4 4、歐拉公式的適用范圍、歐拉公式的適用范圍pe或或即即.,歐拉公式成立時(shí)pa3鋼：鋼：,200,200mpagpaep100p 細(xì)長桿（大柔度桿）細(xì)長桿（大柔度桿）發(fā)生彈性屈曲 ( (p p) )(p5 5、臨界應(yīng)力總圖、臨界應(yīng)力總圖 當(dāng)當(dāng) p時(shí)，這類壓桿屬于臨界應(yīng)力超出比例極限的壓時(shí)，這類壓桿屬于臨界應(yīng)力超出比例極限的壓桿穩(wěn)定問題。其臨界應(yīng)力一般運(yùn)用由實(shí)驗(yàn)所得的經(jīng)驗(yàn)公式桿穩(wěn)定問題。其臨界應(yīng)力一般運(yùn)用由實(shí)驗(yàn)所得的經(jīng)驗(yàn)公式

15、來計(jì)算。常用的經(jīng)驗(yàn)公式有二種，一種是直線型經(jīng)驗(yàn)公式，來計(jì)算。常用的經(jīng)驗(yàn)公式有二種，一種是直線型經(jīng)驗(yàn)公式，另一種是拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式。另一種是拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式。 10-2 10-2 臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖bass babb (塑性材料塑性材料)(脆性材料脆性材料)bacra、b是與材料有關(guān)的常數(shù)。是與材料有關(guān)的常數(shù)。1）直線公式直線公式 對于柔度對于柔度 的中柔度桿（中長的中柔度桿（中長壓桿），臨界應(yīng)力與壓桿），臨界應(yīng)力與的關(guān)系采用直線公式：的關(guān)系采用直線公式： 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力隨柔度變化的曲線臨界應(yīng)力隨柔度變化的曲線0臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖10-210-2

16、 臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖2 2） 拋物線公式拋物線公式2crba 是與材料有關(guān)的常數(shù)。是與材料有關(guān)的常數(shù)。ba ,se57. 02c對于柔度對于柔度(c)的桿件，臨界應(yīng)力與的桿件，臨界應(yīng)力與的關(guān)系采用拋物線公式：的關(guān)系采用拋物線公式： 10-210-2 臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖拋物線與歐拉公式的交點(diǎn)拋物線與歐拉公式的交點(diǎn)c，相應(yīng)的柔度，相應(yīng)的柔度c為為 2 圖圖10-310-3和和圖圖10-410-4表示了壓桿的臨界應(yīng)力與壓桿的柔度表示了壓桿的臨界應(yīng)力與壓桿的柔度間的關(guān)系，稱為塑性材料壓桿的臨界應(yīng)力總圖。它表示間的關(guān)系，稱為塑性材料壓桿的臨界應(yīng)力總圖。

17、它表示了臨界應(yīng)力隨柔度了臨界應(yīng)力隨柔度變化的規(guī)律。從圖中可看出，臨界應(yīng)變化的規(guī)律。從圖中可看出，臨界應(yīng)力隨柔度的增大而減小。力隨柔度的增大而減小。 6 6、臨界應(yīng)力總圖及臨界應(yīng)力的計(jì)算、臨界應(yīng)力總圖及臨界應(yīng)力的計(jì)算 圖圖10-3圖圖10-4210-210-2 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷a a對于柔度較小的短粗桿，可取作為臨界應(yīng)力，即以強(qiáng)度計(jì)對于柔度較小的短粗桿，可取作為臨界應(yīng)力，即以強(qiáng)度計(jì) 算為主。算為主。 b b對于對于較大的細(xì)長桿，穩(wěn)定問題是主要矛盾，應(yīng)用歐拉較大的細(xì)長桿，穩(wěn)定問題是主要矛盾，應(yīng)用歐拉 公式計(jì)算臨界應(yīng)力。公式計(jì)算臨界應(yīng)力。 c c對于對于s s y（繞（繞z失穩(wěn)）

18、失穩(wěn)） max466121,1010110810zppe maxp，可由歐拉公式計(jì)算臨界力，可由歐拉公式計(jì)算臨界力 2222161zcrcrcrzzeieappaknl 或或該柱將可能在該柱將可能在xoy平面失穩(wěn)（繞平面失穩(wěn)（繞z軸）。軸）。 10-210-2 壓桿穩(wěn)定與臨界載荷壓桿穩(wěn)定與臨界載荷10-3 10-3 壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校一、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算一、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 穩(wěn)定安全系數(shù)法穩(wěn)定安全系數(shù)法 壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定條件crstnff stfstn穩(wěn)定安全因數(shù)穩(wěn)定安全因數(shù)stf穩(wěn)定許用壓力穩(wěn)定許用壓力crstnstst穩(wěn)定許用應(yīng)力穩(wěn)定許用應(yīng)力f工作壓力工作壓力af 工作應(yīng)力工

19、作應(yīng)力 壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定條件crcrstffn 工作工作安全因數(shù)安全因數(shù)afstn工作穩(wěn)工作穩(wěn)定安全因數(shù)定安全因數(shù)10-310-3 壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校例例10-510-5 已知已知：b=40mm, h=60mm, l=2300mm,q235鋼鋼, , e200gpa,fp150kn,nst=1.8， 校核校核: :穩(wěn)定性是否安全。穩(wěn)定性是否安全。 mpampaps200,235xyzx10-310-3 壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校解解: :zzzil35.99aiizzbhbh12/3ppe2xyzx考慮考慮xy平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)(繞繞z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動)12h12/3 . 21h

20、8 .132aiiyybhhb 12/3考慮考慮xz平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)(繞繞y軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動)12byyyil12/3 .25 .0b6 .99pyz所以壓桿可能在所以壓桿可能在xyxy平面內(nèi)首先失穩(wěn)平面內(nèi)首先失穩(wěn)( (繞繞z z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動).).10-310-3 壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校其臨界壓力為其臨界壓力為afcrcrbhez22kn269工作工作安全因數(shù)為安全因數(shù)為pcrffn150269793. 18 . 1stn所以壓桿的穩(wěn)定性是不安全的所以壓桿的穩(wěn)定性是不安全的. .10-310-3 壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校例例10-5 簡易起重架由兩圓鋼桿組成，桿簡易起重架由兩圓鋼桿組成

21、，桿ab： ，桿，桿ac： ，兩桿材料均為，兩桿材料均為q235鋼鋼, ,規(guī)定的強(qiáng)度安全系數(shù)規(guī)定的強(qiáng)度安全系數(shù) ，穩(wěn)定安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù) ，試確定起重機(jī)架的最大起重量。，試確定起重機(jī)架的最大起重量。mmd301mmd202mpagpaes240,20060,1000p2sn3stnmaxff45a21cb0.6m10-310-3 壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校解解: :、受力分析、受力分析af1nf2nf)()(221壓，拉ffffnn2、由桿、由桿ac的強(qiáng)度條件確定的強(qiáng)度條件確定 。maxf111afnssnssnaf21kn7 .263、由桿、由桿ab的穩(wěn)定條件確定的穩(wěn)定條件確定 。ma

22、xfstncrnffn210-310-3 壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校22il柔度柔度:4/6 . 012d80因此因此2crcraf2)(abakn47.151226410)8012. 1304(d10-310-3 壓桿穩(wěn)定性核校壓桿穩(wěn)定性核校stcrnnfff2347.151kn5 .50knf7 .26max例例10-610-6 圖示托架結(jié)構(gòu)，梁圖示托架結(jié)構(gòu)，梁abab與圓桿與圓桿bc bc 材料相同。梁材料相同。梁abab為為1616號工號工字鋼，立柱為圓鋼管，其外徑字鋼，立柱為圓鋼管，其外徑d=80 mmd=80 mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑d=76mmd=76mm，l l=6m=6m，a=3 ma=3 m，受均布載荷受